波动率

波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。

波动率越高，金融资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强；波动率越低，金融资产价格的波动越平缓，资产收益率的确定性就越强。

产生的原因
从经济意义上解释，产生波动率的主要原因来自以下三个方面：
1、宏观经济因素对某个产业部门的影响，即所谓的系统风险；
2、特定的事件对某个企业的冲击，即所谓的非系统风险；
3、投资者心理状态或预期的变化对股票价格所产生的作用。

波动率的分类
1、实际波动率
实际波动率又称作未来波动率，它是指对期权有效期内投资回报率波动程度的度量，由于投资回报率是一个随机过程，实际波动率永远是一个未知数。

或者说，实际波动率是无法事先精确计算的，人们只能通过各种办法得到它的估计值。

2、历史波动率
历史波动率是指投资回报率在过去一段时间内所表现出的波动率，它由标的资产市场价格过去一段时间的历史数据（即St的时间序列资料）反映。

这就是说，可以根据{St}的时间序列数据，计算出相应的波动率数据，然后运用统计推断方法估算回报率的标准差，从而得到历史波动率的估计值。

显然，如果实际波动率是一个常数，它不随时间的推移而变化，则历史波动率就有可能是实际波动率的一个很好的近似。

3、预测波动率
预测波动率又称为预期波动率，它是指运用统计推断方法对实际波动率进行预测得到的结果，并将其用于期权定价模型，确定出期权的理论价值。

因此，预测波动率是人们对期权进行理论定价时实际使用的波动率。

这就是说，在讨论期权定价问题时所用的波动率一般均是指预测波动率。

需要说明的是，预测波动率并不等于历史波动率，因为前者是人们对实际波动率的理解和认识，当然，历史波动率往往是这种理论和认识的基础。

除此之外，人们对实际波动率的预测还可能来自经验判断等其他方面。

4、隐含波动率
隐含波动率是制期权市场投资者在进行期权交易时对实际波动率的认识，而且这种认识已反映在期权的定价过程中。

从理论上讲，要获得隐含波动率的大小并不困难。

由于期权定价模型给出了期权价格与五个基本参数（St，X，r，T-t和σ）之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入期权定价模型，就可以从中解出惟一的未知量σ，其大小就是隐含波动率。

因此，隐含波动率又可以理解为市场实际波动率的预期。

期权定价模型需要的是在期权有效期内标的资产价格的实际波动率。

相对于当期时期而言，它是一个未知量，因此，需要用预测波动率代替之，一般可简单地以历史波动率估计作为预测波动率，但更好的方法是用定量分析与定性分析相结合的方法，以历史波动率作为初始预测值，根据定量资料和新得到的实际价格资料，不断调整修正，确定出波动率。

[2]影响
标的资产的波动率是布莱克-斯科尔斯期权定价公式中一项重要因素。

在计算期权的理论价格时，通常采用标的资产的历史波动率：波动率越大，期权的理论价格越高；反之波动率越小，期权的理论价格越低。

波动率对期权价格的正向影响，可以理解为：对于期权的买方，由于买入期权付出的成本已经确定，标的资产的波动率越大，标的资产价格偏离执行价
格的可能性就越大，可能获得的收益就越大，因而买方愿意付出更多的权利金购买期权；对于期权的卖方，由于标的资产的波动率越大，其承担的价格风险就越大，因此需要收取更高的权利金。

相反，标的资产波动率越小，期权的买方可能获得的收益就越小，期权的卖方承担的风险越小，因此期权的价格越低。

[3]
波动率指数
芝加哥期权交易所(Chicago Board Options Exchange，CBOE)的波动率指数(Volatility Index，VIX)或者称之为“恐惧指数”，衡量标准普尔500指数(S&P 500 Index)期权的隐含波动率。

VIX指数每日计算，代表市场对未来30天的市场波动率的预期。

由来编辑
波动性在金融衍生品的定价、交易策略以及风险控制中扮演着相当重要的角色。

可以说没有波动性就没有金融市场，但如果市场波动过大，而且缺少风险管理工具，投资者可能会担心风险而放弃交易，使市场失去吸引力。

1987的全球股灾后，为稳定股市与保护投资者，纽约证券交易所(NYSE)于1990年引进了断路器机制(Circuit-breakers)，当股价发生异常变动时，暂时停止交易，试图降低市场的波动性来恢复投资者的信心。

