典型相关分析讲解

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定义 若X～Np(μ , Σ) ，则称协差阵的行列 式|Σ|为X的广义方差。称|S/n|为样本广义方 差。其中
1 n
X n a1 X(a) ,
n
S ( X(a) X )(X (a) X ) a1
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有了广义方差定义，我们就可以仿照F分布来 定义Wilks分布．
定义 若A1～ Wp(n1, Σ)，A2～ Wp(n2, Σ)，Σ>0， nlp， A1和A2且相互独立，则称随机变量 =|A1|/|A1+A2|所服从的分布是维数为p、第一自由 度为n1、第二自由度为n2的Wilks 分布，记为～ (p, n1, n2) ．显然， 分布为两个广义方差之比。
多元统计中常用的分布
统计分析的目的，概括来讲是要了解总体 分布的特性。统计分析的出发点或依据就是样 本，而样本函数又称统计量即为总体分布的估 计量。 统计量的分布称为抽样分布。
在一元统计中，常用的分布有χ2分布、t分 布和F分布。在多元统计中，它们分别发展 Wishart分布、T2分布和Wilks分布。
通常情况下，为了研究两组变量
(x1, x2,, xp ) ( y1, y2,, yq )
的相关关系，可以用最原始的方法，分别计 算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq 个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问 题的本质。如果能够采用类似于主成分的思 想，分别找出两组变量的各自的某个线性组 合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简 捷。
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Wilks分布
在一元统计中，设Ｘ~2(m),Y~2(n),且Ｘ与Ｙ
相互独立，则随机变量 F X / m , Y /n
则称为服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分 布，记作 F~F(m ，n).
在多元统计中，总体Np(μ, Σ)的变异度由协方 阵Σ确定，它不是一个数字，这就产生了如何用与Σ 有关的一个数字来描述总体Np(μ, Σ)的变异度问题， 只有解决了这个问题，才能将F分布推广到多元情 形．
在实际应用中，常把特殊的统计量化为
T2再化为F统计量，多为近似计算。
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一元统计的分布与多元统计分布关系
Wishart分布（多元）
N (, 2 ) 分布
N（0,1）分布
2 (n)
Hotelling T 2 分布（多元）
T（n）分布
Wilks 分布（多元）
F分布
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典型相关分析
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一、什么是典型相关分析及基本思想
在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。如， 在工厂里常常要研究产品的q个质量指标 (x1, x2,, xp ) P个原材料的指标 ( y1, y2,, yq ) 之间的相关关系；也可 以是采用典型相关分析来解决的问题。如果能够采用 类似于主成分的思想，分别找出两组变量的线性组合 既可以使变量个数简化，又可以达到分析相关性的目 的。
化为F统计量来处理，在多元统计分析中T2 统计量也具有类似的性质。
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定义 若X～Np(μ,Σ) , S～ Wp(n, Σ)，np, Σ >0，
X与S相互独立，则称统计量
T2=nX'S-1X
S服从Wishart 分布
的分布为非中心HotellingT2分布，
记为 T2 ～ T2(p,n,μ)；
当μ=0时，称为中心HotellingT2分布，
n
W
p p
a1
X (a ) X (a )
的分布称为非中心Wishart分布，记为
W～Wp(n，Σn，Z)，
其中 Z a a a 1
非中心参数a （a1，a2，，an）
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当μa=0时，称为p维中心化Wishart分布，
记为W～Wp(n, Σ)，其中n≥p，Σ>0。
显然当p=1， Σ=σ2时，有
其 中
X
1 n
n a 1
X(a) 。
(2)若Si～Wp(ni,
Σ),
i=1,2,…,k
,且相互独立，则 k
S=S1+S2+…+ Sk～Wp(
n, Σi )
i 1
(3)
若
X
p p
~
Wp
(n,
),
C 为非奇异阵，则
p p
CXC ~Wp (n, cc)。
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1. t分布与HotellingT2分布
在一元统计中，设Ｘ~N(μ,Σ)，X1,X2,…,Xn来自X的
W1(n,σ2)= σ2 2(n) 。 注意到Wishiart分布与2(n) 分布的关系。
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中心化Wishart分布的三条重要性质
(1)若X(a) ～Np(μa,Σ) , a=1，2，…，n，且相互独立，
则样本离差阵
n
S ( X (a) X )( X (a) X ) ~ W p (n 1, ) a 1
2(n2 ),且相 互独立 ，则
2 12 22 ~ 2 (n1 n2 ) 。
在多元统计中，2分布发展为Wishart分布 。
Wishart分布是Wishart为研究样本离差阵S的分布 于1928年推导出来的．
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定义 若X(a)= (Xa1,Xa2,…,Xap)' ～Np(μa,Σ) ,
a=1,2,…,n 且相互独立。由X(a)组成的随机矩阵：
例 家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。 调查了70个家庭的下面两组变量：
xx12：：每每年年去外餐出馆看就电餐影的频频率率
一组样本，则统计量
t
n(X
ˆ
)
~
t(n
1)分布，其中ˆ
2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
显然， t2
n( X )2 ˆ 2
n( X
)(ˆ 2 )1( X
),
X
~
N (0,
2),t 2 ~ Nhomakorabea (1, n 1)
n
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在一元统计中，若统计量t~t(n)分布，
则
t2～F(1，n)分布，即把t分布的统计量转
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2分布与Wishart分布
在一元统计中，设总体Ｘ～Ｎ(０,１), X1,X2 ,…, Xn 为来自总体Ｘ的样本，则 ２＝ X1２＋X2２ ＋…＋ Xn２， 称２服从自由度为n的２分布，记作２～ ２(n).
2
2 分布的性质
(1)E(2)=n, D(2)=2n;
(2)
若
2 1
~
2
(n1
),
2 2
~
记为 T2 ～ T2(p,n)。
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中心HotellingT2分布可化为中心F分布， 其关系为
n p 1 T 2 ( p, n) F ( p, n p 1) pn
T2分布首先由Hotelling从一元统计推广而 来，故称Hotelling T2分布，简称T2分布． 显然，当p=1时，有T2(1,n)=F(1,n).