平面波法

* 因为 V (r ) 是实数，所以 V ( K m ) V ( K m )
iK m ( r Rn ) V ( r ) V ( r Rn ) V ( K m )e
iK m r V ( K m )e
km
e
iK m Rn
第三节
Hale Waihona Puke Baidu
平面波方法
本节主要内容： 5.3.1 微扰计算 5.3.2 三维能带与一维能带的区别
§5.3 平面波方法
模型：平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电 子近似。 由势场的周期性
V (r )
V ( r ) V ( r Rn )
V (r ) 是具有周期性的函数，可以作傅氏展开。 势能
ˆ 0 ( r ) E 0 0 ( r )得零级近似解 由H 0 k k k
1 ik r (r ) e V 0 k
1 NΩ
e
ik r
2k 2 0 Ek 2m
ˆ 后解薛定谔方程，由布洛赫定理可知波函数应为： 考虑到 H
' k 与 k 的模 k 看作 K n 中
' k
Kn

k
Kn 2
0
Kn
面的反射波矢。 若不考虑杂质和缺陷引起的散射，电子的散射只能是晶格引
' 起的。波矢为 k 态的反射波就是与 K 垂直的晶面族引起的。由 n
第一章知，这组晶面的面间距
d 2π K h ，其中K h K n m，m为整数。
三维：与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔 开，而可以发生能带之间的交叠。 EC为第一布里渊区(C点)的最高能量， EB为第二布里渊区(B点)的最低能量，
E C E B 出现禁带(能隙)Eg；
k
C A B
k
E C E B 出现能带重叠。
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区界面E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。
2k 2 E (k ) V (Kn ) 2m
2k 2 E (k ) V (Kn ) 2m
这两能极之间的能量区间称为禁带，禁带宽度为相应傅
里叶分量绝对值的二倍。
禁带宽度 E g 2 V ( K n )
在禁带中不存在布洛赫波描述的电子态。
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为：
除 a ( 0)和 a( K n )不能忽略外其它项仍是二级小量,可以忽略。中心
方程化为:
2k 2 2m E ( k ) a( 0 ) V ( K n )a( K n ) 0
2k 2 V ( K n )a( 0 ) E ( k ) a( K n ) 0 2m
1
K m m1b1 m2b2 m3b3
因为 Rn 为正格矢，所以 K m 必为倒格矢，即
Km
5.3.1 微扰计算
2 ˆ 2 V r 哈密顿量可写为 H 2m iK m r iK m r V ( r ) V ( K m )e V0 ' V ( K m )e
上式点乘 e
iK n r
并对整个晶体积分得：
2 2 2m ( K n k ) E ( k ) a( K n ) V ( K n K l )a( K l ) 0 Kl Kn
在上式求解过程中，利用了关系式：
2k 2 2 2 2m ( K n k ) a( K n ) V ( K n )a(0) 0 2m 即 a( K n ) 2 2 V (2K n ) a(0) 2 2 V (2K n ) k k 2 ( K n k )2 ( Kn k ) 2m 2m 2m 2m
由图可知
' k
Kn 2
k sin
2π

sin
Kn

k
2d sin m
5.3.2 三维能带与一维能带的区别
Kn 2
0
Kn
这正是与 K n 垂直的晶面族对应的布拉格反射公式。
一维：属于一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的 布里渊区对应不同的能带，在布里渊区边界能带与能带之间 出现能隙。
km km

为方便计算，我们取势能平均值V0=0，这样
2 iK m r 2 ˆ H ' V ( K m )e ˆ ˆ H0 H 2m Km
2 2 ˆ iK m r ˆ H0 ，H ' V ( K m )e 2m Km
e dr N Ω K l , K n ， i ( K m K l K n ) r e dr N Ω K m , K n K l
i ( K l K n ) r
2 2 ( K n k ) E ( k ) a( K n ) V ( K n K l )a( K l ) 0 Kl Kn 2m 因为 K ，K 有无数多个取值，所以上式是一个无限多项 n l 的方程式。在计算精度范围内，可取有限项平面波来作 k ( r ) 的
ik r k (r ) e uk (r )
其中周期性因子 uk (r ) 展成傅里叶级数， iK r 1 ik r k (r ) e a( K l )e l NΩ Kl

1 NΩ
i ( K k )r a( K l )e l Kl
近似。在此情况下，上式就变为一个有限项的方程。这样的方 程构成了一个齐次方程组。 a ( K n )，a ( K l ) 有解的条件是，它的系数行列式为零。若以 K n 为 K 行的指标， l 为列的指标，行列式的元素为如下形式：
AK n ,K l
2 2 ( K l k ) E (k ) 2m V (Kn Kl )
ˆ k ( r ) 代入薛定谔方程 H k (r ) E (k ) k (r )得 : 将
iK r 2 2 i ( K m K l )r a ( K l ) ( K l k ) E ( k ) e l ' V ( K m )e 0 Kl Km 2m
当(Kl Kn ) 当 (Kl Kn )
由此行列式可求出电子的能量 E (k )。
如果电子的行为接近于自由电子时，其波函数与平面波相 近:
(r )
0 k
1 NΩ
e
ik r
(r ) 在 k
1 NΩ
e
ik r
iK r a( K l )e l 中 a(0) ~ 1, Kl
Kn K n (k )0 2
' k
Kn
上式的几何意义是：在 k 空 间中从原点所作的倒格矢 K n 的垂直平分面的方程。

k
Kn 2
0
Kn
' k K ，则从图 我们令 k n
中可以看出，不仅 相等，而且，若把
垂面的入射波矢，k ' 恰是 K n中垂
其他系数 a( K l ) 是小量；电子能量也与自由电子能量近似
2k 2 E 2m
0 k
电子的近自由电子行为是由势场决定的，此种情况的势
二级小量，中心方程简化为：
) lK nK( V
场起伏不大，中心方程中的系数
是小量。若忽略掉
2 远离 k 2 时，由于 ( K )是小量，所以 a( K n )也是 当 ( Kn k) V n 2 k 2 时， ( K ) 变得很大，此时中心方程中 小量，但当 ( K n k ) a n
要使a(0)和a( K n )有非零解，必须
2k 2 E (k ) V ( Kn ) 2m 0 2 2 k V ( Kn ) E(k ) 2m
利用：V ( K n ) V ( K n )
2k 2 就可得到： E ( k ) V ( Kn ) 2m 2 2 由此可知，当 ( K n k ) k 时，波矢k将对应两个能级，