但断路器机制引进不久，对于如何衡量市场波动性市场产生了许多新的认识，渐渐产生了动态显示市场波动性的需求。

因此，在NYSE采用断路器来解决市场过度波动问题不久，芝加哥期权交易所从1993年开始编制市场波动率指数，以衡量市场的波动率。

芝加哥期权交易所(CBOE)在1973年4月开始股票期权交易后，就一直有通过期权价格来构造波动率指数的设想，以反映市场对于的未来波动程度的预期。

其间有学者陆续提出各种计算方法，Whaley(1993)提出了编制市场波动率指数作为衡量未来股票市场价格波动程度的方法。

同年，CBOE开始编制VIX指数，选择S&P100指数期权的隐含波动率为编制基础，同时计算买权与卖权的隐含波动率，以考虑交易者使用买权或卖权的偏好。

VIX表达了期权投资者对未来股票市场波动性的预期，当指数越高时，显示投资者预期未来股价指数的波动性越剧烈；当VIX指数越低时，代表投资者认为未来的股价波动将趋于缓和。

由于该指数可反应投资者对未来股价波动的预期，并且可以观察期权参与者的心理表现，也被称为“投资者情绪指标”(The investor fear gauge )。

经过十多年的发展和完善，VIX指数逐渐得到市场认同，CBOE于2001年推出以NASDAQ 100指数为标的的波动性指标(NASDAQ Volatility Index ,VXN)；CBOE2003年以S&P500指数为标的计算VIX指数，使指数更贴近市场实际。

2004年推出了第一个波动性期货（Volatility Index Futures）VIX Futures，2004年推出第二个将波动性商品化的期货，即方差期货(Variance Futures)，标的为三个月期的S&P500指数的现实方差(Realized Variance)。

2006年，VIX指数的期权开始在芝加哥期权交易所开始交易。

[1]
有效性
VIX推出后，成为全球投资者评估美国股票市场风险的主要依据之一，2004年CBOE 推出全球第一个波动性期货VIX Futures后，受到全球投资者的追捧，特别是2005年以来，全球金融资产波动性急剧增加以后，VIX的交易量更是屡创新高。

波动率指数受到投资者青睐的主要原因和美国股市的波动有关。

2001年美国发生911恐怖事件后，股市在9月17日重新开盘时一路下跌，到9月21日道琼工业指数跌至8235.8点，S&P100指数也跌至491.7点，VIX则升到48.27的高点，隔天(9月24日)，股市即出现368点的大幅反弹，反弹幅度约4%，之后美股多头走势一直持续到2002年第一季度。

2002年3月19日,美股上涨至10635.3高点，S&P100指数也达592.09点，此时VIX处于20.73的
低点；2002年7月，美股在一连串会计报表丑闻影响下，下跌至1997年以来低点7702，S&P100跌至396.75，VIX高达50.48，隔天(7月24日)，股市同样出现489点的大反弹。

由此可见，作为预测美股趋势的指标，VIX很有参考价值。

即可以从VIX 指数看出S&P 指数变盘征兆，VIX 到达相对高点时，表示投资者对短期未来充满恐惧，市场通常接近或已在底部；反之，则代表投资者对市场现状失去戒心，此时应注意市场随时有变盘的可能。

大量研究以波动率指数为对象进行了实证检验。

Whaley(1993)最早开始对波动性指标进行研究，他提出以S&P100指数期权为基础建立波动性指标，并探讨其在避险方面的应用，其研究结果指出VIX 指数和S&P100指数呈负相关关系；通过模拟波动性指标的衍生品的避险效果，说明波动性指标可以在不影响其它风险参数的情况下，有效规避投资组合的Vega 风险。

Fleming、Ostdiek和Whaley(1995，1996)以日数据和周数据为基础，研究认为VIX 指数有一定程度的一阶自相关现象，同时发现VIX指数并不存在明显周内效应。

而VIX 指数和S&P100指数报酬呈现高度负相关且存在不对称的关系，即VIX指数在S&P100指数下跌时的变化量大于S&P100指数上涨时的变化量。

并且VIX 指数是S&P100指数未来实际波动性的良好预期值。

Maggie和Thomas(1999)分析了VIX指数和股市收益间的关系，发现VIX 指数可作为股市收益的领先指标，当VIX指数显著上升后，则未来股市中大盘股投资组合的收益表现优于小盘股投资组合的收益、价值股投资组合的收益优于成长股投资组合的收益，而当VIX指数下降时，则有相反的结果。

Traub、Ferreira、McArdle和Antognelli(2000)从VIX指数的相对高低点角度研究了股市和债市间的关系，认为如果VIX指数处于相对高点，则未来一至六个月内，股市表现将优于债市；如VIX指数处于相对低点，则一至六个月内，债市表现将优于股市；除美国市场外，该结果在其它国家也有效，当VIX 指数处于相对高点时，全球股市表现优于债市。

Whaley (2000)以1995年1月至1999年12月间的周数据，分析了S&P100指数和VIX指数之间的关系，他认为市场对VIX指数上升所产生的反应比对VIX指数下降的反应要大，认为股票市场收益率和VIX指数变化量的关系不对称，这和Fleming、Ostdiek和Whaley(1995) 研究结果类似。

