一道经典不等式的一题多解,拓展思维(欧建华)

2 2
2
我们可以令 u 1 x ， v 3 x ，则有 u v 4(u 0, v 0)
2 2
v u y
于是原题变为求 y u v 的最大值 我们可以把 y 看成直线 v u y 的截距，如右上图，很明显 ymax 2 2
【解法七】数形结合 2 同前，于是原题变为求 y u v 的最大值 显然当直线与圆相切的时候取最值，而直线与圆相切时有 d r 于是 d
2
根据二次函数的性质，显然当 x 1 时 y 的最大值为 8，即 ymax 2 2 ，故选(C)
【解法三】基本不等式 在基本不等式 a b 2ab 两边同时加上 a b ，有 2a 2b 2ab a b ，
2 2 2 2 2 2 2 2
ab a 2 b2 a 2 b2 a b 两边同时除以 4，整理得 ，即 2 2 2 2
显然在 (3, 1) 内是单调递增函数，在 (1,1) 内是单调递减函数，即函数在 x 1 处取得 极值。 我们都知道连续函数的最值必在极值处或区间端点取得， 取 x 1 ，有 y 2 2 ； 取 x 3 ，有 y 2 ； 取 x 1 ，有 y 2 。 综上，有函数 y 1 x
x 3 的最大值是 2 2 ，故选(C)
【解法二】平方法 把 y 1 x
x 3 两边平方得
y2 1 x x 3 2 1 x x 3 4 2 x2 2x 3 4 2 ( x 1) 2 4
函数的 y 1 x
x 3 的定义域是 (3,1) ，
ymax

8 Y 2
min

82 2
【解法十】对称性法 对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等）时，两变量相等时，可使目标函数取 得最值。
2 2 令 u 1 x ， v 3 x ，则有 u v 4(u 0, v 0) ，去求 u v 的最大值
2 2
其中 [0,

2
]
于是 1 x 当

4
x 3 2cos 2sin 2 2 sin( ) 4

时，有 ymax 2 2 ，故选(C)
【解法六】数形结合 1 注意到 ( 1 x ) ( 3 x ) 4 ，形式很像圆的方程
2 2
【总结】在 12 种不同的解法轰击下，我们的思维逐渐地被打开，我们的视野顿时变得开阔， 我们看问题的角度从此不再单一。希望各位同学在日后的学习中，培养自己多角度、全方位 考虑问题的能力，从此不再为没有思路而烦恼，不再为没有方法而纠结。
对于本题，令 1 x a ， x 3 b ，代入上式有：
2
1 x x 3 1 x x 3 2 ，所以 ymax 2 2 ，故选(C) 2 2
【解法四】柯西不等式 我们大家都知道著名的柯西不等式 (ac bd ) (a b )(c d ) ，
u 2 v2 1 相切需满足 1 4 1 4 y 2 4 4
【解法九】构造对偶函数 1 依题意 y 1 x
x3
我们构造 Y 1 x x 3
于是 y Y 8 ，即 y 8 Y
2 2 2
2
显然 Y 1 x x 3 是单调递减函数 故 Y 1 x x 3 [2, 2] ，即 Y 2 [0, 4]
即 1 x 3 x 因此 ymax 2 2
2 4 2 2
【解法十二】公式法 结论：函数 y a c x b d x 的最大值为 ymax (a b )(c d )
2 2
对于本题求函数 y 1 x
x 3 的最大值，有
ymax (a 2 b2 )(c d ) (1 1)(1 3) 2 2
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显然 u ， v 两变量对称，故令 u = v ，则有 u = v
2
ymax u v 2 2
【解法十一】向量法 根据向量不等式 | a b || a || b | 令 a (1,1) ， b ( 1 x , 3 x ) ，代入上式，有
| (1,1) ( 1 x , 3 x ) | 1 1 1 x 3 x
| y | r2 11
因此 ymax 2 2
【解法八】直线与椭圆相切的充要条件
x2 y 2 2 2 2 2 2 直线 Ax By C 0 与椭圆 2 2 1 相切的充要条件为 A a B b C 。 a b
把圆看成特殊的椭圆，那么 直线 u v y 0 与圆 因此 ymax 2 2
一题多解，拓展思维
广州新东方学校优能中学教育 欧建华
看到 x 2 y 2 1， 有人看到的只是代数方程本身， 而有人看到的是方程背后的圆的几何 意义。看到 (ac bd ) (a b )(c d ) ，有人看到的是柯西不等式，而有人看到的是隐
2 2 2 2 2
藏于背后的本质--向量不等式。所谓横看成岭侧成峰，就是这个道理。学习数学常常也需要 有这种能力，做数学题同样也需要培养这种本能反应。 而一题多解绝对是培养这种能力的一条快速通道，同时，一题多解也是开拓学生视野， 拓展学生思维，培养学生全面看问题的能力。那下面笔者将以 08 年重庆卷的一道选择题的 变式为例， 跟各位同学一起来欣赏一题多解的魅力， 也一起来感受一题多解带给我们的无穷 震撼。
2 2 2 2 2
对于本题来讲，我们令 a 1, b 1, c 1 x , d
2 2 2 2
x3 ，
2
则有 (1 1 x 1 x 3) (1 1 )(( 1 x ) ( x 3) ) 8 即 1 x
x3 8 2 2
【解法五】三角代换 注意到 ( 1 x ) ( x 3) 4 ，容易想到令 1 x 2cos , x 3 2sin ，
【08 重庆卷改编】已知函数 y 1 x
x 3 的最大值为为(
(C) 2 2
)
(A) 2 【解法一】函数单调性
(B) 2
(D)
4 3 3
想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。 依题意，函数的 y 1 x 令 y'
x 3 的定义域是 (3,1) ，
1 1 0 ，得 x 1 2 x 3 2 1 x