组合投资选择模型概述

组合投资选择模型

金融微观分析面临着许多的不确定性，对于不确定性通常有三种研究方法：1、效用分析法；2、均值分析法；3、无套利分析法。

第一节组合投资选择模型

一、证券组合的收益与风险组合投资理论基本假设：

（1）已知投资收益率的概率分布

（2）风险用方差或标准差度量

（3）影响投资结果的因素仅有均值、方差

（4）投资者为不满足和风险厌恶型

二、组合的收益和风险(多(N) 种资产)

投资组合：将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。记：p=(x1,…,x N)T，设第I种证券的收益为r i，其中X i为投

资于I 证券的资金比例，则1

1N

i t X ==∑。

r i 的标准差为σι，r i 与r j 的协方差为ij σ，相关系数为ij ρ

投资组合:

收益率：1N

P i i t r X r ==∑

期望收益率：()1

()N

P i i t E r X E r ==∑

方差：()211

11

var N N N N T P

P i j ij i j ij i j i j i j r X X X X P P σσρσσ∆

======∑∑=∑∑=∑

标准差：

()12

T

p P P σ==∑ ∑为1n r r L 的协方差矩阵

第二节 二次效用函数与投资证券收益率

关于二次效用函数与投资证券收益率服从正态分布的讨论。

设投资者的期初财富为w 0，个体通过投资各种金融资产来最大化它的期末

财富、w

~ 带来的期望效用。 设个体的N —M 效用函数为u 0,对u 在E （w ）作Taylor 展开，

)~(w

U =U(E(w))+ )~(w U '(w ~ －E(w)) +!

2))

((''W E U (w ~ －E(w))2+R 3

其中R 3=∑∞

=-3~)

())()(((!

1n n n W E w w E u n

在假设U 有很光滑的条件之下，可得E()~(w

U )=U(E(w ~))

（光滑的含义：存在N 阶导、展开的级数收敛、积分与求导可交换）

E()~(w U )=U(E(w ~))+2

1U ''(E(w ~))2σ（w ~）+E(R 3

)————（1） 其中E(R 3)= ∑∞

=3~~)()()((!

1n n

n w m w E u n )—————————（2）

其中m n 表示w

~的n 阶中心矩 定理Ⅰ：1，如果)~(w

U 是二次函数则，)~(w U =a+b w ~+c w ~2， 2，对任意N —M 效用函数U ，如果期末的财富服从正态分布，则期望效用仅是财富的期望与方差的函数。

E()~(w

U

2σ

证明：如果1成立,则期望效用

E()~(w

U )= a + b E(w ~) + c E(w ~2)=a + b E(w ~) + c[2σ（w ~）+ E 2(w ~)] 如果2成立，则当期末财富服从正态分布时，则

E(w

~ －E(w))j = ① 0 j 为奇数 ② )!

(!2j

j ×

2

21

J

（2σ（w ~））5.0 j 为偶数

可见定理成立

期望效用最大化在定理1的假设下，归结为选择均值与标准差的最优组合来实现。

下面来证明在均值、标准差平面上，无差异曲线是凸的单调递增的。 为此，由收益率的定义r 1=

1w w w - (1期收益率)

知：1w ~N(2

,σμ) ⇒ r 1~N(2

~~

,σμ)

因此，资产（财富）的收益率服从均值为,-

r ，标准差为σ的正态分布。

定理Ⅱ：当资产收益率r~N(2,σr -

)时，则无差异曲线是向下凸的，风险厌恶者的期望收益与风险之间的边际替代率是正的。 证明：略

第三节 关于组合投资的有效边界的讨论及性质

定义：如果一个证券组合在所有的均值收益率的证券组合中是具有最小的方差值，那幺这个组合就是有效的证券组合。 Markowitz 模型： Min

T

VX X

s.t

()T

x e X

r =E

1T

X

=1

构造Lagrange 函数：()()()

1,,12

T T T

x

L X VX e X r X X λμλμ=+E -+-1 解得： 1

1

1T

T

e V V λμ--=+111

11

T T x e e V e V r λμ--E =+1

令 A=1T e V -1，B=1T V -11，C=1T e e V -，D=1T e V -1。2

D BC A =-

继而得到：()x X f h r =+E （﹡） 22

1x C A x C D C r σ

⎛⎫=

+E - ⎪⎝⎭

最小方差集合性质

性质一 f, f+h 是0，1均值的两个投资组合。

在﹡式中，取E （R x ）=0 →X p =f ,取E （R x ）=1 →X p =f+h 性质二 前沿面上的所有证券都是f 和f+h 的组合。 证明：做f 和f+h 的组合q

（1— E(r q )）*f+ E(r q )*（f+h ）=f + h* E(r q )=X q 性质三 2

1

cov(,)x mvp mvp c

r r σ==

证明：讨论证券x 与q 的协方差 Cov(r x ,r q )=E(r x - E(r x ))( r q -E(r q ))

=

D C ( E(r x )-C A )( E(r q )-C A ) + C

1 特别的当x=q,有：σ2X =

C

1

+ D C ( E(rx)-C A )2 ⇒ （抛物线）

C X 12

σ —C

D )C A -(E(rx)2

=1 ⇒（双曲线）