几何证明(1).

演绎证明：

怎样才算严格的数学证明？

例1：我们分别用下列三种方法来导出“对顶角相等”

一、是直观说明，即凭眼睛看到的结果就加以认定。

二、是操作确认，可以用量角器度量两个对顶角，也可以把两个对顶角剪下来相叠，由度量

所得数据基本相同或叠在一起基本重合就加以确认。

三、是推理论证（演绎推理）表述如下：

因为∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补角（已知），

所以∠1+∠2 = 180°，∠2+∠3 = 180°（邻补角的意义）

得∠1+∠2 =∠2+∠3（等量代换）

所以∠1=∠3（等量代换）

问：三种方法中，哪一种最可靠、最有说服力？

小结：

1、演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法，演绎证明是一种严格的数学证明，

是我们现在要学习的证明方式，在本书中，演绎证明简称证明（proof）

2、推理的依据，可以是已知条件和已证事项（简称为已知和已证），也可以是已有的概念、

性质等

3、整个证明由一段一段的因果连接而成

例2：几种不同类型的因果关系：

1、一因一果

例如：∵∠1与∠2是对顶角（已知）

∴∠1 = ∠2（）

又如：∵∠1与∠2互为余角（已知）

∴∠1+∠2 = 90°（互余的定义）

2、一因多果

如图，两条平行线a与b被第三条直线c所截

∵a // b

∴∠2 = ∠4 （）

∠1 = ∠4 （）

∠3 + ∠4 = 180°（）

3、多因一果

如图，∵AB⊥EF于G，CD⊥EF于H （）

∴AB // CD （）

总结：通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中的果为后一段提供了因，一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。

练习:：

你能通过自己的思考，各举出一个“一因一果”、“一因多果”及“多因一果”的例子吗？

例3：如果，∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°，则∠4 = 57°，下面四种推理过程，你认为正确的是（）

A ∵∠1 = 60°=∠2

B ∵∠4 = 57°=∠3

C ∵∠2 =∠5

∴a // b ∴a // b 又∠1 =60°，∠2 = 60°

∴∠4 = ∠3 = 57°∴∠1 =∠2 = 60°∴∠1 =∠5 = 60°

∴∠4 =∠3 = 57°

D ∵∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°

∴∠1 —∠3 =∠2 —∠4 = 60°—57°= 3°

∴∠4 = 57°

练习：阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线部分说明因果关系

如图，已知∠B = 50°，∠1 = 50°，AB = AC，求证∠1 = ∠2

证明：①∵∠B = 50°，∠1 = 50°（）_____________

∴∠B = ∠1（）________________

②∵∠B = ∠1（）________________

∴AE // BC（）________________

③∵AE // BC（）________________

∴∠C =∠2（）________________

④∵AB = AC（）________________

∴∠B =∠C（）________________

⑤∵∠B =∠C，∠B =∠1，∠C =∠2（）________________

∴∠1 = ∠2（）________________

提示：初学证明时，为了更好地掌握推理的方法，并且保证推理有根有据，层次分明，要把每一段推理的因果关系都明确无误地写出来，若能经常这样思考，无疑对提高思维的条理性、证题的准确性是十分有帮助的。

例4：写出下题的证明过程，并且仿照上面解答题的形式说明因果关系。

如图，已知：∠C = 70°，∠2 = 70°，EF // AB

求证：∠B = ∠1

公理、命题、定理

问：1+1=？

思考：是不是在所有的情况下都是等于2呢？还是有前提的条件？

问：平面上两个确定的点之间是否线段的距离是最短的，为什么？

小结：在几何和代数中有一些结论是人们从生产生活的实践中总结而来，是无需证明的结论，我们称之为公理，其它的结论都可以借由公理和定义推导得出，在平面几何（欧式几何）中，公理有如下一些

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直

线在这一边必定相交。

可以看到第五条公理（平行公理）的描述都是由两部分组成，即条件的部分和结论的部分，用这样的方式描述的事情我们称之为命题。

例5：

1．人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理；它们可以作为判断其它命题真假的____ 2．能说明一个名词的含义，能界定某一个对象的句子叫做__________

3．判断一件事情的句子叫做______________；其判断为正确的命题叫做___________；其判断为错误的命题叫做____________。

4．有些命题是从___________或___________出发，用__________方法证明为正确的,并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做_____________。

提示：

①概念的定义是指对一个名词或术语的规定。定义指明了事物的本质属性，因而定义也具有判断的功能也就是说定义也可以作为推理的依据。

②公理是在实践中反复验证，不加推理证明就承认其真实性的命题。

③定理是必须经过推理证明，证得其正确性的命题。

定义、公理是定理的基础和推证依据，定理是命题，但命题并不都是定理，例如，假命题就不是定理，因此只有“假命题”而没有“假定理”。

例6：“周长相等的两个三角形全等”是不是命题？如果是命题，把它改写成“如果……那么……”的形式，则它是真命题还是假命题？

练习：指出下列命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式

1．等腰三角形的两个底角相等

2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行

3．全等三角形对应边等、对应角等: