高中数学文科一轮总复习基础题及解析必考部分(3)

高中数学文科一轮总复习基础题及解析必考部分

（3）

第五讲 平面向量

第二节 平面向量基本定理及坐标表示

1．已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e ＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( )

A ．3

B ．－3

C ．0

D ．2

解析：∵(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，∴(3x －4y －6)e 1＋(2x －3y －3)e 2＝0，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

3x －4y －6＝0 ①2x －3y －3＝0 ② 由①－②得x －y －3＝0，即x －y ＝3，故选A. 答案：A

2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为( ) A ．0 B ．±2 C ．2

D ．－2

解析：由题意得x 2－1×4＝0，解得x ＝±2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，此时a ，b 方向相同，不符合题意，舍去；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，此时a ，b 方向相反，符合题意，故选D. 答案：D

3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．2 B ．1

2

C ．－2

D ．－12

解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

2cos α＝λ·sin α，

1＝λ·1，

∴2cos α＝sin α，∴tan α＝2. 答案：A

4．若向量a ＝(1，－2)，b ＝(2,1)，c ＝(－4，－2)，则下列说法中错误．．的是( ) A ．a ⊥b

B ．向量a 与向量c 的夹角为90°

C ．b ∥c

D ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数k 1，k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2c

解析：a ·b ＝1×2＋(－2)×1＝0，所以A 正确；a ·c ＝1×(－4)＋(－2)×(－2)＝0，所以B 正确；b ＝－1

2c .所以C 正确；因为b ，c 是共线的，不能作为基底，所以D 错误．故选D.

答案：D

5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c ＞b ＞a ，若向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为3

2时，则b ＝( )

A.1＋3

2

B ．2

C ．4

D ．2＋3

解析：由向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行知a ＋c ＝2b ①.由12ac sin B ＝32⇒ac ＝15

4②，由c

＞b ＞a 知∠B 为锐角，则cos B ＝3

5，即a 2＋c 2－b 22ac ＝35③，联立①②③得b ＝2.

答案：B

6．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.

解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5. 答案：5

7．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →

方向相反的单位向量的坐标为________． 解析：与向量AB →＝(3，－4)同方向的单位向量为AB →

|AB →

|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，所以与向量AB →

方向相反的单位向量为⎝⎛⎭⎫－35，45. 答案：(－35，4

5

)

8．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)则与2a －3b 平行的单位向量的坐标为________． 解析：由2a －3b ＝(1,2)故与它平行的单位向量为15

(1,2)即⎝⎛⎭⎫55，2

55.

答案：⎝⎛

⎭

⎫

55，255

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1

B ．－12

C.12

D ．1

解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.选D 答案：D

2．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22

B ．12

C ．0

D ．－1

解析：由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2 θ＝cos 2θ＝0，选择C. 答案：C

3．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－16

B ．16

C ．－17

D ．17

解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，(λa ＋b )·(a －2b )＝(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝7λ＋1＝0，λ＝－1

7，故选C.

答案：C

4．已知平面上直线l 的方向向量e ＝⎝⎛⎭⎫－45，3

5，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则O 1A 1→

＝λe ，其中λ＝( ) A.115 B ．－115

C ．2

D ．－2

解析：由向量在已知向量上的射影定义知：λ＝|OA → |·cos 〈e ，OA →

〉＝ 5 ·e ·OA →|e |·|OA →|

＝

5·

⎝⎛⎭

⎫－45，35·(1，－2)1·5

＝－45－6

5

＝－2，故选D.

解法二：利用数形结合的思想，作图可得，令向量e 过原点，故O 1A 1→

与e 方向相反，排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确．故选D. 答案：D

5．已知向量|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以OA →，OB →的邻边的平行四边形的面积为( ) A ．43 B ．23 C ．4

D ．2