第54讲 抛 物 线(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第54讲抛物线

一、课程标准

1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

二、基础知识回顾

1、、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2 、抛物线的标准方程与几何性质

3 、与焦点弦有关的常用结论

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 24

. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．

(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 三、自主热身、归纳总结

1、抛物线y 2＝4x 的准线方程为( )

A. x ＝1

B. x ＝－1

C. y ＝1

D. y ＝－1

2、 设抛物线y 2＝8x 上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

3、过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

4、拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )

A.⎝⎛⎭⎫a 2，0

B.⎝⎛⎭⎫a 2，0或⎝⎛⎭⎫

－a 2，0

C.⎝⎛⎭⎫0，18a

D.⎝⎛⎭⎫0，18a 或⎝⎛⎭⎫0，－1

8a

5、已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程为________．

6、设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．

四、例题选讲

考点一 抛物线的定义及其应用

例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x －y ＋2＝0上，则抛物线方程为____．

(2)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．

变式1、(1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )

A.1

2 B ．1 C.32

D ．2

(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．

变式2、(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则点M 到y 轴的最短距离为( )

A.12 B ．1 C.3

2

D ．2 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________．

方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考点二 抛物线的标准方程及其几何性质

例2 已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|＝4|FB|，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为5

8，求p 的值．

变式1、已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________．

变式2、（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )

A ．y 2＝－x B.x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y

D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y

变式3、（山西省临汾一中2019届模拟）直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )

A ．y 2＝－12x

B .y 2＝－8x

C ．y 2＝－6x

D ．y 2＝－4x

方法总结：1．求抛物线标准方程的方法

(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可．

(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算

考点三 综合考查直线与抛物线的问题

例3、如图，已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；

(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值．