水资源承载力

中原经济区区域水资源承载力的数学建模评价与预测
摘要
中原经济区区域是内陆地区一个重要的经济板块，处在承东启西的战略地位，是我们国家产业向内陆地区转移的一个承接地和平台，在完善全国区域发展格局和区域协调发展中有不可替代的作用，具有重要的战略意义，因此，研究中原经济区域水资源的承载力，能够为实现中原经济区的战略定位、“三化”建设的协调发展提供基础数据分析和决策参考依据。

针对问题一，为了研究中原经济区区域水资源承载力，本文择取了中原经济区域中的郑州、开封、洛阳、新乡、南阳五个城市作为研究区域，运用模糊综合评价模型来对2002～2008年间各个城市的水资源承载力进行了综合评价，得出了其整体的综合指标。

针对问题二，本文根据问题一的数据信息运用了时间序列模型中的简单移动平均法来对2010～2020年间的中原经济区域中所选的五个城市水资源承载力进行预测，得出了其综合水资源承载力的趋势变化。

关键词
水资源承载力模糊综合评价模型时间序列模型简单移动平均法
一、问题重述
中原经济区作为国家层面重点开发区域，是中部地区人口和经济密集区，国家重要的粮食生产和现代农业基地，全国工业化、城镇化和农业现代化协调发展示范区，全国重要的经济增长板块，全国区域协调发展的战略支点和重要的现代综合交通枢纽，华夏历史文明传承创新区。

在全国区域协调发展中占有无可替代的战略地位。

选择中原经济区的若干重要城市作为研究对象，进行区域承载力的综合评价及预测，能够为实现中原经济区的战略定位、“三化”建设的协调发展提供基础数据分析和决策参考依据。

请选取水资源承载力、环境承载力、能源承载力、耕地承载力、社会经济承载力、生态承载力等分析因子中的一项或几项，对1999-2009年间中原经济区各城市（可选取一部分城市）的承载力状况，建立区域承载力综合评价模型进行科学合理的综合评价，并建立数学模型预测2010-2020 年研究区区域承载力变化趋势。

二、问题的分析
针对问题一、研究中原经济承载力情况有重大意义，为此我们选取水资源承载力作为分析因子，并择取中原经济区域中的郑州、开封、洛阳、新乡、南阳五个城市为研究区域。

根据数据来源：河南省统计年鉴，河南省统计网还有河南水利局网等可靠网站查到2002-2008年(由于时间久远，网站没有公布1999-2001年间的大部分资料，因而本文从2002年开始搜集资料)间所则取研究区域的人口数量、土地面积、供水量、需水量、灌溉面积等各个数据，建立综合评价模型对所则取研究区域水资源承载力进行科学合理的综合评价。

针对问题二、根据问题一所得数据和结果，我们运用时间序列预测模型中的简单移动平均法对中原经济区域所取的五个城市在2010-2020 年期间水资源承载力变化趋势进行预测。

三、模型的假设
1、假设所查得的数据真实有效；
2、假设水资源承载力只和灌溉率、水资源利用率、供水模数、需水模数、人均供水五个因素有关；
四、符号说明
U A ;
V D i i i i i B i R i i ：第级评价因素；
:各因素对综合评判重要性的权系数：以2002年作为1开始的第年评价因素的隶属度；：以2002年作为1开始的第年的评价因素的模糊矩阵；：评判集；
：以2002年作为1开始的第年的评价因素的综合评价指标；
五、模型的建立及求解
5.1.2002-2008年中原经济区域中的郑州、开封、洛阳、新乡、南阳五个城市 水资源承载力模数综合评价 5.1.1综合评价模型的建立
模糊综合评判方法是模糊数学对受多种因素影响和制约的事物和现象做出一个总体评判的方法，对水资源承载力的各个因素进行单因素评价，然后通过总评定因素中所起作用大小的变量，也在一定程度上代表根据单因素i U 评定等级的能力，而j b 则为等级i V 对综合评定所得模糊子集B 的隶属度，它们表示综合评判的结果。

设给定两个有限论域：
{}12m ,,,U u u u =，{}12,,,n V v v v =
其中，U 为所有评判因素组成的集合，V 为所有评语等级所组成的集合，设A 为U 的模糊子集，B 为V 的模糊子集，R 为评判矩阵，则模糊综合评价可表示为如下模糊变换：12()0b 1n j B A R b b b ==≤≤，
其中：1
2
(),01,1,2,
,m i A a a a a i m =≤≤=
()12,,,,01,1,2,
,n j B b b b b j n =≤≤=，
1112
12122212n n m m mn r r r r r r R r r r ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
式中，ij r 表示因素i U 的评价对等级i V 的隶属度，因而矩阵R 中第i 行
()12=,,
,i i i in R r r r ，即对第i 个因素i U 的单因素评判结果。

