第十一章 机械波与电磁波练习 答案

第十一章 机械波与电磁波
练习一
一、选择题
1、当一列机械波在弹性介质中由近向远传播的时候，下列描述错误的是( A ) (A)机械波传播的是介质原子
(B)机械波传播的是介质原子的振动状态 (C)机械波传播的是介质原子的振动相位 (D)机械波传播的是介质原子的振动能量
2、已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则( D ) （A ）波的频率为a ； （B ）波的传播速度为 b/a ； （C ）波长为 π / b ； （D ）波的周期为2π / a 。

解释：由22cos()cos(
)2/2/y A at bx A t x a b ππππ=-=-，可知周期2T a π
=。

波长为b
π2。

3、一平面简谐波的波形曲线如右图所示，则( D )
(A)其周期为8s (B)其波长为10m
(C)x =6m 的质点向右运动
(D)x =6m 的质点向下运动
4、如右图所示，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点的振动方程为cos y A t ω=，则( C )
（A ）O 点的振动方程为 []cos (/)y A t l u ω=-； （B ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=--； （C ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=+-； （D ）C 点的振动方程为 []cos (3/)y A t l u ω=-。

二、填空题
1、有一平面简谐波沿Ox 轴的正方向传播，已知其周期为s 5.0，振幅为m 1，波长为m 2，且在0=t 时坐标原点处的质点位于负的最大位移处，则该简谐波的波动方程为
()πππ--=x t y 4cos 。

2、已知一简谐波在介质A 中的传播速度为u ，若该简谐波进入介质B 时，波长变为在介质A 中的波长的两倍，
则该简谐波在介质B 中的传播速度为2u 。

(解释：T
u λ
=
2
2
11u u λλ= u u u u 221122===
λ
λλλ) 3、已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)，则
)
1= 10m x 点处质点的振动方程为0.25cos(125 3.7)y t =- (SI)；
1= 10m x 和2= 25m x 两点间的振动相位差为 5.55 rad ϕ∆=-。

4
该时刻质点A 为向x 轴正方向传播，B 、C 、D 运动方向为B 向上 ，C 向下 ，D
三、计算题
1、一横波沿绳子传播时的波动方程式为
0.05cos(104)y t x ππ=- （SI ）
x ，y 的单位为m ，t 的单位为s 。

（l ）求此波的振幅、波速、频率和波长；
（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；
（3）求x =0.2m 处的质点在t =1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ （4）分别画出t =1s ，1.25s ，1.50s 各时刻的波形。

解：（1）由波动方程式有A =0.05m ，ν=5Hz ，λ=0.5m ，且 2.5/u m s λν==，00ϕ=
（2）0.5 1.57/m v A m s ωπ===，222549.3/m a A m s ωπ===
（3）x =0.2m 处质点在t =1s 时的相位为(0.2,1)(10140.2)9.2ϕπππ=⨯-⨯= 与t 时刻前坐标原点的相位相同，则(0,)(1040)9.2t t ϕπππ=⨯-⨯= 得t =0.92s
（4）t =1s 时，0.05cos(104)0.05cos 4()y x x m πππ=-=
t =1.25s 时，0.05cos(12.54)0.05sin 4()y x x m πππ=-= t =1.50s 时，0.05cos(154)0.05cos4()y x x m πππ=-=-
分别画出图形如下图所示
)
2、设有一平面简谐波
0.02cos 2(
)0.010.3
t x y π=- (SI) x ，y 以m 计，t 以s 计。

（1）求振幅、波长、频率和波速。

（2）求x =0.1m 处质点振动的初相位。

解：（1）由波动方程有A =0.02m ，λ=0.3m ，ν=100Hz ，00ϕ=，且30/u m s λν== （2）0
0.1
00.122()0.010.33
x π
ϕπ==-=-
3、已知一沿x 轴正向传播的平面余弦波在t =1/3s 时的波形如右图所示，且周期T =2s 。

（1）写出O 点和P 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P 点离O 点的距离。

解：由波形曲线可得A =0.1m ，λ=0.4m ，且0.2/u m s T
λ
=
=，2/rad s T
π
ωπ=
= （1）设波动表达式为0cos[()]x y A t u
ωϕ=-+ 由图可知O 点的振动相位为23
π
，即1003
2()3
3
Ot t s t π
πϕωϕϕ==+=
+=
得O 点的初相03
πϕ=
所以O 点的振动表达式为0.1cos()()3
O y t m π
π=+
同样P 点的振动相位为013
[()]
3
0.2
3
2
P
Pt t s x x t u
==-+=
-
+
=-
ππ
π
π
ϕωϕ，得0.1P x m =
所以P 点的振动表达式为0.1cos()()6
P y t m =-π
π
（2）波动表达式为0.1cos[(5)]()3
y t x m π
π=-+
（3）P 点离O 点的距离为0.1P x m =
练习二
一、选择题
1、当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？( D ) （A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等； （D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

