人教版八年级数学上因式分解专题

8.4 因式分解

1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力． 2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解． 3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．

1．因式分解

(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

(2)因式分解的注意事项

①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．

②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2

bc 分解成5a ·abc 就不是分解因式，因为

5a 2

bc 不是多项式；再如把1x

2－1分解为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x

－1也不是分解因式，因为1x

2－1不是整式．

③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2

＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式．

④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1x 就不是分解因式，因为

x 2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

1－1x 不是整式的乘积形式．

⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1.如4x 2

－6x ＝x (4x －6)．结

果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2

－6x ＝2x (2x －3)．

【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )．

A ．x 2y ＋x ＝x 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋1x

B ．x 2

－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3x

C ．ab 2

－2ab ＝ab (b －2)

D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2

－9

分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为

逆关系，例如：

n (a ＋b ＋c )na ＋nb ＋nc ，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要

是整式，二要是多项式．

【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？

(1)12a 2

b ＝3a ·4ab ；

(2)(x ＋3)(x －3)＝x 2

－9；

(3)4x 2

－8x －1＝4x (x －2)－1； (4)2ax －2ay ＝2a (x －y )；

(5)a 2－4ab ＋b 2＝(a －2b )2

.

判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变

形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式． 2．因式分解的基本方法——提公因式法 (1)公因式的意义

多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab ＋ac ＋ad 中，各项都含有因式a ，故a 是这个多项式的公因式．

(2)公因式的确定 准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：

①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．

②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数

取最低的．如：多项式4x 4＋6x 2＋12x 3

y 中，系数的最大公约数是2，相同字母为x ，它的最

低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x 2

.

③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：

(b ＋a )n ＝(a ＋b )n

(n 为正整数)，

(b －a )n ＝(a －b )n

(n 为偶数)，

(b －a )n ＝－(a －b )n

(n 为奇数)．

【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)4x 2y 3z ＋12x 3y 4

； (2)47

(x ＋1)2y 3－12(x ＋1)3y 4

； (3)12x n y 2n ＋16x n －1y n ＋1

(n 为大于1的整数)．

(3)提公因式法

①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．

我们在学习乘法分配律时知道，m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，现在把它反过来就有ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．

②提公因式法的步骤

运用提公因式法分解因式一般分为三步： 第一步，确定公因式；

第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式； 第三步，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内．

(1)若首项系数为负数时，一般先要提出“－”，但要注意，此时多项式的各

项都要变号，如－x2－2x＝－x(x＋2)；

(2)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能含有公因式；

(3)提出公因式后，另一个因式必须化简整理，不能带有中括号，如2x(y－z)2－4y(y －z)3＝2(y－z)2[x－2y(y－z)]＝2(y－z)2(x－2y2＋2yz)；

(4)多项式中各项的公因式要一次提尽；

(5)公因式提取后，要用整式乘法来检验是否正确．

【例2－2】把下列各式分解因式：

(1)2(m－n)2－m(n－m)；

(2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3.

3．因式分解的基本方法——公式法

(1)公式法的意义：利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法．

(2)公式的结构特征

运用公式法的关键是熟悉公式的结构特征．

①平方差公式的特征：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，右边分解的结果是两个整式的和与两个整式的差的乘积．

凡符合平方差公式特点的二项式，都可运用平方差公式分解因式．分解时，先写成平方差的形式，确定公式中的a和b，再运用平方差公式分解因式．

注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－(x＋y)2＝[(x－y)＋(x＋y)][(x－y)－(x＋y)]＝2x(－2y)＝－4xy(其中x－y相当于公式中的a，x＋y相当于公式中的b)．

【例3－1】把下列多项式分解因式：

(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；

(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.

②完全平方公式的特征：左边是三项式，其中首末两项是两个数(或式子)的平方，且符号相同，中间的一项是首末两个数(或式子)的积的2(或－2)倍，右边的结果是两个数(或式子)的和(或差)的平方．运用完全平方公式分解因式，一定要检验中间的一项是否是首末两项乘积的2(或－2)倍．

凡是满足完全平方公式的多项式都可以直接用完全平方公式因式分解．

注意公式中字母的广泛含义，既可以表示单项式，也可以表示多项式，如：(x－y)2－4(x－y)＋4＝[(x－y)－2]2＝(x－y－2)2(其中x－y相当于公式中的a,2相当于公式中的b)．

【例3－2】把下列各式分解因式：

(1)－x2－2xy－y2；

(2)4(x＋y)2＋25＋20(x＋y)；

(3)(a＋b)2－4(a＋b－1)．

4．因式分解的步骤

(1)分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解，这种分解因式的方法叫分组分解法．

(2)因式分解的一般步骤是：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检查”．

“一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式；

“二套”是看能否运用公式法因式分解，若两项看是否符合平方差公式，若三项看是否符合完全平方公式；