《工学行列式》PPT课件

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2 ...
... ... ...
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0 0 ...
n (n1) 2
1 2 ... n
0 0 ... n 2) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... ...
2 ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
2.三 角 行 列 式 1) 下 三 角 行 列 式
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个特殊的行列式
1. 对 角 行 列 式
( p1p2...pn) (n,n 1,...,2,1)
1) 主 对 角 行 列 式
1 2...(n2) (n1)
1 0
...
序数为0，于是该排列的逆序数为
(n 1 ) (n 2 ) ... 1 0 n (n 1 ) 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8}
当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列
127435689的逆序数为5，即为奇排列
并冠以符号(-1)τ，得形如
( 1 )a 1 p 1 a 2 p 2 ...a n p n
(1 )
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
(1) a1p1a2p2 ...anpn
( 2 k 1) 的 逆 序 数 为 2 k 3 ；2 的 逆 序 数 为 0 ( 2 k 2 ) 的 逆 序 数 为 2 k 5 ；3 的 逆 序 数 为 0
............
(k 1) 的 逆 序 数 为 1 ； k的 逆 序 数 为 0
1 3 ... (2 k 1) k 2
第一节
二、三阶行列式 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
pi 这个元素的逆序数是 i，即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n
就是这个排列的逆序数。
例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆 序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数 为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的逆
故按定义，
(
p1
p2...
pn
)
(
pn
pn1...
p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1...
p1)
n(n 1) 2
k
为方便计，也 可换种记数法，如比 pi小的且排 在 pi 后面的元素有τi个。
例 4 求 排 列 ( 2 k )1( 2 k 1) 2 ( 2 k 2 )...( k 1) k 的 逆 序 数 ,并 讨 论 奇 偶 性 。 解 ： 2 k 的 逆 序 数 为 2 k 1 ；1 的 逆 序 数 为 0
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法：
不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规 定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个 自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
当 k为 偶 数 时 ,k 2为 偶 数 ,当 k为 奇 数 时 ,k 2为 奇 数 。
第二节
n阶行列式的定 义
一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，
当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列
127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，求pn…p3 p2
p1的逆序数（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列）
解：因为
( pi, pj ) ( pj , pi ) 1,
p1p2... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) a1 a p1 2 p2 ...anpn
p1p2... pn
an1 an2 ... ann
简 记 为 d e t ( a i j ) 。 数 a i j 称 为 行 列 式 d e t ( a i j ) 的 元 素 .
第二章 行列式
行列式在历史上原为求解线性方程组 而引入，但在线性代数和其它数学领域以 及工程技术中，行列式都是一个很重要的 工具。本章主要介绍行列式的定义、性质 及其计算方法。
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数
§1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1） §1.4 行列式性质（2） §1.5 克莱姆法则
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn 2) 上 三 角 行 列 式
a11 a12 ... a1n
0 ...
a 22 ...
... a 2n ... ...
注：
该定义称之为对角线法则。
二、全排列与逆序数
1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做 这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素 之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数， 可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排 列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时，就称这两个元素构成了一个逆序。