关于一阶常微分方程奇解的讨论

（ ｃ Ｙ 寺 Ｃ＝ ｙ ） 一 ＋ ０ —Ｉ ｌ
（） ４
如 给 初 条 ｌ ＝０ 由 ４得 个ｃ￣１ Ｃ＝０ Ｃ＝０去 这 方 ３ 的 果 定 始 件ｙ Ｙ， 式（） 到２ ｆ． Ｙ， ２ Ｙ一 ， 时 程（） 特 Ｏ
解 （Ｙ）１ Ｙ ２０ 为 －）一 ２ 。１１ ． Ｙ ｏ， ＋ｘ： ｆ
性区域内的任意一点 ， 如果对常数 Ｃ的任意允许值 ， 函数 Ｙ （ ｃ 都是方程 Ｙ ｆ ｘ ） 的解 ， ＝ ） ， （， ， ） 且对任意
初始条件 Ｙ ： ｏ ｌ Ｙ 都可以选取 Ｃ的值 ，使解 Ｙ Ｏｘ Ｃ ） ＝ （ ０ 满足初始 条件 Ｙ ＝ 。 ， ｌ Ｙ ，则称 函数 …
（ —Ｃ ＋Ｙ ） ：ａ （ ７）
式 （） ７ 表示圆心在 轴上 ， 半径等于 ａ 的圆族．
当ｆ ＝ ，即Ｙ ± 时， ｙ ａ ｆ ＝ 显然 Ｙ 是方程 （ ） 解．此解不含在通解 （ ） 即无论Ｃ ＝ ５的 ７ 中， 取何值， 由
式 （） ７ 都不能得到解 Ｙ ａ，这里 Ｙ ａ ＝ ＝ 是方程 （ ） ５ 的奇解． 例 ３ 求一曲线 ， 使它的切线被两坐标轴截下的线段具有定长ａ ．
三 三 三
寿
＋Ｙ ＝ａ （１ ） Ｊ
不难验证星形线 （ １ 也是方程 （ ）的解 ，此解不能由通解 （ ０ 得到 ，实际上它是方程 （ ）的奇 １） ８ １） ９
解．
３ 结束语
常微分的通解是指包含方程所有解的解 ，或者说 ，当常微分方程的解中包含任意常数的个数与微分方 程的阶数相等时 ，则称此解为该方程的通解 ，这 ２ 种说法均是不对的． 微分方程 Ｙ ｆ ｘ ） 的通解一般是这样定义的： （， ， ） 设点 （ Ｙ ） Ｙ ｆ ｘ ） 的柯西问题解的存在唯一 ， ｏ 是 （， ， ）
Ｋｅ ｏｄ － ｄｆ ｒｎｉ ｑ ａｉｎ； ｇ ｎ ｒｌ ｏｕ ｉｎ ｓｎ ｕａ ｌｔ ｎ ｙｗ ｌ ｓ ｉ ｅｅ ｔ ｅ ｕ ｔ ＂ ｌ ａ ｏ ｅ ｅａ ｌｔ ； ｉｇ ｌｒ ｏｕｉ ｓ ｏ ｓ ｏ
一
阶微 分方程 的通解
Ｙ ｆ ｘ
的一阶常微分方程 ，如果存在某函数 Ｙ ｏｘ 满足方程 （ ） 则函数 Ｙ （） ＝ （） １， ＝ 叫做方程 （ ） １ 的解．如果含 有一个任意常数 Ｃ的函数
显然 ， 公式 Ｙ ＝Ｃ给出方程 （ ） ３ 含有一个任意常数的解 ， 但该解却不是方程 （ ） ３ 的通解 ， 它只是方程
Ｙ ＝０的通 解 ．
产生这种现象发生的原因是方程 Ｆ ｘ Ｙ ）） ０ （， ， ，＝ 对应于指定的 与 Ｙ， Ｙ 至少有 ２ 个值． 在几何上 ， Ｙ
表示 曲线 Ｙ （） ＝ｙ 在点 （， ， ） 处的切线斜率 ，Ｙ 取多值说明在一个指定点处 ， ） 相应 曲线 Ｙ＝ ， ） ２ ） 有 个以上 （ 的不同切线方向．此时在平面上就不只规定了一个方 向场 ，而是 ２ 个以上的方向场，对每一个方向场，通
第３ ２卷 第 １ 期
２ １ ０ ２钲
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｅ ｆ ｅｃ ｅｓ Ｃｏ ｅ ｅａ ｄＵ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａｈ ｒ ｎ ｏＳ Ｔ ｌ ｇ ｎ ｎｖ ｒｉ ｌ ｙ
