第九章非线性方程解法

（ f
，，f
1
）,
n
X
（x1，，xm）
m n 是定解条件，一般 m n 是无解或不定 解的。
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
f (a) f (b) 0。则可用对分法：
不妨设 f (a) 0, f (b) 0
x1 x0
收敛定理证明
x x x x x x x x



n p
n
n p
n p1
n p1
n p2
n1
n
由 Lipschitz 条件，对任意 k 有
x x k1
k

(
x k
)

(
xk 1
)

x x L k
k 1

Lk
x1 x0
x x L x x L x x L x x
n
n
(x ) n


lim xn n
若 {xn}收敛，即 lim xn x，则： n x (x) f (x) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
收敛充分性定理
定理9.2 . 若 f ( x ) 0 x ( x ) . 且 ( x ) 满足
n p1 n p2 n
n p
n
1
0
1
0
1
0

L L( n
p 1
Lp2
1) x1
x0

1 Lp
1 L
Ln
x1
x0
x x x 当L 1且 n 有 ， { }是 Cauchy序列，
n p
n
n
xn ξ
Ln 1 L
(9 - 9)
称为松驰法， wn 称为松弛因子，边计算边调整
松弛因子。
Aitken方法
当计算 (x) 的徽商不方便时，可有Aitken 方法：
先求出两次近似值：
x x (1) ( )
n1
n
x x (2) ( (1) )
n1
n1
构造格式：
xn 1
x(n2)1


0，则得到根
x ai bi . 2
二分法的收敛性
二分法产生一个有根区间：
(a,b) , (a1,b1),, (an ,bn)
(an ,bn) 区间长度：

b a b a 2 n
1( n 2 n1
)
n 1
1
n
(b

a)
a b 当n 足够大时，取近似值


n
n，
Lipschitz 条件 :
对 x1 , x2 :
( x1 ) ( x2 ) L x1 x2
L 为与 x1 , x2 无关的正常数, 称 Lipschitz 常数.
若 L 1 则迭代
x x ( ) 收敛，并收敛到真根 ，收敛速度：
n1
n
xn
Ln 1 L
01
(1) ( 2)
1
1
(2) 1
2
2 (2) 2
1
(1) ( 2) 11
(1) 2 1
x x x 2 (2)
(1)
1
1
0
(2)
x x (2)
1
x1
(2)
x 2x x 1
(1) 2
1
(1)
1
0
§4. Newton 法
非线性问题的最简单解法是线性近似.
由条件 ' (x) L 1 知： ' (x) ' (x)
' ( x ) 1 ( ' ( x ))
1
若 xk 已是一个近似根，
则取 k ' (xk), ' (xk) 将很小。
记
1
wk 1 k
: xn1 (1 wn) xn wn (xk)
x x 2 误差： x
n

ba
n1
n
2
收敛速度快，但对函数要求太高且不能求复根。
§2. 迭代法
改写方程：f (x) 0 x (x) 且 连续。
x x x 建立迭代格式： ( )，得到序列 { }
n 1
n
n
则 {xn}收敛必收敛到 f (x） 0 的根：
lim xn1 lim
第九章 非线性方程及方程组的解法
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数， 例代数方程 f (x) an xn an1 xn1 a1 x a0 0, n 1 例超越方程 f (x) ex sin x 0 非线性方程组：
F(X) 0
F是向量函数 F
f ( x ) 0 在真根附近 x 点展开成 Taylor 级数：
f(x) f( x0 ) (x- x0 ) f ' ( x0 )
xx0 2
f ('' x0 )
2!
取线性部分近似代替
p P0(0, 1(1))
0
1(1) 1(2) 0
由 p p 斜率: 01
x x x x (2)
(1)
1
1
(1)
1
1
x x (1)
1
0
x1 x0
解出 x1 :
x x x x
( 2 )
01
(1) 2 1
x 2x x 1
( 2 )
(1)
1
1
0
x x 2x x x x x x x (2)
x1 x0
用
'
( x)
L 1代替
Lipschitz
条件。
§3. 迭代加速收敛方法
L 越小收敛越快，引入 参数并适当变形。 x ( x ) x ( 1 )x (1 1 )( x ) ( x ),
( 1)
为使 xn1 (xn) , 比 xn1 (xn) 收敛快，
1）, 若
f

a
b 2


0
输出根
x

ab 2
, 否则：若
f

a
b 2


0，
令
a1
ab 2
，b1

b
反之
ab b1 2 , a1 a.
2 ),对 [ a1 ,b1 ] 区间重复1）的计算，并产生 [ a2 ,b2 ],
3),
若
f

ai
2
bi
x(n2)1 x(n1) 1 2 x(n2)1 2x(n1) 1 xn
有较好效果。
Aitken方法的几何解释
对 n 0 说明：
p x x x p x x x , (1) ( ) ;
0
0
1
0
, ( ) (1)
(2)
(1)
11
1
1
P1(1(1) ,1(2))