2020年数学中考重难点突破之几何探究题

题型五 几何探究题
类型一 旋转探究问题
1. 如图①，在正方形ABCD 和正方形AB ′C ′D ′中，AB ＝2，AB ′＝2，连接CC ′.
问题发现(1)计算CC ′BB ′的值为________；
拓展探究(2)将正方形AB ′C ′D ′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连
接BB ′.试判断：当0°≤θ＜360°时，CC ′BB ′的大小有无变化？请仅就图
②的情形给出你的证明；
问题解决(3)在旋转过程中，BB ′的最大值为多少？并给出解题过程．
第1题图
解：(1)2；
(2)在旋转的过程中，CC ′BB ′的值不变.
证明：如解图①，连接AC ，AC ′，
第1题解图
∵四边形ABCD 和四边形AB ′C ′D ′是正方形，
∴∠BAC ＝∠B ′AC ′＝45°，
∴∠BAC －∠B ′AC ＝∠B ′AC ′－∠B ′AC ，
即∠B ′AB ＝∠C ′AC ，
又∵AC AB ＝2，AC ′AB ′＝2， ∴AC AB ＝AC ′AB ′，
∴△B ′AB ∽△C ′AC ，
∴CC ′BB ′＝AC AB ＝2；
(3)以点A 为圆心，AB ′长为半径画圆，如解图②所示，
当点B ′在BA 的延长线上时，线段BB ′最长，此时BB ′＝AB ＋AB ′＝2＋2，即BB ′的最大值为2＋ 2.
2. 如图①，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC 上，且BE ＝BF ，点M 为AF 的中点，连接CE ，BM .
问题发现：
(1)线段CE 与BM 之间的数量关系是________，位置关系是________； 类比探究：
(2)如图②，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°)．请判断(1)中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展延伸：
(3)将图①中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α＝90°时，得到如图③所示的图形，若AB＝3，BE＝1，请直接写出MF的长．
第2题图
解：(1)CE＝2BM，CE⊥BM；
(2)(1)中的两个结论仍然成立；
证明：如解图，延长AB到点N，使NB＝AB，连接NF，
第2题解图
∵M为AF的中点，B为AN的中点，
∴BM为△ANF的中位线，
∴NF＝2BM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA ＝90°，AB ＝BC ＝BN ，
又∵∠CBN ＝∠EBF ＝90°，∠ABE ＝∠CBF ＝α，
∴∠CBA ＋∠ABE ＝∠CBN ＋∠CBF ，
即∠CBE ＝∠NBF ，
在△CBE 和△NBF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BN
∠CBE ＝∠NBF
BE ＝BF
，
∴△CBE ≌△NBF (SAS)，
∴NF ＝CE ，
∴CE ＝2BM ，
∵MB 为△ANF 的中位线，
∴MB ∥FN ，
∴∠MBA ＝∠N ，
又∵△CBE ≌△NBF ，
∴∠ECB ＝∠N ，
∴∠MBA ＝∠ECB ，
∵∠MBA ＋∠CBM ＝90°，
∴∠ECB ＋∠CBM ＝90°，
∴CE ⊥BM ；
(3)MF ＝1.
【解法提示】∵AB ＝3，BE ＝1，
∴BF ＝1，
∴AF＝3－1＝2，
∵M为AF的中点，∴MF＝1.
类型二新定义探究问题
3. 如图①，△ABC中，∠B>∠C，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n＋1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC的好角．
确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况，情形一：如图②，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
(1)△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？________(填“是”或“不是”)
(2)经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C之间的等量关系，并说明理由；
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B 与∠C之间的等量关系为________；
应用提升
(3)一个三角形三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个
角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是5°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
第3题图
解：(1)是；
【解法提示】理由如下：情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B＝∠AA1B1; 又∵将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C ＝∠C，∵∠AA1B1＝∠C＋∠A1B1C(外角定理)，∴∠B＝2∠C. (2)∠B＝3∠C；
证明如下：在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将其余下的部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角；
根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，
根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C；
根据四边形外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1B1C＝∠BAC ＋2∠B－2∠C＝180°，
根据△ABC的内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
∴∠B＝n∠C.
【解法提示】由情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由上述知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC 是△ABC的好角，则∠B与∠C之间的等量关系为∠B＝n∠C；(3)由(2)知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是5°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5mn°(其中m、n为正整数)．
由题意得5m＋5mn＋5＝180，
∴m(n＋1)＝35，
∵m，n都是正整数，
∴m与n＋1是35的因数，因此有：m＝1，n＋1＝35；m＝5，n＋1＝7；m＝7，n＋1＝5；
∴m＝1，n＝34；m＝5，n＝6；m＝7，n＝4，
∴5m＝5，5mn＝170；5m＝25；5mn＝150；5m＝35，5mn＝140.