Ｖｏ ． ＮＯ １ １ ３２ ．
１ 月
Ｊ ｎ ２ １ ａ． ０２
过指定点就有 １ 条积分曲线． 这样通过一个指定点 ， 方程 Ｆ ｘ Ｙ ） ０ （， ， ＝ 就有 ２ 条积分曲线．即一般地 ，由
初始条件 ｙ ： ＝ 。 ｌ Ｙ 确定的 Ｃ值可能不 只一个 ，对应于每个方向场求得的积分 曲线族可能并不表示方程
．
Ｆ（， ， ＝０的通 解 ． ｘ Ｙ ｙ）
Ｗ ＡＮＧ Ｊａ ｍｏ ， Ｓ ｉ ＨＥ Ｌ — ｎ ｉ— ｕ ＨＩ ｎ， Ｌ ｉｍｉ
（ ｃ ｏ ｌｆ ａ ｅ ｔ ｓ ｈ ｓ ｓ ｎ Ｂ ｏ ｇ ａ Ｅ ｇｎｅｉｇ ｎ ｅ Ｍ ｎ ｏ ａ ｎ ｅｓ ｙ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｉ ｌ ａｔ １ １ ，Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍ ｔ ｍａ ｃ ，Ｐ ｙｉ ｄ ｉ ｏ ｉ ｌ ｎ ｉ ｒ ，Ｉｎｒ ｏ ｇ ｌ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｅｈ ｏｏ ｃ ，Ｂ ｏ ｕ０ ４ ０ ｈｎ ） ｈ ｉ ｃａ ｌ ｃ ｅ ｎ ｉ ｖ ｉ ｅ ａ ｇａ ｏ ０
解 设所求曲线为 Ｙ ， ， ＝ （） 它在任一点 （， ， ） 处的切线为Ｙ—Ｙ ｙ（ — ） 该切线在两坐标轴上截 ） ＝ ，
距分别为
，Ｙ ｘ ， — ｙ ，从而得出未知 曲线所表示的函数满足微分方程
（ ８）
令 Ｙ＝Ｐ，则方程 （ ） ８ 可变形为
Ｙ：ｘ ｐ± 、 ＋Ｐ ／ ｌ
ａ，
（ ９）
ｈ ｐ ａ告 ＋２ ｐ 一
ｄ ｐ
厂
］
（ ９ ）
± —
叫 南 。 姓
令因子 ＝ 得到 Ｐ＝Ｃ （ ０， Ｃ为任意常数 ） Ｐ＝Ｃ代入式 （ ） 得到方程 （ ）的通解 ，将 ９， ８
高 师 理 科 学 刊
第 ３ ２卷
ｙ＝
±
（ ０） １
式 （ ０ 表示一族直线 ，其中每条直线在两坐标轴间的线段长为 ａ １）
文章 编号 ：ｌｏ — ８ １（ ０ ２）Ｏ — ０ ０ ０ ｏ７ ９３ ２ １ １０２— ３
关 于一 阶常微分方程奇解 的讨论
王嘉谋 ，石琳 ，何莉敏
（ 内蒙古科技大学 数理与生物工程学院 ，内蒙古 包头 ０４ １ １００）
摘要 ：对几个典型一阶常微分方程的通解进行分析 ，得出高等数学 中定义的微分方程通解并不 包 含该方程的所有解．从而说 明一阶常微分方程奇解的存在性． 关键词：微分方程 ；通解；奇解 中图分类号 ：０１５１ ７． 文 献标 识码 ：Ａ ｄ ｉ ０３６／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ ２ １ ０ ｏ：１． ９ ．ｓ． ７ ９ ３． １． ． ６ ９ ｊｓ ０ ２ ００ Ｄｉｃ ｓ ｉｎｏ ｅｓｎ ｕａ ｏｕ ｉｎｏ ｒｔ ｏ ｄ ｒ ｒ ｉ ａｙｄｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉｎ ｓ ｕ ｓ ｎｔ ｉ ｇ ｌｒｓ ｌｔ ｆ ｓ－ ｒ ｅ ｄｎ ｒ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｕ ｔ ｏ ｈ ｏ ｉ ｆ ｏ ｆ ａｅ ｏ
