【重要资料】2014上海中学自主招生数学考试试题[带答案

2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷

一、填空题(8×9=72)

1.已知111a b a b +=+，则

b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b +=+，则b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b -=+，则b a a b -=

___________. 【变式】已知：2

2

114

a b a b +=+，则22b a a b +=___________.

1b =

b +=___________.

2.有________个实数x

.

【变式】x 为1,2,3，……，2014

x 有_______个. 【变式】x 为1,2,3，……，2014

为有理数的x 有_______个. 【变式】有________个整数x

.

3.如图，在ABC ∆中，AB AC CD BF BD CE ===，，

，用含A ∠的式子表示EDF ∠，应为EDF ∠=_____________.

F

E

D

C

B

A

【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，

90,A ∠=AB AC CD BF BD CE ===，，，则 EDF ∠=_____________.

F

E

D

C

B

A

【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，0

901

A A

B A

C ∠===，，

D

E

F 、、分别是边BC CA AB 、、上的点，且CD BF BD CE ==，，则DEF S ∆面积最大值为__________.

F

E

D

C

B

A

4.在在直角坐标系中，抛物线223

(0)

4y x mx m m =+->与x 轴交于A B 、两点，若A B 、两点到原点的距离分别为OA OB 、，且满足1123OB OA -=

，则m =_________.

5.定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一周，若动圆B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r 共有______个可能的值.

6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人.

7.对于各数互不相等的正整数组()12n a a a ，，，(n 是不小于2的正整数)，如果在i j <时有

i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组

()2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，

“3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组()1

23456a a a a a a ，，，，，的逆序数为2，

则

()654321a a a a a a ，，，，，的逆序数为___________.

8.若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<

+有唯一整数解的n 的最大值为______.

【变式】若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<

+有唯一整数解的n 的最小值为

______.

二、选择题(4×10=40)

9．已知2

12x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )

A. 3个

B. 4个

C. 6个

D. 8个

10．如图，D E 、分别为ABC ∆的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作

//DM BA 交l 于M ，作//EN CA 交l 于N ，设ABM ∆面积为1S ，ACN ∆面积为2S ，则

( )

A. 12

S S > B.

12

S S = C.

12

S S < D.

1

S 与

2

S 的大小与过点A 的直线位置有关

11.设

1212

p p q q ，，，为实数，

12122()

p p q q =+，若方程，甲：

2110

x p x q ++=，

乙：2220

x p x q ++=，则 ( )

A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根

C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定

12．设

22222222

12310071231007,1352013357

2015a b =+++

+=++++

，则以下四个选项中最接

近a b -的整数为( )

A ．252 B.504 C. 1007 D. 2013

三、解答题(38分，13题18分，14题20分)

13.直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC (B D 、位于AC 的两侧)，M N 、分别是AC BD 、的中点，且M N 、不重合， (1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论.

(2)若030BAC ∠=，

045,4CAD AC ∠==，求MN 的长. N

M

D

C

B

A

14.是否存在m 个不全相等的正数12(7)

m a a a m ≥，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周

上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值，若不存在，说明理由.