评价计算中
1
2
(),01,1,2,
,m i A a a a a i m =≤≤=代表了各因素对综合评判重要性
的权系数,因此，满足归一性，即=1
=1n
i i a ∑，同时，模糊变换B A R =也可转化为
普通矩阵计算，即1b =min 1m j i ij i a r =⎛⎫
⎪⎝⎭∑，。

对于评价因素14,
,U U ，各评语级隶属函数计算式分别为：
1121121122
1121
120i i i i V i i U K U K U K K U U K U K K K U K ⎧⎛⎫
-+≥⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎛
⎫-⎪=-≤≤⎨ ⎪
-⎝⎭⎪⎪≤⎪⎪⎩
11
2121
12V2132
2333
2U -K 11-U K 2U 11U K 2U =11U 211U 2i i i i i i i i i i K K K K K K U K K K K K K U K K U ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪
-⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪+≤≤ ⎪⎪-⎝⎭⎪⎨
⎛⎫-⎪+≤≤ ⎪
⎪-⎝
⎭⎪⎪⎛⎫--≥⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩
2
3V3322333
201
U =12112i i i i i i U K U K K U K K K K U U K K U π⎧⎪≥⎪⎪⎛
⎫-⎪-≤⎨ ⎪
-⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪+≤ ⎪⎪-⎝⎭
⎩ 对于其他评价因素同理可以求出。