2、下列关于电磁波说法中错误的是( D ) (A)电磁波是横波 (B)电磁波具有偏振性
(C)电磁波中的电场强度和磁场强度同相位
(D)任一时刻在空间中任一点，电场强度和磁场强度在量值上无关
3、一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，其波长为λ，则位于λ=1x 的质点的振动与位于
2/2λ-=x 的质点的振动方程的相位差为( B )
(A)π3- (B)π3 (C)2/3π- (D)2/π
4、一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，其波速为u ，已知在1x 处的质点的振动方程为
()0cos ϕω+=t A y ，则在2x 处的振动方程为( C )
(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛-+
=012cos ϕωu x x t A y (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=012cos ϕωu x x t A y (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝
⎛--
=012cos ϕωu x x t A y (D)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=012cos ϕωu x x t A y 二、填空题
1、已知两频率相同的平面简谐波的强度之比为a
2、介质的介电常数为ε，磁导率为μ，则电磁波在该介质中的传播速度为
3、若电磁波的电场强度为E ，磁场强度为H ，则该电磁波的能流密度为 S E H =⨯ 。

4、一平面简谐波，频率为31.010Hz ⨯，波速为31.010m/s ⨯，振幅为41.010m ⨯，在截面面积为424.010m -⨯的管内介质中传播，若介质的密度为238.010kg m -⨯⋅，则该波的能量密度___521.5810W m -⨯⋅；该波在60 s 内垂直通过截面的总能量为_33.7910 J ⨯____。

三、计算题
1、一平面简谐声波的频率为500Hz ，在空气中以速度u =340m/s 传播。

到达人耳时，振幅A =10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=1.29kg/m 3）。

解：人耳接收到声波的平均能量密度为22631
6.3710/2
w A J m ρω-=
=⨯ 人耳接收到声波的声强为3
2
2.1610/I wu W m -==⨯
2、一波源以35000W 的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为
7.8×10-15J/m 3，求该处离波源的距离。

电磁波的传播速度为3.0×108
m/s 。

解：设该处距波源r ，单位时间内通过整个球面的能量为2
4P SA S r π==
则43.4510r m =
==⨯
3、一列沿x 正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=0.25s 时的波形如右图所示。

试求： （l ）P 的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O 点的振动曲线。

解：由波形图可知A =0.2m ，1T s =，0.6m =λ，1T s =，1
1Hz T
ν==，
0.6/u m s λν== （1） 由P 点的振动状态知02
P π
ϕ=-，故P 点的振动表达式为0.2cos(2)()2
P y t m π
π=-
（2）由O 点的振动状态知02
O π
ϕ=
，故O 点的振动表达式为0.2cos(2)()2
O y t m π
π=+
所以波动表达式为100.2cos[2()]0.2cos(2)()0.6232
x y t t x m ππ
πππ=-+=-+ （3）O 点的振动曲线如下图所示
练习三
一、选择题
1、两列波要形成干涉，要满足相干条件，下列选项中不属于相干条件的是( D ) (A)频率相同 (B)振动方向相同 (C)相位差恒定 (D)振幅相同
2、在波长为λ 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为( B ) (A) λ /4 (B) λ /2 (C) 3λ /4 (D) λ
3、下列关于驻波的描述中正确的是( C ) (A)波节的能量为零，波腹的能量最大 (B)波节的能量最大，波腹的能量为零 (C)两波节之间各点的相位相同 (D)两波腹之间各点的相位相同
4、设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S ν。

若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R v 沿着S 、R 连线向着声源S 运动，则位于S 、R 连线中点的质点P 的振动频率为( A )
（A ）S ν； （B ） R S u v u ν+； （C ）
S R u u v ν+； （D ） S R u
u v ν-。

二、填空题
1、如图所示，有两波长相同相位差为π的相干波源
1S , 2S ,发出的简谐波在距离1S 为a ，距离2S 为b
（b>a ）的P 点相遇，并发生相消干涉，则这两列简 谐波的波长为
2()(0,1,2)21
b a k k -=+。

