高考数学一轮复习资料,数列题型归纳

高考数学数列题型归纳

目录

第六章数列 (1)

第一节等差数列 (1)

题型73、等差数列基本运算 (1)

题型74、等差数列判定与证明 (2)

题型75、等差数列性质及结论的应用 (3)

题型76、等差数列前n项和的最值 (4)

第二节等比数列 (5)

题型77、等比数列基本运算 (5)

题型78、等比数列的判定与证明 (6)

题型79、等比数列的性质和结论 (7)

第三节数列的通项公式和前n项和公式 (8)

题型80、数列求通向公式 (8)

80.1、累加法： (9)

80.2、累乘法： (9)

80.3、待定系数法： (10)

80.4、对数变换法： (15)

80.5、倒数变换法： (16)

80.6、阶差法（逐项相减法）： (17)

题型81、数列求前n项和 (19)

81.1、利用常用求和公式求和 (19)

81.2、错位相减法求和 (20)

81.3、分组法求和 (21)

81.4、裂项法求和 (22)

81.5、反序相加法求和 (24)

81.6、分段求和 (25)

第六章 数列

第一节 等差数列

题型73、等差数列基本运算

❖ 知识点摘要：

➢ 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ➢ 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ➢ 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

➢ 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．

若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ➢ 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2.

➢ 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ❖ 典型例题精讲精练：

1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10

3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340

5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30

题型74、等差数列判定与证明

❖ 知识点摘要：

➢ 定义法：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．（证明最常用，判定也常用） ➢ 通项公式法：（常用来判定） ➢ 等差中项法：

➢ 前n 项和公式法：（常用来判定） ❖ 典型例题精讲精练：

1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

.

(1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

【答案：】（2）所以a n

＝⎩⎨⎧

1

2

，n ＝1，－

1

2n (n －1)，n ≥2.

2. (2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )B

A ．13

B ．49

C ．35

D ．63

3. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数

列．

题型75、等差数列性质及结论的应用

❖ 知识点摘要：

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和，则：

➢ 等间距抽取：⋯++m k m k k a a a 2，，仍是等差数列，公差为m d (k ，m ∈N *)． ➢ 等长度截取：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . ➢ 算数平均值：若{a n }是等差数列，则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，公差为2d 。 ➢ 若项数为偶数2n ，则：

)()(1212++=+=n n n n a a n a a n S ，n na S =奇，1+=n na S 偶， nd S S =-奇偶，

1

+=n n a a

S S 偶奇。 ➢ 若项数为奇数2n －1，则：

n n a n S )12(12-=-，n na S =奇，n a n S )1(-=偶， n a S S =-偶奇，

1

-=

n n

S S 偶奇。 ➢ 若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 和T n ，则：1

21

2--=m m m m T S b a 。 ❖ 典型例题精讲精练：

1. 已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则)2

22(log 10

212a a

a

⋅⋯⋅⋅＝( )B

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2＋log 25

2. (2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9

T 9

＝( )A

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )B

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

4. 在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )B A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13

5. (2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的前11项和为

( )D

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66