5.1.2评价因素的选取、分级和评分
影响中原经济区域水资源承载力的因素众多，即有供水方面的，又有蓄水方面的；既有直接的，又有间接的。

根据水资源及其利用特点并按照评价指标的可测性、可靠性及充分性原则、参照全国水资源供需分析采用的指标体系，考虑中原经济
区域所选五个城市水资源及其利用特点，本文选取如下5个主要因素作为评价要素：（1）灌溉率：灌溉面积/土地面积（%）（2）水资源利用率：采用75%代表年的水资源利用率（%）（3）供水模数：75%水平年的水供给量/土地面积（万m3·km-2）（4）需水模数：75%水平年的需水量/土地面积（万m 3·km-2）（5）人均供水量：75%水平年的水供给量/总人口（m 3/人），各因素对水资源承载力能力的影响程度划分为3个等级，见表1：
5.1.3模型的求解 确定因素
{}{}112m ,,
,U u u u ==郑州市，开封市，洛阳市，新乡市，南阳市，
{}2U =人均供水量，供水模数，需水模数，耕地灌溉率，水资源利用率 评判集{}123V=V V V ，，，按照所选中原经济区域五个城市的GDP 排名，把各城市权重分别设为：郑州1=0.3a 、开封2=0.1a 、洛阳3=0.25a 、新乡4=0.15a 、南阳
5=0.2a ，即权重向量()=0.30.10.250.150.2A ，
根据河南统计网和河南水利局网等可靠网站查得数据及计算所得与水资源承载力相关的灌溉率、水资源利用率、供水模数、需水模数、人均供水五个因素的数据如下： 表2：
郑州市 年份 人口//万人 土地面积//k 供水量//万m 3 需水量//万m 3 灌溉面积//k 人均供水量m 3 供水模数//万m 3·k m -2 需水
模数万m 3·k m -2
耕地
灌溉
率//%
水资
源利用率//%
m2m2
20 02 66
6
744
6.2
157
800
821
00
533
1
177.7
027
15.89
401
8.269
319
71.59
356
39.02
091
20 03 64
8
142
320
754
20
522
8
164.7
222
14.33
483
7.596
492
70.21
031
39.74
494
20 04 65
1
156
350
834
30
513
6
180.1
267
15.74
797
8.403
28
68.97
478
40.02
079
20 05 65
3
158
940
836
50
516
8
182.5
498
16.00
884
8.425
438
69.40
453
39.47
244
20 06 65
7
161
170
836
00
510
3
183.9
84
16.23
345
8.420
402
68.53
16
38.90
302
20 07 66
164
650
824
00
517
4
187.1
023
16.58
396
8.299
535
69.48
511
37.53
416
20 08 66
3
187
300
993
30
509
6
211.8
778
18.86
533
10.00
477
68.43
759
39.77
443
开封市20
02
45
8
644
4
145
600
101
900
397
238.4
279
16.94
6
11.85
987
61.60
77
52.48
97 20
03
47
3
117
450
733
70
394
2
186.2
315
13.66
969
8.539
339
61.17
318
46.85
185 20
04
47
6
128
240
794
50
428
3
202.0
588
14.92
551
9.246
974
66.46
493
46.46
561 20
05
47
7
136
590
852
30
428
2
214.7
642
15.89
735
9.919
693
66.44
941
46.79
881 20
06
48
138
200
906
10
428
215.9
375
16.08
473
10.54
586
66.41
837
49.17
33 20
07
48
2
127
830
793
30
427
9
198.9
056
14.87
779
9.233
007
66.40
286
46.54
424 20
08
48
4
177
180
109
420
427
8
274.5
558
20.62
151
12.73
51
66.38
734
46.31
73
洛阳市20
02
62
3
152
08
119
200
606
00
608
4
143.4
992
5.878
485
2.988
559
40.00
526
38.12
919 20
03
63
6
122
770
612
20
630
4
144.7
759
6.054
544
3.019
135
41.45
187
37.39
92 20
04
63
9
134
250
684
30
647
2
157.5
704
6.620
693
3.374
704
42.55
655
38.22
905 20
05
64
2
135
940
732
00
682
9
158.8
084
6.704
037
3.609
942
44.90
4
40.38
546 20
06
64
6
141
580
761
00
678
4
164.3
731
6.982
18
3.752
959
44.60
81
40.31
29 20
07
65
133
070
651
90
682
7
153.5
423
6.562
5
3.214
92
44.89
085
36.74
194 20
08
65
4
136
250
690
20
682
2
156.2
5
6.719
325
3.403
801
44.85
797
37.99
266
新2054862242147710335.621.0412.8582.3645.81
乡市 02 1 9 100 900 7 285 242 491 18 784 2003 547 196760 126030 7068 269.7806 17.10163 10.95405 81.90984 48.03
949 2004 549 179280 104870 7014 244.918 15.58234 9.114903 81.28404 43.87132 2005 552 160810 98780 7173 218.4918 13.977 8.585583 83.12667 46.0699 2006 555 188920 121120 7265 255.2973 16.42021 10.52729 84.19284 48.08385 2007 558 162450 101260 7431 218.3468 14.11954 8.801136 86.11658 46.74977 2008 561 164210 98100 7677 219.5321 14.27251 8.52648 88.96744 44.80543 南
阳
市
2002 958 26600 214400 100000 17638 167.8497 6.045113 2.819549 66.30827 34.98134 2003 1065 189960 89240 17879 133.7746 5.356015 2.516165 67.21429 35.23373 2004 1069 192130 85370 18211 134.7965 5.417199 2.407049 68.46241 33.32509 2005 1075 196070 81960 18979 136.793 5.528289 2.310902 71.34962 31.35105 2006 1080 247410 116940 18839 171.8125 6.975846 3.29718 70.82331 35.44925 2007 1085 232530 101360 18432 160.735 6.556297 2.857895 69.29323 32.69256 2008 1091 237120 115680 18370 163.0064 6.685714 3.261654 69.06015 36.58907 根据表1评判指标及分级可得表2中所得2002～2008年所选中原经济区域五个城市影响水资源承载力的五个因素的模糊矩阵R i ：
10.050.50.050.50.050.050.050.50.050.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.50.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 20.050.050.050.50.050.50.50.50.050.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
30.050.50.050.50.050.050.050.50.050.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，40.050.50.050.50.050.050.050.50.50.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
50.050.50.050.50.050.050.050.50.050.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，60.050.050.050.5
0.050.050.050.50.50.5R =0.5
0.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
70.50.50.050.50.050.050.050.50.50.5R =0.50.50.50.50.50.050.050.950.050.050.950.950.950.950.95⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则隶属度B =A*R i i 即
()11B =A*R =0.3425 0.3875 0.5225 0.4775 0.3875， ()22B =A*R = 0.3875 0.3875 0.5225 0.4775 0.3875， ()33B =A*R = 0.3425 0.4775 0.5225 0.4775 0.3875， ()44B =A*R = 0.3425 0.4775 0.5225 0.5225 0.3875， ()55B =A*R = 0.3425 0.4775 0.5225 0.4775 0.3875， ()66B =A*R = 0.3425 0.3425 0.5225 0.5225 0.3875 ， ()77B =A*R = 0.4775 0.4775 0.5225 0.5225 0.3875 ,
综合以上年份五个城市的水资源承载力大小依次为：洛阳市>新乡市 >开封市>
南阳市>郑州市。