2、当一列弹性波由波疏介质射向波密介质，在交界面反射时，反射波与入射波间有π的相位突变，这一现象被形象化地称为 半波损失 。

3、如图所示，两列相干波在P 点相遇。

一列波在B 点引起的振动是 310310cos2y t -=⨯π；
另一列波在C 点引起的振动是3201310cos(2)2y t -=⨯π+π； 令0.45 m BP =，0.30 m CP =，两波的传播速度= 0.20 m/s u 。

若不考虑传播途中振幅的减小，则P 点的合振动的振动方程为
31
610cos(2)2
y t -=⨯-ππ(SI)。

解释：第一列波在P 点引起的振动的振动方程为
311
310cos(2)2
y t -=⨯-ππ
第二列波在P 点引起的振动的振动方程为
321
310cos(2)2
y t -=⨯-ππ
所以，P 点的合振动的振动方程
3121
610cos(2)2
y y y t -=+=⨯-ππ
4、一列火车以20 m /s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，一静止观测者在火车前和火车后所听到的声音频率分别为637.5 Hz 和_566.7 Hz （设空气中声速为340 m/s ）。

三、计算题
1、同一介质中的两个波源位于A 、B 两点，其振幅相等，频率都是100Hz ，相位差为π，若A 、B 两点相距为30m ，波在介质中的传播速度为400m/s ，试求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

解：建立如下图所示的坐标轴，根据题意，设
A ϕ=，
B ϕπ
=，且
4u
m
λν
=
=，
2200/rad s ==ωπνπ
在A 、B 间任选一点C ，两波在C 点引起的振动分别为
cos[()]cos ()AC A x x
y A t A t u u ωϕω=-+=-
()
cos[()]cos[()]BC B x x L y A t A t u u
ωϕωπ'-=-+=++
两振动使C 点静止的相位差应为(21)C BC AC k ϕϕϕπ∆=-=+ 即()2[()]()(2)(21)x L x t t x L k u u πωπωππλ
-+
+--=-+=+ 解得215,0,1,2,
,7x k k =+=±±±
即AB 连线间因干涉而静止的点距A 点为（1,3,5,…,29）m ，共有15个。

在A 、B 两点外侧连线上的其他任意点，比如D 点和E 点，A 、B 两相于波的传播方向相同，并且在这些点处均为同相叠加，是干涉加强区域，所以在A 、B 两点外侧的连线上没有静止点。

2、两个波在一很长的弦线上传播，设其波动表达式为
10.06cos (0.020.8)2
y x t π
=- 20.06cos
(0.020.8)2
y x t π
=+
用SI 单位，求：
（1）合成波的表达式； （2）波节和波腹的位置。

解：（1）ω=0.4πrad/s ，U=40m/s,λ=200m ，将两波改写成如下形式
120.06cos(0.4)200y t x =-
ππ，220.06cos(0.4)200
y t x =+π
π 则合成波为122(2cos )cos 0.12cos0.01cos0.4y y y A x t x t =+==π
ωππλ
这是个驻波。

（2）波节有cos0.010x π=
0.01(21)
2
x k π
π=+
故波节位置为50(21),0,1,2,
x k m k =+=±
±
波腹有cos0.011x π=
0.01x k ππ=
故波腹位置为100,0,1,2,
x k m k ==±
±
3、（1）火车以90km/h 的速度行驶，其汽笛的频率为500Hz 。

一个人站在铁轨旁，当火车从他身旁驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大？设声速为340m/s 。

（2）若此人坐在汽车里，而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h 的速率迎着火车行驶。

试问此人听到汽笛声的频率为多大？
解：设声波在空气中传播的速率为u ，波源（汽笛）的频率为S ν，波源（火车）运动的速
率为39010/25/3600S m s m s υ⨯=
=，观察者的运动速率为3
5410/15/3600
R m s m s υ⨯==。

当波源和观察者沿两者的连线运动时，观察者接收到的频率为R
R S S
u u υννυ+=- （1）火车向着观察者运动时观察者接收到的频率为
1340
(
)()50054034025
S S u Hz Hz u ννυ==⨯=-- 火车远离观察者运动时观察者接收到的频率为
2340
(
)50046634025
Hz Hz ν=⨯=+
则频率变化为1274Hz ννν∆=-= （2）车中的观察者接收到的频率为
34015
500563.534025
R S S u Hz Hz u υννυ++=
=⨯=--。