逻辑学(北大精品课)05

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直言模态方阵图
□SAP □SIP
□SEP
□SOP
◇SAP
◇SEP
◇SIP
◇SOP
其中，箭头直线为差等关系线，无箭头直线为矛盾关系线， 上虚线为反对关系线，下虚线为下反对关系线。
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直言模态方阵图的有效推理
1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有：
（1）□SAP├┤◇SOP
主讲人：何向东
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第五章 模态逻辑
第一节 模态逻辑
模态和模态词
模态：指事物或认识的必然性和可能性等这类性质。模态 在思维中的反映，表现为一定的认识和观念，便形成了相 应的模态概念。
模态词：语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号。
如：汉语中的“必然性”、“可能性”，英语中的单词“necessity”、 “possible”。
的速度不可能超过光速。
➢主观模态：认识中的确定性或不确定性等这类性质。例如：
香格里拉可能就在中国的云南省。
➢狭义模态：必然性与可能性等性质。狭义模态又叫真势模态。 ➢广义模态：认识和事物中的其他性质。如:知道等认知模态。
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模态形式
模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式。它是 在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分 而形成的逻辑形式。
1、必然全称肯定命题(□SAP)；
2、必然全称否定命题(□SEP)； 3、必然特称肯定命题(□SIP)； 4、必然特称否定命题(□SOP)； 5、可能全称肯定命题(◇SAP)； 6、可能全称否定命题(◇SEP)； 7、可能特称肯定命题(◇SIP)； 8、可能特称否定命题(◇SOP)；
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实然命题与必然命题、可能命题间的推理
(1)——(8)的推理式体现了结论从弱原则：结论的模
态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然强
于可能(或然)。故上述推理可以简化为：
（9）□p├ p├ ◇p （10）□p├ p├ ◇p （11）◇p├ p├ □p （12）◇p├ p├ □p
（10）□p├ ◇p
（11）◇p├ □p；
（12）◇p├ □p
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模态对当推理的应用实例
（1）“罪犯必然有犯罪时间”（□p）为真，可得： ➢“罪犯必然无犯罪时间”（□p）为假； ➢“罪犯可能有犯罪时间”（◇p）为真； ➢“罪犯可能无犯罪时间”（◇p）为假。 （2）“并非明天必然下雪”（□p）等值于“明 天可能不下雪”（◇p） （3）“并非他必然不被当选”（□p）等值于 “他可能被当选”（◇p）
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传统模态逻辑的对当方阵
□p
反对
□p
矛 差 等
矛 差 等
盾
盾
◇p
下反对
◇p
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传统模态逻辑的对当方阵
由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真 值关系：
（1）矛盾关系：□p与◇p、□p与◇p不能同真，也不能同 假。 （2）反对关系：□p与□p不可同真，但可同假。 （3）下反对关系：◇p与◇p不可同假，但可同真。 （4）差等关系：□p真则◇p真；◇p假则□p假；□p假则◇p 真假不定；◇p真则□p真假不定。□p与◇p也有这种关系。
下列模态命题均有对应的逻辑形式：
模态命题 (1)物体运动必然产生能量。 (2)事物静止必然不是绝对的。 (3)明天可能是晴天。 (4)明天可能不会下雨。 (5)如果下雨，那么地上必然会湿。 (6)如果今天下雨，那么今天下雨或刮风是可能的
模态命题的形式
□p □p ◇p
◇p P→□q
P→◇(p∨q)
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传统模态逻辑的对当推理
➢矛盾关系对当推理：
（1）□p├┤◇p；
（2）□p├┤◇p
（3）◇p├┤□p；
（4）◇p├┤□p
➢反对关系对当推理：
（5）□p├ □p；
（6）□p├ □p
➢下反对关系对当推理：
（7）◇p├ ◇p；
（8）◇p├ ◇p
➢差等关系对当推理：
（9）□p├ ◇p；
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模态六角图
□p
反对
□p
差 差矛
矛 差差
p
矛
盾
p
等 等盾
盾
等 等
下反对
◇p
◇p
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实然命题与必然命题、可能命题间的推理
经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题。
从六角图可以得到如下有效推理：
（1）□p├ p （2）p├ ◇p （3）□p├ p （4）p├ ◇p （5）◇p├ p （6）p├ □p （7）◇p├ p （8）p├ □p
（2）如果小张是党员干部，那么他必然是党员；小张是党员干部。所以， 他必然是党员。
其推理形式分别为： （1′）◇(p∨q)→□（P→q） （2′）（P→□q）∧P→□q
模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的 模态推理形式。
相应于经典的命题逻辑和谓词逻辑，模态逻辑也可分为模态命题逻辑和模态 谓词逻辑。 从逻辑史来看，模态逻辑又可分传统模态逻辑和现代模态逻辑。
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四种基本的模态命题
在命题p和p上增加必然算子□和可能算子◇,可 得到四种基本的模态命题：
必然肯定命题(□p)
模
必然命题
态
必然否定命题(□p)
命
可能肯定命题(◇p)
题
可能命题
可能否定命题(◇p)
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模态推理
以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理。例如:
（1）患阑尾炎但肚子不痛是不能的,所以患阑尾炎则肚子痛是必然的。
六角图Biblioteka 根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：
（13）p├ ◇p├ □p （14）p├ ◇p├ □p （15）p├ □p├ ◇p （16）p├ □p├ ◇p
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直言模态命题
根据“必然”、“可能”这两个模态词和A、 E、I、O四种基本直言命题的组合，得到八种基 本的直言模态命题：
模态算子：通常用人工语言符号“□”和“◇”来分别表示 必然性和可能性，这些人工符号在模态推理中被称为模态 算子。
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模态的分类
模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模 态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态。
➢从物的模态：关于事物本身的模态。例如：9必然大于7。 ➢从言的模态：关于命题的模态。例如：“9大于7”是必然的。 ➢客观模态：客观存在的必然性和可能性等性质。例如：飞机