第五章《高等数学(上册)》课件
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（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（2）近似代替 对于第i个小曲边梯形，在小区间[xi－1,xi]上任取一点ξ ，
得到以区间[xi－1,xi]的长Δxi为底，以f(ξi)为高的小矩形，如 图5-2所示，用小矩形的面积f(ξi)Δxi近似代替小曲边梯形的 面积ΔSi，即
Si f (ξi )xi (i 1，2，，n)
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（1）分割 任取分点 a x0 x1 xn1 xn b 把区间[a,b]任意分成n
个小区间，即
[x0 ，x1]，[x1 ，x2 ]，[x2 ，x3 ]， ，[xn1 ，xn ]
每个小区间的长度为
xi xi xi1 (i 1，2， ，n)
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（3）求和 将n个小矩形的面积加起来即得曲边梯形面积的近似值
如下：
S S1 S2 Sn
f (ξ1)x1 f (ξ2 )x2 f (ξn )xn
n
f (ξi )xi i 1
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
一、定积分问题的引例 例1 设y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则由曲线 y=f(x)，直线x=a、x=b以及 轴所围成的平面图形，称为曲边 梯形，如图5-1所示．试求此曲边梯形的面积．
对应地，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为
Si (i 1，2，，n)
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
高等数学
第五章
定积分及其应用
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 函数的连续与 间断点
高等数学
第五章
定积分及其应用
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
高等数学
01 定积分的概念 与性质
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
二、定积分的定义
定义1 设函数f(x)在区间[a,b]上有界，任意取分点 a x0 x1 xn1 xn b ，把区间[a,b]分成n个小区间 [xi1 ，xi ] (i 1，2 ，，n) ，称为子区间，其长度记为
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
图5-1
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
图5-2
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并将此极限值称为函数f(x)在
[a,b]上的定积分，记作
b
a
fຫໍສະໝຸດ Baidu
(x)
dx
，即
b
n
a
f (x) dx lim 0 i1
f (ξi )xi
其中，∫称为积分号， f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表 达式，x称为积分变量，区间[a,b]称为积分区间， a,b分别 称为积分下限与上限．
xi xi xi1
在每个子区间 [xi1 ，xi ] (i 1，2 ，，n) 上任取一点 ξi (xi1 剟ξi xi ) ，得相应的函数值 f (ξi )，作乘积 f (ξi )xi ，
n
得和式 f (ξi )xi ． i 1
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
07 定积分的应用 （三）
（4）取极限 当分点个数n无限增大，且小区间长度的最大值 λ m1剟iaxn{xi}
趋近于0时，上述和式的极限便是曲边梯形的面积，即
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
类似于上述解决问题的方法，称为定积分．
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
令 max{xi} ，若 0 时，上述和式的极限存在，则
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（2）近似代替 对于第i个小曲边梯形，在小区间[xi－1,xi]上任取一点ξ ，
得到以区间[xi－1,xi]的长Δxi为底，以f(ξi)为高的小矩形，如 图5-2所示，用小矩形的面积f(ξi)Δxi近似代替小曲边梯形的 面积ΔSi，即
Si f (ξi )xi (i 1，2，，n)
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（1）分割 任取分点 a x0 x1 xn1 xn b 把区间[a,b]任意分成n
个小区间，即
[x0 ，x1]，[x1 ，x2 ]，[x2 ，x3 ]， ，[xn1 ，xn ]
每个小区间的长度为
xi xi xi1 (i 1，2， ，n)
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
（3）求和 将n个小矩形的面积加起来即得曲边梯形面积的近似值
如下：
S S1 S2 Sn
f (ξ1)x1 f (ξ2 )x2 f (ξn )xn
n
f (ξi )xi i 1
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
一、定积分问题的引例 例1 设y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则由曲线 y=f(x)，直线x=a、x=b以及 轴所围成的平面图形，称为曲边 梯形，如图5-1所示．试求此曲边梯形的面积．
对应地，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为
Si (i 1，2，，n)
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
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07 定积分的应用 （三）
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
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定积分及其应用
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 函数的连续与 间断点
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定积分及其应用
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
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（一）
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07 定积分的应用 （三）
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
二、定积分的定义
定义1 设函数f(x)在区间[a,b]上有界，任意取分点 a x0 x1 xn1 xn b ，把区间[a,b]分成n个小区间 [xi1 ，xi ] (i 1，2 ，，n) ，称为子区间，其长度记为
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
图5-1
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
图5-2
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
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01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并将此极限值称为函数f(x)在
[a,b]上的定积分，记作
b
a
fຫໍສະໝຸດ Baidu
(x)
dx
，即
b
n
a
f (x) dx lim 0 i1
f (ξi )xi
其中，∫称为积分号， f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表 达式，x称为积分变量，区间[a,b]称为积分区间， a,b分别 称为积分下限与上限．
xi xi xi1
在每个子区间 [xi1 ，xi ] (i 1，2 ，，n) 上任取一点 ξi (xi1 剟ξi xi ) ，得相应的函数值 f (ξi )，作乘积 f (ξi )xi ，
n
得和式 f (ξi )xi ． i 1
高等数学
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02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
07 定积分的应用 （三）
（4）取极限 当分点个数n无限增大，且小区间长度的最大值 λ m1剟iaxn{xi}
趋近于0时，上述和式的极限便是曲边梯形的面积，即
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
类似于上述解决问题的方法，称为定积分．
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
高等数学
01 定积分的概念 与性质
02 微积分基本公式 03 定积分的积分方法 04 广义积分 05 定积分的应用
（一）
06 定积分的应用 （二）
07 定积分的应用 （三）
令 max{xi} ，若 0 时，上述和式的极限存在，则