无穷级数的定义,性质与及敛散性判别

(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于 1 2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
2m项
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s 叫做级数 un 的和.并
n1
n1
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2
2 3
3 4
(1)n1
n
n
1
发散
2.必要条件不充分.
2
.
当
lim
n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n 1,2,)，能否推出 an 收敛？
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、1 1 1 1 ；
369
3n
2、(1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
1 (23
1 33
)
1 (2n
1 3n
) ；
3、
1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题:
1、若 a n
1
3(2n 2 42n
1)
,
则
5 n1
a
n
=____________；
2、若an
n! nn
5
,则 an
n1
=______________________；
3、若级数为
Hale Waihona Puke Baidu
x 2
x 24
x 2
4
x 6
则a n
若记 bk upk11 upk
则加括号后级数成为 bk
k 1
记 un 的部分和为 sn
bk 的部分和记为 k
n1
k 1
则 k spk 由数列和子数列的关系知
lim
n
sn
存在，
lim
k
k
必定存在
lim
k
k
存在
lim
n
sn
未必存在
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
, m sn,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
事实上，对级数 un 任意加括号
(u1
u p1
)
n1
( u p1 1
u p2
)
(upk11 upk )
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
_______；
4、若级数为a 2 a 3 a 4 a 5 则an ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____ 246
时an _____；当n ______时an ________；
6、等比级数 aqn ,当_____时收敛；当____时发散 .
④掌握绝对收敛和条件收敛概念
⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数
⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及 其收敛半径
⑦掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数
⑧掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n 次分叉：
周长为
Pn
(
4 3
)n1
P1
n 1,2,
面积为
An
An1
3{4n2
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
证明 uk1 uk2 ukn n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛
于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
重点
级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；
难点
常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；
基本要求
①掌握级数敛散性概念和性质 ②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③掌握交错级数的Leibniz审敛法
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
故调和1级x数发散
(n )
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
讨论
s2n
sn
1 n
1
n
1
2
1 2n
n 1, 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 100
3 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
第十一章 无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
lim
n
sn不存在
发散
综上
aq n
n0
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1 ( 1 1 ), 2 2n 1 2n 1
sn
1 1 3
1 35
1 (2n 1) (2n 1)
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
n1
n1
则级数 (un vn )收敛,其和为 s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.