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：5°，170°或25°，150°或35°，140°.
4. 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．如图①中，四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.
(1)探究：小明对“垂直四边形”ABCD(如图①)进行了深入探究，发
现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2＋CD2＝AD2＋BC2，你认为他的发现正确吗？试说明理由．
(2)应用：
①如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0<t<1)，连接CP，BQ，PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．
②如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC，分别以AB，AC 为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG.请求出线段EG 与BC之间的数量关系．
第4题图
解：(1)正确，理由如下：
∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
∴AC⊥BD，
由勾股定理可知：
AB2＋CD2＝(AO2＋BO2)＋(DO2＋CO2)，
AD2＋BC2＝(AO2＋DO2)＋(BO2＋CO2)，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2；
第4题解图①
(2)①如解图①，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，
由题意知，AP ＝5t ，CQ ＝6t ，
∵∠ACB ＝90°，
∴AB ＝62＋82＝10，
∵PD ∥BC ，
∴△P AD ∽△BAC ，
∴AD AC ＝PD BC ＝AP AB ，
∴AD 6＝PD 8＝5t 10，
∴AD ＝3t ，PD ＝4t ，
∴DQ ＝AC －AD －CQ ＝6－9t ，
∵四边形BCQP 是“垂直四边形”，
∴由(1)可得：BP 2＋CQ 2＝PQ 2＋BC 2＝(PD 2＋DQ 2)＋BC 2， ∴(10－5t )2＋(6t )2＝(4t )2＋(6－9t )2＋82，
∴解得t ＝29或t ＝0(舍去)．
∴当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，t 的值为29；
第4题解图②
②如解图②，连接CG 、BG 、BE 、CE ， CE 与BG 交于点O ，
由题意知：EA ＝BA ，AC ＝AG ， ∠EAB ＝∠CAG ＝90°，
∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠CAG ＋∠BAC ， ∴∠EAC ＝∠BAG ，
在△EAC 与△BAG 中，
⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝BA ∠EAC ＝∠BAG AC ＝AG
， ∴△EAC ≌△BAG (SAS)，
∴∠CEA ＝∠GBA ，
∴∠BEA ＋∠EBA ＝∠BEO ＋∠EBO ＝90°， ∴∠EAB ＝∠BOE ＝90°，
∴四边形BCGE 是“垂直四边形”， ∴BC 2＋EG 2＝BE 2＋CG 2，
∵AB ＝3AC ，
∴EG 2
＝32BC 2. 类型三 操作探究问题
5. 数学课上，老师和同学们对相似三角形的判定和性质进行了如下探究：
活动一：
(1)如图①，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在△A1B1C内用同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…，如此下去，操作n次，则第1个内接正方形的边长是______，第n个小正方形A n B n D n E n的边长是________；
活动二：
(2)如图②，在△ABC中，BC＝12，高AD＝8，四边形PQMN为△ABC 的内接矩形(P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上)．
①求当PQ为何值时，矩形PQMN的面积最大；
②在①的条件下，若再在△APQ中作一个内接矩形P1Q1M1N1，如此下去，操作n次，求P n Q n的长．(直接写出结果)
思考与归纳：
(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．
第5题图
解：(1) 1，1
3
n －1；
【解法提示】∵∠A ＝∠B ＝45°，∴AE 1＝A 1E 1＝A 1B 1＝B 1D 1＝D 1B ＝D 1E 1，∴第1个内接正方形的边长＝1
3AB ＝1.同理：第2个内接正方形的边长＝13A 1B 1＝19AB ＝13，第3个内接正方形的边长＝13A 2B 2＝1
27AB ＝19，…故可推出第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长＝13n AB ＝13n －1.
(2)①设PQ ＝x ，矩形PQMN 的面积为y ，AD 与PQ 交于点E ，
第5题解图
∵PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ， ∴AE AD ＝PQ
BC ，即8－PN 8＝x 12， ∴PN ＝8－2
3x .
则y ＝PQ ·PN ＝x ·(8－23x )＝－2
3(x －6)2＋24. ∵－2
3＜0，
∴该抛物线的开口向下，当x ＝6时，y 取得最大值， 故当PQ ＝6时，矩形PQMN 的面积最大；
②由①知，PQ ＝12
2， 同理：P 1Q 1＝12
22， P 2Q 2＝1223， …
P n Q n ＝12
2
n ＋1；
(3)根据(1)的解题过程可以得到结论：第n 个小正方形A n B n D n E n 的面积是1
3
2（n －1）.
6. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF . (1)观察猜想
如图①，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为：________．
②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考
如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证
明． (3)拓展延伸
如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若已知AB ＝22，CD ＝1
4BC ，请求出GE 的长．
第6题图
解：(1)①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF ；
【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌
△ACF (SAS)，∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CF . (2)结论①仍然成立，②不成立， ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)，
∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°，
∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；
②结论为：BC ＝CD －CF ， 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD －BD ， ∴BC ＝CD －CF ；
第6题解图
(3)如解图，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，则CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∵AB ＝AC ＝22， ∴BC ＝4，AH ＝1
2BC ＝2， ∵CD ＝1
4BC ， ∴CD ＝1，
∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝∠AGC＝45°，
∴BC＝CG＝4，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADH＋∠EDN＝∠EDN＋∠DEN＝90°，
∴∠ADH＝∠DEN，
又∵∠AHC＝∠DNE＝90°，AD＝DE，
∴△AHD≌△DNE(AAS)，
∴DN＝AH＝2，EN＝DH＝3，
∴CM＝EN＝3，ME＝CN＝3，
则GM＝CG－CM＝4－3＝1，
∴EG＝EM2＋GM2＝10.
7. 如图①，②，③，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于
点O.
(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC；
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程；(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝_____(填写度数)；
(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向
△ABC 外作正n 边形，BE 和CD 仍相交于点O ，猜想得∠BOC 的度数为______(用含n 的式子表示)．
第7题图
(1)证明：∵△ABD ，△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ＝60°， ∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ， ∴∠DAC ＝∠BAE ， 在△ABE 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC
， ∴△ABE ≌△ADC (SAS)；
第7题解图①
(2)解：如解图①，AD ，BE 交于点K ，则∠OKD ＝∠AKB ，
又由(1)知△ABE ≌△ADC ， ∴∠ODK ＝∠KBA ， ∴△OKD ∽△AKB ， ∴∠DOK ＝∠BAK ＝90°， 又∵∠BOC ＋∠DOK ＝180°， ∴∠BOC ＝180°－90°＝90°；
第7题解图②
(3)解：72°；
【解法提示】如解图②，AD ，EB 交于点K ，由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA ，∵∠OKD ＝∠AKB ，∴△OKD ∽△AKB ，∴∠DOK ＝∠BAK ＝180°×（5－2）5＝108°，又∵∠BOC ＋∠DOK ＝180°，∴∠BOC ＝180°－108°＝72°； (4)解：180°－180°·（n －2）n
. 【解法提示】如解图③，AD ，BE 交于点K ，
第7题解图③
∴∠DOK＋∠BOC＝180°，又由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠EBA＝
∠CDA，∴△OKD∽△AKB，∴∠DOK＝∠BAK＝180°×（n－2）
n，
又∵∠BOC＋∠DOK＝180°，∴∠BOC＝180°－∠DOK＝180°－180°×（n－2）
n.
类型四动点探究问题
8. (1)问题提出
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.
填空：
①∠CAF的度数为________；
②线段AE与BD之间的数量关系为________；
(2)类比探究
如图②，如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，探究：∠CAF 的度数及线段AE与BD之间有怎样的数量关系？
(3)解决问题
如果E是直线AB上一动点，点D在直线BC上，AC＝6，其他条件不变，当△ACF是直角三角形时，请直接写出BD的长．
第8题图
解：(1)①60°；②AE＝BD；
(2)∠CAF＝60°，AE＝BD；
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，BE＝AF，CE＝CF，BC＝AC，∴△CEF和△ABC都是等边三角形，
∴EF＝EC，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠CBE＝∠CAF，
∴∠CAF＝60°，
∴∠EAF＝180°－∠CAF－∠BAC＝60°，
∴∠DBE＝∠EAF，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BDE＝∠ECD＋∠DEC＝∠EDC＋∠DEC，
又∵∠EDC＝∠EBC＋∠BED，
∴∠BDE＝∠EBC＋∠BED＋∠DEC＝60°＋∠BEC，
∵∠AEF＝∠CEF＋∠BEC＝60°＋∠BEC，
∴∠BDE＝∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠EAF ∠BDE ＝∠AEF ED ＝FE
， ∴△EDB ≌△FEA (AAS)，
∴AE ＝BD ；
(3)3或6.
