传热学大作业汇编

传热学大作业
二维稳态
计算练习
东南大学
院系：能源与环境学院
二维稳态计算练习1、原始题目及要求
二维平壁的节点划分及边界条件如上图所示，计算要求如下：
1. 写出各未知温度节点的代数方程
2. 分别给出G-S迭代和Jacobi迭代程序
3. 程序中给出两种自动判定收敛的方法
4. 考察三种不同初值时的收敛快慢
5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m℃））
6. 绘出最终结果的等值线
报告要求如下：
1. 原始题目及要求
2. 各节点的离散化的代数方程
3. 源程序
4. 不同初值时的收敛快慢
5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m℃））
6. 计算结果的等温线图
7. 计算小结
2. 各节点的离散化的代数方程
将上图二维平壁的节点编号如下
各节点的离散化代数方程如下：
t i−1,j+t i+1,j+t i,j−1+t i,j+1−4t i,j=0 2≤i≤4，2≤j≤4
t i,j=200 i=1，1≤j≤5
t i,j=100 1≤i≤5， j=5
2t i,j+1+t i−1,j+t i+1,j−(4+2ℎ△x
λ
)t i,j+
2ℎ△x
λ
t∞=0 2≤i≤4， j=1
t i,j−1+t i,j+1+2t i−1,j−4t i,j=0 i=5，2≤j≤4
由于（5，1）为歧义点，现将其近似认为对流边界外部拐点，其节点离散化代数方程为：
t4,1+t5,2−(2+2ℎ△x
λ
)t5,1+
2ℎ△x
λ
t∞=0
△x=△y=1 λ=1W
ℎ=10
W
2
3.源程序
（1）、G-S迭代算法Matlab源程序：t=zeros(5,5);
t0=zeros(5,5);
e=0.001;
h=10;
tf=10;
for j=1:5 %上边界节点
t(1,j)=200;
end
for i=1:5 %右边界节点
t(i,5)=100;
end
for k=1:100
for i=2:4 %内部节点
for j=2:4
t(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;
end
end
for i=2:4;%左边界节点
t(i,1)=(2*t(i,2)+t(i-1,1)+t(i+1,1)+2*h*tf/n)/(4+2*h/n); end
for j=2:4; %下边界节点
t(5,j)=(t(5,j-1)+t(5,j+1)+2*t(4,j))/4;
end
t(5,1)=(t(4,1)+t(5,2)+2*h*tf/n)/(2+2*h/n); %(5,1)节点dtmax=0;
for i=1:5
for j=1:5
dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);
end
end
contour(t',30);
t0=t;
t
pause;
if dtmax<e break; end
end
（2）Jacobi迭代Matlab源程序
t=zeros(5,5);
t0=zeros(5,5);
e=0.001;
h=10;
n=1;
tf=10;
Num=0;
for j=1:5 %上边界节点
t(1,j)=200;
for i=1:5 %右边界节点
t(i,5)=100;
end
t0=t;
for k=1:100
for i=2:4 %内部节点
for j=2:4
t(i,j)=(t0(i-1,j)+t0(i+1,j)+t0(i,j-1)+t0(i,j+1))/4;
end
end
for i=2:4;%左边界节点
t(i,1)=(2*t0(i,2)+t0(i-1,1)+t0(i+1,1)+2*h*tf/n)/(4+2*h/n); end
for j=2:4; %下边界节点
t(5,j)=(t0(5,j-1)+t0(5,j+1)+2*t0(4,j))/4;
end
t(5,1)=(t(4,1)+t(5,2)+2*h*tf/n)/(2+2*h/n); %(5,1)节点dtmax=0;
for i=1:5
for j=1:5
dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);
end
end
contour(t',30);
t0=t;
t
pause;
Num=Num+1;
Num
if dtmax<e break; end
end
比较两种方法的收敛速度：
G-S法最终输出结果如下：
t =
200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 100.0000
26.2727 107.4214 135.1054 135.4873 100.0000
15.7010 68.3085 97.5138 106.8443 100.0000
13.9343 52.5990 79.7981 94.3766 100.0000
13.5242 48.3564 74.7042 90.8644 100.0000
Num =
29
Jacobi法最终结果如下：
t =
200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 100.0000
26.2695 107.3899 135.0717 135.4675 100.0000
15.6897 68.2189 97.4308 106.7988 100.0000
13.8464 52.3668 79.6357 94.2985 100.0000
11.8916 47.7681 74.4495 90.7611 100.0000
Num =
53
由此可见，G-S法比Jacobi法收敛速度快，就本题初值为0而言，收敛速度大概为其两倍左右。

4.不同初值时的收敛快慢
讨论不同初值时的收敛快慢问题以G-S法为例，下面分别给出初值从0—200变化时计算次数的曲线：
由上图可以非常清晰地看出在初始值取75的时候计算次数最少为15次，也即对于本问题来说，初值取75时收敛速度最快。

5.上下边界的热流量
由于下边界绝热，所以下边界的热流量
ϕ
下
=0
上边界的热流量算法如下：
ϕ上=λ[
1
2
(t1,1−t2,1)+(t1,2−t2,1)+(t1,3−t2,3)+
1
2
(t1,4−t2,4)]
最终结果：ϕ
上
=358.865W
6.计算结果等温图
7.计算小结
数值分析方法是解决稳态导热的重要解法。

数值解是借助于计算方法和计算机对微分方程求解，即数值计算。

数值计算首先必须将物理现象发生的区域离散化，每个单元体的物理量用划分节点的物理量代替，常用的方法是有限差分法和
有限元法。

利用G-S迭代法或者Jacobi迭代算法都能得到比较良好的计算结果，但从分析来看，G-S算法比Jacobi算法迭代速度更快，然而有资料显示Jacobi算法比G-S 算法更为稳定。

Matlab是一款强大的数学工具，特别是在矩阵计算方面有它的独特之处。

从本题计算来看，Matlab计算运行速度较快，并且代码量少，画图简单易行，使稳态导热问题的求解变得更为方便。