信号处理数学方法

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《信号分析与处理中的数

学方法》

考试题目：

1、叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为

其实用时的困难所在，举例说明其应用。

2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明

其各自的优缺点。

3、二阶矩有限的随机变量希尔伯特空间中平稳序列的预测问题的法

方程称为关于平稳序列预测问题的yule-walker方程，试用投影法和求导法推导该方程。该方程的求解算法称为最小二乘算法，请对这些算法的原理予以描述。

4、简述卡尔曼滤波的原理，并指出其可能的应用。

5、什么是插值？有多少种插值，举一个教材之外的例子说明其应用。

1、 叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为

其实用时的困难所在，举例说明其应用。

形为

的方程称为齐次佛莱德霍姆积分方程，其中 为未知函数， 是参数，(),C t s 为已知的“核函数”，它定义在 ， ， 上，我们假定它是连续的，且是对称的：

(1-1)

使积分方程(1-1)有解的参数 称为该方程的特征值，相应的解 称为该方程的特征函数。

固定一个变量t ，则

()()()

1,n n n n C t s t s λϕϕ∞

-=∑

(1-2)

表示以s 为变量的函数(),C t s 关于正交系(){}n t ϕ的傅立叶级数展开，而傅立叶系数正好是()n n t λϕ。

设()x t 为一随机信号，则其协方差函数

(1-3) 是一个非随机的对称函数，而且是非负定的。为了能方便地应用式(1-2)，假定(),C t s 是正定的，在多数情况下，这是符合实际的。当然，还假定(),C t s 在 ， ， 上连续。

现在用特征函数系(){}n t ϕ作为基来表示()x t ：

()()1n n n x t t αϕ∞

-=∑ (1-4)

其中()()0

T

n n x t t dt αϕ=⎰。因为(){}n t ϕ是归一化正交系，所以展开式类似于

傅里叶级数展开。但是因为()x t 是随机的，从而系数n α也是随机的，因此这个展开式实际上并不是通常的傅里叶展开。式(1-4)称为随机信号的卡享南-洛厄维展开。

因为这种变换能使变换后的分量互不相关，又能使均方误差最小，故被称作最佳变换。

设[]1,

,T

N x x x =为N 维随机向量，存在这样一个正交变换Φ，有

y x =Φ (1-5)

使得变换后的随机向量y 具有对角形的协方差阵，即

(1-6) 其中1,

,N λλ为x C 的特征值， 1,,N ϕϕ是相应的归一正交化特征向量组。

上述矩阵Φ所表示的正交变换称为卡享南-洛厄维变换。变换之后的随机向量y 的诸分量之间不再有相关性。

卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵x C 求特征值和特征向量。

卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足和计算机存储容量不足的问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换被选用并不是偶然的，因为这种变换消除了原始信号x 的诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。

2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。

希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。通常它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。我们以傅里叶级数展开为例来说明。

投影法：

设X 为希尔伯特空间，{}12,,

e e 为X 中的一组归一化正交元素，x 为X 中

的某一元素。在子空间{}12,,

M span e e =中求一元素0m ，使得

0min m M

x m x m ∈-=- (2-1)

由于M 中的元素可表示为12,,

e e 的线性组合，那么问题就转化为求系数

12,,

αα，使得

1

min k k k x e α∞

=-=∑ (2-2)

投影定理指出了最优系数12,,

αα应满足

1,1,2,k k m k x e e m α∞

=⎛⎫-⊥=

⎪⎝⎭

∑ (2-3)

由此即得()1,,m k k m m k x e e e αα∞=⎛⎫

== ⎪⎝⎭∑。也就是说，当且仅当k α取为x 关于归

一化正交系{}12,,

e e 的傅立叶系数(),k k x e α=时式(2-2)成立。

求导法： 记泛函

()2

121

,,k k k f x e ααα∞

==

-∑ (2-4)

为了便于使用求导法求此泛函的最小值，将它表为

()

12112

2

1

1

,,

,2k k m m k m k k k k k f x e x e x c αααααα∞∞

==∞∞

==⎛⎫=-- ⎪

⎝⎭

=-+∑∑∑∑

(2-5)

其中(),k k c x e =。于是最优的12,,

αα应满足

0,1,2,m

f

m α∂==∂

即220m m c α-+=，或,1,2,m m c m α==。

配方法：

()

2

2

121

1

,,

2k k k k k f x c αααα∞∞

===-+∑∑

(2-6)