【解法提示】∵∠CAF ＝∠CBA ＝60°，∴当△CAF 是直角三角形时有以下两种情况：①若∠ACF ＝90°，如解图①所示，∵∠CAF ＝60°，∴在Rt △ACF 中，AF ＝2AC ＝12，∵BE ＝AF ，∴BE ＝12，∴AE ＝BE －AB ＝12－6＝6，又∵BD ＝AE ，∴BD ＝6.
第8题解图
②若∠AFC ＝90°，如解图②所示，∵∠CAF ＝60°，∴AF ＝12AC ＝3，
∵BE ＝AF ，∴BE ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝6－3＝3，又∵BD ＝AE ，∴BD ＝3.综上所述，BD 的长为3或6.
类型五 折叠探究问题
9. 问题发现
(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，则∠B ＝________；
类比探究
(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E ，F 分别
为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF 上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用(1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长；
问题解决
(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O(如图④)，当AB＝6时，请直接写出EF的长．
第9题图
解：(1)30°；
(2)∵正方形边长为2，E，F分别为AB，CD的中点，
∴EA＝FD＝1
2CD＝1，
∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D＝AD＝2，
∴sin∠F A′D＝FD
A′D＝
1
2，
∴∠F A′D＝30°，
可得∠FDA′＝90°－30°＝60°，
由折叠性质可得∠ADG＝∠A′DG，AG＝A′G，
∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2
＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，
∴A ′F ＝A ′D 2－FD 2＝3，
∴EA ′＝EF －A ′F ＝2－3，
∵∠EA ′G ＋∠DA ′F ＝180°－∠GA ′D ＝90°，
∴∠EA ′G ＝90°－∠DA ′F ＝90°－30°＝60°，
∴∠EGA ′＝90°－∠EA ′G ＝90°－60°＝30°，
则AG ＝AG ′＝2EA ′＝2(2－3)＝4－23；
(3)4.
【解法提示】∵折叠后B ，D 两点恰好重合于一点O ，
∴AO ＝AD ＝CB ＝CO ，
∴DA ＝AC 2，
∵∠D ＝90°，
∴∠DCA ＝30°，
∵AB ＝CD ＝6，
在Rt △ACD 中，AD DC ＝tan30°，
则AD ＝DC ·tan30°＝6×33＝23，
∵∠DAF ＝∠F AO ＝12∠DAO ＝90°－∠DCA 2
＝30°，
∴DF AD ＝tan30°＝33，
∴DF ＝33AD ＝2，
∴DF ＝FO ＝2，
同理EO ＝2，
∴EF ＝EO ＋FO ＝4.
10. 已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点(与点A ，B 不重合) 问题发现
(1)如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在线段AD 上取一点F ，将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，则FG 与CE 的位置关系是________；
类比探究
(2)在(1)中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由； 拓展延伸
(3)如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ′，使得∠APF ＝∠BPC ′，与
(1)中的操作相类似，即将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并将△PBC ′沿PC ′翻折得到△PEC ′，连接FC ′，取FC ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问(2)中的结论还成立吗？请说明理由．
第10题图
解：(1)FG ∥CE ；
(2)GH ＝EH ；
理由如下：
如解图①，延长GH 交CE 于点M ，
由(1)得，FG ∥CE ，
∴∠GFH ＝∠MCH ，
∵H 为CF 的中点，
∴FH ＝CH ，
又∵∠GHF ＝∠MHC ，
∴△GFH ≌△MCH (ASA)，
∴GH ＝HM ＝12GM ，
∵∠GEC ＝90°，
∴EH ＝12GM ，
∴GH ＝EH ；
第10题解图
(3)(2)中的结论还成立．
如解图②，取PF 的中点M ，PC ′的中点N ，连接GM ，EN ，HM ，HN ，
∵∠FGP ＝90°，M 为PF 的中点，
∴GM ＝12PF ，PM ＝12PF ，HM ∥PC ′，
∴GM ＝PM ，
∴∠GPF ＝∠MGP ，
∴∠GMF ＝∠GPF ＋∠MGP ＝2∠GPF ，
∵在△FPC ′中，H 为FC ′的中点，M 为PF 的中点，
∴HM ＝12PC ′，
同理HN ＝12PF ，EN ＝12PC ′，HN ∥PF ，∠ENC ′＝2∠EPC ′，
∴GM ＝HN ，HM ＝EN ，∠GMF ＝∠ENC ′，
∴HN ＝MP ，HM ＝PN ，
∴四边形HMPN 为平行四边形，
∴∠HMP ＝∠HNP ，
∴∠HMF ＝∠HNC ′，
∴∠GMH ＝∠HNE ，
∵GM＝HN，HM＝EN，∴△GMH≌△HNE(SAS)，∴GH＝HE.。