矩阵教学课件
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第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
§2 矩阵的运算
§3 逆矩阵
§4 分块矩阵
§5 矩阵的初等变换
§6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排 成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
二、几种特殊矩阵
(1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An,
13 6 5 例如: 2 2 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an , 称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵源自文库 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
三、同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵. 例如: A 1 3 5 , B 5
2 4 6
3 7 为同型矩阵. 1 10 9
2. 如果A = ( aij )与B = ( bij )为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, · · · , m; j =1, 2, · · · ,n) 则称矩阵A与矩阵B相等, 记作A=B.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写 黑体字母表示它，记作
简记为: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). 这mn个数称为矩阵A的元素, 数aij称为矩阵A的第i行 第 j列元素.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复 矩阵. 本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
(6) 形如
其中1, 2, · · · , n不全为零.记作 A=diag(1, 2, · · · , n) (7) 设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 则 称A为对称矩阵. 1 2 3 例如: A 2 5 4 为对称矩阵. 3 4 6
称之为恒等变换.
它对应着单位矩阵
1 0 0 0 1 0 En 0 0 1
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 注：行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A
(5) 形如
1 0 0 0 1 0 0 0 1
的方阵, 称为单位矩阵，
其中主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。记作: En 或 E
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
1 0 0 2 0 0 0 0 的方阵, 称为对角矩阵(或对角阵), n
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换， 其中aij为常数。
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义:设有两个m×n 矩阵A = (aij )与 B = (bij ),那么矩阵A 与B的和记作A+B,规定为
注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进 行加法运算.
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
例：
1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 11 2 2 3 3 2 4 6 4 4 5 5 6 6 8 10 12 7 7 8 8 9 9 14 16 18
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
1 2 3 1 x 3 A , B 例1: 设 3 1 2 y 1 z , 已知A =B, 求x, y, z.
解: 由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义,得: x=2, y=3, z=2.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
四、矩阵应用举例 例2：见P36（自学） 例3：(线性变换) 参考P44 n个变量x1、x2、…xn与m个变量y1、y2、…ym之间的关系式
例如:
19 13 2 2
2 3 5 9 4
1 2 4
0 3 5 6 4 3 6 2i 2 2 2 2
是一个24实矩阵; 是一个33复矩阵; 是一个31(实)矩阵;
是一个14(实)矩阵;
是一个11(实)矩阵.
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
再如： 线性变换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
§1 矩阵的概念
§2 矩阵的运算
§3 逆矩阵
§4 分块矩阵
§5 矩阵的初等变换
§6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排 成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
二、几种特殊矩阵
(1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An,
13 6 5 例如: 2 2 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an , 称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵源自文库 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
三、同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵. 例如: A 1 3 5 , B 5
2 4 6
3 7 为同型矩阵. 1 10 9
2. 如果A = ( aij )与B = ( bij )为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, · · · , m; j =1, 2, · · · ,n) 则称矩阵A与矩阵B相等, 记作A=B.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写 黑体字母表示它，记作
简记为: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). 这mn个数称为矩阵A的元素, 数aij称为矩阵A的第i行 第 j列元素.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复 矩阵. 本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
(6) 形如
其中1, 2, · · · , n不全为零.记作 A=diag(1, 2, · · · , n) (7) 设A = ( aij )为 n 阶方阵, 对任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 则 称A为对称矩阵. 1 2 3 例如: A 2 5 4 为对称矩阵. 3 4 6
称之为恒等变换.
它对应着单位矩阵
1 0 0 0 1 0 En 0 0 1
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 注：行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A
(5) 形如
1 0 0 0 1 0 0 0 1
的方阵, 称为单位矩阵，
其中主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。记作: En 或 E
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
1 0 0 2 0 0 0 0 的方阵, 称为对角矩阵(或对角阵), n
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换， 其中aij为常数。
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义:设有两个m×n 矩阵A = (aij )与 B = (bij ),那么矩阵A 与B的和记作A+B,规定为
注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进 行加法运算.
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
例：
1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 11 2 2 3 3 2 4 6 4 4 5 5 6 6 8 10 12 7 7 8 8 9 9 14 16 18
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
1 2 3 1 x 3 A , B 例1: 设 3 1 2 y 1 z , 已知A =B, 求x, y, z.
解: 由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义,得: x=2, y=3, z=2.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
四、矩阵应用举例 例2：见P36（自学） 例3：(线性变换) 参考P44 n个变量x1、x2、…xn与m个变量y1、y2、…ym之间的关系式
例如:
19 13 2 2
2 3 5 9 4
1 2 4
0 3 5 6 4 3 6 2i 2 2 2 2
是一个24实矩阵; 是一个33复矩阵; 是一个31(实)矩阵;
是一个14(实)矩阵;
是一个11(实)矩阵.
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
再如： 线性变换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n