Giot(2002)以VIX 指数和那斯达克100指数平价期权的波动率指数作实证研究，发现VIX指数和VXN指数与同期标的指数收益率呈高度的负相关；当VIX指数和VXN 指数处于相对高位，即波动性越高时，买入指数所产生的收益越高。

他认为按照隐含波动性计算的波动性指标，相对于其它估计方法，所包含的信息最多，且对未来实际波动性的预测能力会随时间增加而提高。

[2]
指数
在周昆教授与姜万军教授及李婧睿的研究论文(Does VIX Truly Measure Return Volatility?)中，他们从理论与实证的角度证明，在没有假设条件的一般情况下，芝加哥期权交易所(CBOE)的波动率指数(VIX)显著低估了市场实际的波动状况。

尤其是,市场波动越大，低估的情况越严重。

这对购买VIX金融商品的投资人造成不容忽视的负面影响。

经由严谨的数学推导，周教授等证实造成VIX偏差的原由乃是第三阶动差，因为VIX 事实上是一群不同阶层动差(moments)的线性组合，并非单纯的波动系数。

当系统风险增大，看空股市的投资人增多，第三阶动差呈现负值。

换言之，股市波动越大，三阶动差的负值越高。

受到此负值的冲击，VIX因此低估了实际的市场波动。

为要解决VIX的严重缺失，周教授等提出另外一种的计算公式,名为广义波动率指数(Generalized Volatility Index, GVIX)。

GVIX是完全依据波动系数的定义直接导证而来，无须假设条件。

如同VIX, GVIX 也是一个前瞻指数，却不受任何高阶动差的影响。

因此，GVIX 可以充分表述市场的真实波动。

GVIX指数商品(如期货，期权，或ETF等)更可提供投资人
较精准的避险工具。

在对时间序列分析的时候，可能会经常用到ARMA模型，其中p和q的值到底如何确定，有些书讲的不是太明白，只是讲到截尾和拖尾，至于到底如何判断，请看如下详细解释：
1、p是自相关AR模型的系数，而q是MA模型的系数。

2、在EVIEWS模型中会做出一个时间序列的自相关和偏相关图表，这个表是判断p和q值的依据。

3、所谓拖尾是自相关系数或者偏相关系数趋向于0，这个趋向过程有不同的表现形式，有几何型的衰减为0，有正弦波式的衰减；而所谓截尾是指从某阶后自相关或者偏相关系数为0。

4、判断标准：
AR(P) 自相关拖尾，偏相关p阶截尾。

MA(q) 自相关q阶段截尾，偏相关拖尾。

AR(p)MA(q) 自相关q阶段截尾，偏相关p阶截尾。

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。

该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。

并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。

这样就构成了自回归条件异方差模型。

由于需要使用到条件方差，我们这里不采用恩格尔的比较严谨的复杂的数学表达式，而是采取下面的表达方式，以便于我们把握模型的精髓。

见如下数学表达：
(1)其中，
★为因变量，
★为自变量，
★为误差项。

如果误差项的平方服从AR(q)过程，即
(2)其中，独立同分布，并满足
,则称上述模型是自回归条件异方差模型。

简记为ARCH模型。

称序列服从q阶的ARCH的过程，记作－ARCH(q)。

为了保证为正值，要求
上面（1）和（2）式构成的模型被称为回归－ARCH模型。

ARCH模型通常对主体模型的随机扰动项进行建模分析。

以便充分的提取残差中的信息，使得最终的模型残差ηt成为白噪声序列。

从上面的模型中可以看出，由于噪声的方差是过去有限项噪声值平方的回归，也就是说噪声的波动具有一定的记忆性，因此，如果在以前时刻噪声的方差变大，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变大；如果在以前时刻噪声的方差变小，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变小。

体现到期货市场，那就是如果前一阶段期货合约价格波动变大，那么在此刻市场价格波动也往往较大，反之亦然。

这就是ARCH模型所具有描述波动的集群性的特性，由此也决定它的无条件分布是一个尖峰胖尾的分布。

在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。

贝塔函数又称为B 函数，需要注意这里B 是大写希腊字母Beta而不是大写英文字母；贝塔函数又称为第一类欧拉积分，而第二类欧拉积分就是大名鼎鼎的伽玛函数Γ(x)。

当P>0且Q>0时贝塔函数收敛。

贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外需要注意的是伽玛函数和贝塔函数之间的关系。

贝塔函数简介
在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。

[1] 贝塔函数又称为第一类欧拉积分，伽玛函数也可称为第二类欧拉积分。

[2]
对任意实数
称该函数为贝塔函数，或Beta 函数，B 函数。

当P<1 时，是以为瑕点的无界函数反常积分；当时，是以为
瑕点的无界函数反常积分，应用柯西判别法可证得当时，这两个无界函数反
常积分都收敛，所以贝塔函数的定义域为。

[3]
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