对2002～2008年间所则中原经济区域五个城市的综合评价指标为：
1D =0.4213，2D =0.4347，3D = 0.4303，4D = 0.4371，5D = 0.4303，6D = 0.4236，
7D = 0.4776，即如表3：
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 综合指标
0.4213
0.4347
0.4303
0.4371
0.4303
0.4236
0.4776
2002-2008年中原经济区域水资源承载力综合指标
图1：
根据以上指标可以看出2002～2008年间所则中原经济区域五个城市的水资源承载力都始终在一个范围之内上下波动，属于比较平衡。

5.2 2002-2008年中原经济区域水资源承载力变化趋势的预测
2002～2008年所选中原经济区域五个城市水资源承载力的隶属度如下表3: 以下运用时间序列模型中的简单移动平均法预测来实现对2010～2020年间中原经济区域水资源承载力变化趋势的预测。

简单移动平均法 设观测序列为1y ,,y T ，取移动平均的项数N T <。

一次简单移动平均值计算
公式为：
()()
()()()()1
11111
1
11
t t t t N t t N t t N t t t N M y y y N
y y y y M y y N
N N
--+----=
+++=
+++
-=+-
当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建 立预测模型：
()()11111
ˆ,,1,,,t t t t t N y
M y y y t N N T N
+--+=
=+++=+ 其预测标准误差为：
s =
最近 N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。

一般N 取值范围：
5 ≤ N ≤ 200。

当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。

否则N 的取值应小一些。

在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。

选择最佳N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。

预测标准误差最小者为好。

运用matlab 程序： clc,clear
y=[0.4213 0.4347 0.4303 0.4371 0.4303 0.4236 0.4776]; m=length(y);
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)
%由于n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
for j=1:m-n(i)+1
yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);
end
y12(i)=yhat{i}(end);%预测值
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));%方差
end
y12,s
由简单移动平均法预测2010～2020年中原经济区域水资源综合评价指标数据，
得到以下数据并且运用excel做出其趋势图：
表4:2010～2020年所选中原经济区域水资源承载力综合指标
年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
综合指标0.44
21
0.44
34
0.44
67
0.45
25
0.44
62
0.44
72
0.44
81
0.44
85
0.44
75
0.44
78
0.44
80
图2
又以上图表可知2010-2020年间所择中原经济区域五个城市水资源承载力综合指标变化趋势为：基本就在一定的范围内上下波动，并且波动不大。

六、模型的评价及其推广
1、模型的优点
1>模糊综合评价通过精确的数字手段处理模糊的评价对象，能对蕴藏信息呈
现模糊性的资料作出比较科学、合理、贴近实际的量化评价。

2>模糊综合评价结果是一个向量，而不是一个点值，包含的信息比较丰富，
既可以比较准确的刻画被评价对象，又可以进一步加工，得到参考信息。

3>简单移动平均法预测能平滑掉需求的突然波动对预测结果的影响并且
可消除时间序列中的不规则变动和其他变动，从而揭示出时间序列的长期趋势
2、模型的缺点
1>模糊综合评价计算复杂，对指标权重向量的确定主观性较强，若能详细地
分析各因素之间的关系，利用AHP方法通过两两比较矩阵确定权向量，结果可能会更客观，但工作量会增大。

2>模糊综合评价中当指标集U较大，即指标集个数凡较大时，在权向量和为
1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权向量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差，无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败，此时可用分层模糊评估法加以改进。

3>简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。

如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

4>本文考虑影响水资源承载力的因素有限，影响水资源承载力的因素还有很多。

3、模型的推广
模糊综合评价法多用于模糊环境下对受多因素影响的事物坐综合决策的领域。

比如对企业融资效率、创新能力、经济效益、绩效考核的评价；选址问题；交通路线比选等等模糊性问题中。

此外，模糊综合评价法常常与AHP、DEA、GRA 以及BP神经网络等方法一起使用。

只要预测目标的发展趋势变化不大，简单移动平均法预测都可以被运用来预测所要的数据。

七、参考文献
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[5]白其峥《数学建模案例分析》，北京，海洋出版社，2000
[6]蔡锁章主编，《数学建模原理与方法》，北京，海洋出版社，2000
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[9]张金娟，买房租房决策比较及模型探究，建筑经济2008年6月增刊
[10]张威，《MATLAB基础与编程入门》，西安电子科技大学出版社。