第二章导热理论基础

导热微分方程简化后为：
1 d dt (r ) 0 r dr dr
I 2 R电阻 V L I （ ） 2 I A L A ( R 2 ) 2
2
边界条件:
dt 1 ） 2RL dr
dt 2) dr
r 0
r R
h 2RL (t
隔热保温材料、 铸造用的造型 材料,都是多 孔结构材料.
§2-2 导热微分方程 （ Heat Diffusion Equation） 建立导热物体中的温度场应满足的数学 表达式。 理论基础: 能量守恒定律与傅立叶定律 假设：（1）所研究的物体是各向同性的连续介
质；（2）、、c均为已知；（3）物体具有内 (w/m3)). 热源（强度
4、热流（密度）矢量
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量。
在不同方向上，热流密度 的大小是不同的
热流矢量：等温面上某点，以通过该点最大 热流密度的方向为方向，数值上也正好等于 沿该方向热流密度的矢量。

q qx i q y j qz k



二、傅立叶定律

t q grad t n n
r R
t f )
0
课堂作业: 一半径为R的实心球，初始温 度均匀并等于 t0，突然将其放入一温度 恒定并等于tf的液体槽内冷却。已知球
的热物性参数、和c，球壁表面的表
面传热系数h，试写出球体冷却过程的
完整数学描写。
c
t 1 t 1 t 1 t 2 (r 2 ) 2 2 ( ) 2 ( sin ) r r r r sin r sin
在直角坐标系中：
各向同性
t q x x t q y y t q z z

投影为标量
则： q 与gradt 共线、反向
三、导热系数
1 、导热系数的含义 导热系数的定义式由傅里叶定律的数学 表达式给出： q

t n n
数值上等于在单位温度梯度作用下物体 内所产生的热流密度矢量的模。
t f ( x)
Βιβλιοθήκη Baidu
２、等温面与等温线 1）定义： • 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同
的点连接起来所构成的面。
• 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇。
2）等温面与等温线的特点 (a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相
交。
(b) 在连续的温度场中，等温面或等温线 不会中断，它们或者是物体中完全封闭的 曲面（曲线），或者就终止于物体的边界 上。
3）球坐标系中的导热微分方程：
t 1 1 t 1 t 2 t c 2 (r ) 2 2 ( ) 2 ( sin ) r r r r sin r sin
§ 2-3 初始条件及边界条件
完整数学描写： 导热微分方程+边界条件+初始条件
第二章 导热基本原理
§2-1 基本概念及傅立叶定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 导热过程的单值性条件
§2-1
基本概念及傅立叶定律
一 、基本概念
1 、温度场 （Temperature field）
物体中瞬间各点的温度分布总称。
t f x, y, z,
稳态： 一维稳态：
t 0, t f ( x, y , z )
与热流密 度的区别?
热平衡：
净导入微元体的总热流量＋内热源生成热
Ⅰ Ⅱ
＝微元体热力学能的增量
Ⅲ
t I : d x q x dydz dydz x q x d x dx q x dx dydz (q x dx)dydz x t t dydz ( )dx dydz x x x
ɑ的物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点 温度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越 快。所以，ɑ也是材料传播温度变化能力 大小的指标，亦称导温系数。
几何尺寸相同的铁板和 木板，当一面温度很高 时，短时间内另一面的 感觉有何不同？
2）圆柱坐标系中的导热微分方程：
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
一、常见的边界条件
（1）第一类边界条件：已知边界上的温度值。
t s t w const. t s t w f ( )
（2）第二类边界条件：已知边界上的热流
密度值。
q w const. q w f ( ) 或 t n
w
qw
（3）第三类边界条件: 已知边界面与周围流体间的表面传热系数 h 及周围流体的温度 tf. 可表示为:
x向净导入热量： t ( )dxdydz x x
d x d x dx
同理，y、z向净导入热量： t d y d y dy ( )dxdydz y y t d z d z dz ( )dxdydz z z
Ⅰ:净导入微元体的总热流量
(c) 等温线的疏密可反映出不同区域导热 热流密度的大小。等温线较密集的地方说明 温度的变化率较大，导热热流也较大。
3、温度梯度（Temperature gradient）
梯度——指向变化最剧烈的方向
t t s n t t grad t lim n n 0 n n t t t i j k 温度梯度是向量， x y z 指向温度升高的 方向。
2、导热系数的影响因素： 物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。(物性参数)
金属材料的 液体 气体 非金属
最大 次之 最小 有大有小，变化 范围较大
在一定温度范围内，大多数工 程材料的 满足线性关系。
0 (1 bt)
保温材料（隔热、绝热材料） 我国规定： 低于350 ℃ 时， < 0.12w/m.k 的材料为保温材料.
t f )
边界条件
掌握内容： 1) 傅立叶定律 2) 导热系数及其影响因素 3) 导热问题的数学模型及简化 4) 导热过程的单值性条件
式中， a /( c)
称为热扩散系数
(m2/s)(thermal diffusivity)。 ②导热系数为常数 、无内热源、稳态
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
--拉普拉斯方程
热扩散率的物理意义
由定义式:
a /( c)
分子: 是物体的导热系数， 越大，在相同温度梯 度下，可以传导更多的热量。 分母: 是热容，即单位体积的物体温度升高 1 ℃ 所需的热量。 c越小，温度升高 1 ℃ 所吸收的 热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递， 使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。
源项
导热微分方程
非稳态项
扩散项
一般形式
c
t t t t ( ) ( ) ( ) x x y y z z
1）对上式化简： ①导热系数为常数
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) c x y z
热系数为h，试写出这一稳态过程的完
整数学描写。
t 1 t t t 1 c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
解题思路： 1.稳态 2.温度分布是对称的,故温度只随半径r变化(一 维),与坐标z、无关 3. 常热物性
解题思路： 1.无内热源 2.温度只随半径r和时间变化,与坐标、无关 3. 常热物性
导热微分方程简化后为：
t 2 t c 2 (r ) r r r
1)
t 0 t0 初始条件
r R
t 2） r R h (t r t 3) r 0 0 r
t n
w
h (t w t f )
二、初始条件：
不稳态时用。
t 0 f ( x, y, z ) t 0 const.
例: 一半径为R长度为L的导线，其导热系 数为常数.导线的电阻率为(.m2/m). 导线通过电流I(A)而均匀发热.已知空气
的温度为tf ，导线与空气之间的表面传
t t t x ( x ) y ( y ) z ( z ) dxdydz
Ⅱ:微元体内热源的生成热
dxdydz
Ⅲ:微元体热力学能的增量
t c dxdydz
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z