出来 的． 参考 文献 ：
［ １ 】同济大学数学系．高等数学 （ 上册 ） Ｍ．北京 ：高等教育出版社 ， ０７ 【】 ２０ ［ 罗梭 Ｍ ２ 】 ．常微分方程【】 叶彦谦 ， Ｍ． 译．上海 ：上海科学技术 出版社 ，１８ ９１ 【 ３ Ｊ斯米尔诺夫 ＢＮ ．高等数学教程 （ ２卷第 １ 第 分册 ）［】 Ｍ ．孙念增 ，译．北京 ：人 民教育 出版社 ，１７ ９９ 【 葛渭高 ，李翠哲 ，王宏洲．常微分方程与边值问题【 】 ４ 】 Ｍ．北京 ： 科学 出版社 ， ０８ ２０ 【】时宝 ，张德纯 ，盖 明久 ．微分方程理论及其应用 【 ．北京 ：国防工业 出版社 ，２ ０ ５ Ｍ］ ０５
解 将方程 （ ） ５ 两端平方 ， 移项得 ｙ Ｙ ２ ＝ａ 一Ｙ 两端开方得 ，
（） ５
Ｙ ± 一 Ｙ＝ √ Ｙ
方程 （ ） Ｙ 时才有意义． ８ 在Ｉ Ｉ
（） ６
当Ｙ 以 对 程（） 离 量 告 Ｙ ｄ＝ ， 过 分 难 到 程（） 解 Ｉ≠ 时， 方 ６ 分 变 得、 Ｉ 『 ｙ ± 通 积 不 得 方 ５通 为 ｎ。一
Ａ ｓｒ ｃ ： Ａｎ ｌ ｚ ｄ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ｙ ｉ ａ ｎ － ｒ ｅ ｒ ｉ ａ ｙ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ， ｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｂ ｔａ ｔ ａｙ ｅ ｈ ｅ ｅ ａ ｏｕ ｉ ｆ ｓ ｍｅ ｔ ｐ ｃ ｌｏ ｅ ｏ ｄ ｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉ ｅ ｅ ｔ ｑ ａｉ ｓ ｂ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ｏ ａ ｏ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｈ ｔ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒｌ ｓ ｌ ｔ ｎ ｄ ｆ ｅ ｎ ｈ ｇ ｅ ｔ ｅ ｔ ｓ ｓ ｎ ｔ ａ ｌ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｅ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉｌ ｏ ｃ ｕ ｉｎ ｔ ａ ｈ ｅ ｅ ａ ｏｕ ｉ ｅｉ ｄ ｉ ｉｈ ｒ ｍａ ｈ ｍａｉ ｉ ｏ ｌ ｈ ｏｕ ｉ ｆ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ ｏ ｎ ｃ ｏ ｈ ｆ ａ ｅ ｕ ｔ ｎ Ｔ ｅ ｅｅ ａ ｌ ｓ ｈ ｗ ｔ ａ ｉ ｇ ｌｒｓ ｌ ｔ ｎ ｅ ｉｔ ｉ ｅｆ ｓ ｏ ｄ ｒ ｒ ｉ ａ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ ｑ ａ ｉ ． ｈ ｓ ｘ ｍｐ ｅ ｏ ｔ ｎ ｕ ａ ｏｕ ｉ ｘ ｓｓ ｎ ｔ ｒ ｔ ｒ ｅ ｄ ｎ ｒ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ． ｏ ｓ ｈ ｓ ｏ ｈ ｉ － ｏ ｙ ｆ ａｅ ｏ
Ｙ Ｏｘ Ｃ 为微 分方 程 Ｙ ｆ ｘ Ｙ 的通解 ． 在该通 解 中 的 Ｃ取 任一 确定 数值 时所 得到 的解均 称为 ： （ ） ， （， ）
Ｙ ｆ ｘ Ｙ 的特解． （， ）
本文旨在想引起读者注意 ，常微分方程通解 的概念是从微分方程柯西问题解的存在唯一性定理中引申 ‘
令 ±
＝ 与方程 （ ） ｏ ９ 联立，若视 ｐ为参数 ， 得 ，Ｙ 的参数方程
±： ） ０ — ： ： √＋ （ １
√＋ ２ （ ｐ） １
令 Ｐ＝ｔ ，得 Ｘ Ｔ ＣＳ ， Ｙ＝－ ｃｓ ． ｎ ± ｉ ＝Ⅱｉ。 ，进而有 ａ ｎ ＝－ Ｏ － ａ Ｔ ｏ ｔ ｓ － ａ ａ ｎ ｓ ｎ
Ｆ（， ， ：０ ｘ Ｙ Ｙ）
则 函数 （ ） （２ ） ２ 或 ， 确是方程 （ 含有任意常数的 １） 例 １】 考查微分方程 ｌ ４
，但这样 的解却不一定是通解
（ ３Ｊ
Ｙ 一 ｘ ＝ ０ ｙ
收稿 日期 ：２ １＿ ８ １ ０ ｌｏ —０
基金项 目：内蒙古科技大学理科基地项 目 （Ｙ ００ ０ ） Ｊ２ １１３ ；内蒙古科技大学教学 （ 教改 ）重点项目 （Ｙ ０９ １ Ｊ２ ００７） 作者简介 ：王嘉谋 （ ９７ ，男，陕西长安人 ，副教授，从事数学教学与教法研究．Ｅ ｍａ ：ｈｌ ｉ２０ ＠１３ ＯＩ １５ 一） － ｉ ｅｍｎ ０３ ６ ． Ｈ ｌ ｉ Ｃ
第 １ 期
王嘉谋 ，等 ：关于一 阶常微分方程奇解的讨 论
２ １
解
将式 （ ） ３ 左边分解 因式 ，得 ） 一 ） ０，这里实际上有 ２ ， ＝ （ 个方程 Ｙ ＝ 与 Ｙ 一 ０ ０ ＝ ，它们的通
解分 别为Ｙ Ｃ 一 ＋ ＝ ， ＝ 与Ｙ 妄 Ｃ ０ 方程 （ ） 通 ３ 的 解为
其次 ，方程 （ ） （ 可能有些解不包含在通解 （ ） （ １ 或 １） ２ 或 ２ ）中，就是说 ， 无论常数 Ｃ取什么特 殊值 ，不能由公式 （ ） （ 得到这些解 ， ２ 或 ２） 这样的解常常是方程 （ ） （ ， 的奇解． １ 或 １）
例 ２ 求解微分方程
） ｌ Ｙ ＝ ＞ 为常数 ） ， ＋ 口（ ０ √
Ｙ＝ （， Ｃ） （， ， ） Ｙ Ｃ ＝０
（ ２）
仍为方程 （ ） １ 的解 ，则解 （ ） ２ 通常称为方程 （ ） １ 的通解“ 方程 （ ） ． １ 的通解有时写成隐函数的形式
（２ ）
２ 关 于一阶微分方程奇解 的讨论
首先 ，如果一阶微分方程形式为隐式