随机过程例子分析

所截取的三段音乐都是古典音乐，将这三段音乐在matlab 用wavread 函数读入，用plot 函数画出三个音乐波形图，如下图（1）：

01234

5

678910

-1

1音频波形

Time/s

01234

5678910

-0.2

0.2Time/s

01234

5678910

-1

1Time/s

随机过程的意义：若一过程当时间t 固定的时候，过程所处的状态（数值）是不确定的，则此过程是随机过程；对该过程的一次全程记录（观察）是该随机过程的一个样本函数。

在这里，因为音乐在某个时刻t 出现的幅值是随机的，则音乐幅值是随机变量，所以我们可以假设将这三段音乐看作是某空间在特定时间段所播放音乐的三次全程记录，这三段音乐就是一个随机过程的三个样本函数，样本函数空间有三个样本函数；也可以假设将这三段音乐看成某空间在3个特定时间段所播放音乐的三次全程记录，三段音乐就是三个随机过程各自的一个样本函数，每个随机过程的样本函数空间只有一个样本函数。

以下在算均值函数、方差函数和自相关函数的时候，都认为这三段音乐是一个随机过程的三个样本函数，而在算互相关函数时，则认为三段音乐是三个随机过程各自的一个样本函数。

（1） 均值函数

定义：T t t X E t m x ∈=)),(()(；其中X （t ）是随机过程中时刻t 所处的状态； 利用MATLAB 画出的由这三段音乐所描述的随机过程的均值函数如下：

01234

5678910

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

均值

Time/s

上图所示的是随机过程的均值函数)(t m x ，所表达意义是随机过程中音乐信号在时间t 的平均幅值；在图中可以看到均值函数每一个时刻都不一样，是每一个时刻所记录到数值都是随机变量的一个值，均值函数不仅和时间有关系，还和每一时刻的随机变量有关系。

（2） 方差函数

定义：2

)]([)(t m X E t D x t x -=；其中X （t ）是随机过程中时刻t 所处的状态；

利用MATLAB 画出的由这三段音乐所描述的随机过程的均值函数如下：

01234

5678910

方差

Time/s

上图所示的是随机过程的方差函数)(t D x ，所表达的意义是随机过程中音乐信号在时间t 偏离均值的程度大小，值越大，偏离程度越大；方差函数也是以时间为变量的函数，每个方差不仅和时间有关系，还和每一时刻的随机变量有关系。

（3） 自相关函数

定义：)]()([),(t X s X E t s R xx =；其中X （t ），X （s ）是随机过程中时刻t 、s 所处的状态；

-10-8-6-4-2

0246810

-5000

5000

自相关函数

时间间隔/s

-10-8-6-4-2

0246810

-5000

500时间间隔/s

-10

-8

-6

-4

-2

024

6

8

10

-5000

05000

10000时间间隔/s

上图所示的是随机过程的自相关函数),(t s R xx ，第一个图是第一段音乐，如此类推；所表达的意义是随机过程中音乐信号与其自身时延信号的相似程度，如果自相关函数越大，说明它们

相似的程度越大，该信号与其时延信号之间的相互干扰也就越大；在图中可以看出，函数都是对称的，

自相关函数是信号间隔的函数，间隔有正负间隔，所以n 个长度的信号，有2n-1个自相关函数值，分别描述的是不同信号间隔的相似程度，如图中横坐标X 为1，对应的值代表着原信号与延时1秒的信号的相关程度。

（4） 互相关函数

定义：)]()([),(t Y s X E t s R xy =：其中X （t ）和Y （s ）是两个随机过程分别在时刻t 、s 所

处的状态；在这里假设三段音乐是三个随机过程各自的一个样本函数，各自的样本函数空间只有一个样本函数。

-10-8-6-4-2

0246810

-100

100互相关函数

时间间隔/s

-10-8-6-4-2

0246810

-1000

100时间间隔/s

-10

-8-6-4-2

0246810

-5000

500时间间隔/s

上图所示的是随机过程与另外的随机过程之间的互相关函数，第一个图是第1段音乐与第2段音乐的互相关函数图；第二个图是第2段与第3段的；第三个图是第3段与第1段的。所代表的意义是两个随机过程之间的相似程度，互相关函数越大，说明这两个随机过程相似程度越大，那它们之间的串扰可能越大。关于上图的理解和自相关函数图的理解类似，图中横坐标X 为1，对应的值代表着信号1与延时1秒的信号2的相关程度。