事件的条件概率和三个基本公式

2 2 4 P( AB ) . P( A B) 3 34 P( B )
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条件概率的计算公式规定如下：
P( AB ) (P( B) 0) P( A B ) P( B )
例 设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率。若改为还原摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( B1 )P( A B1 ) P( B2 )P( A B2 ) P( B3 )P( A B3 )
0.3 0.03 0.2 0.03 0.5 0.01 0.02 .
P( Ω B) 1 ；
(3) 可列可加性 设 A1 ,, An 是 两 两 不 相 容的事件，则
P Ai B P( Ai B) i 1 i 1
并由此推出条件概率的其它性质：
(4) P(Ø B) 0 ；
(5) P( A B) 1 P( A B) ;
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定义
若 事 件 组 B1 , B2 ,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
(1) B1 , B2 ,, Bn 两 两不相容 (即每次至多发生其中一个)
( 2 ) B1 B2 Bn Ω (即每次至少发生其中一个)
则 称 B1 , B2 ,, Bn 为一个 完备事件组 .
在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生 产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. 在全概率公式的假定下，有
P( ABk ) P( Bk A) P( A)
P( Bk )P( A Bk )
P( B )P( A B )
j 1 j j
n
(k 1,2,, n)
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观
全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公 式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A 已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一 个导致了这一结果？
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例如，某地发生了一个案件， 怀疑对象有甲、乙、丙三人. 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可 能性有一个估计，设为
加权平均
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例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问 第二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
a 1 a b a a . a b a b1 a b a b1 a b
察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个
原因Bk的概率.
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例3 已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％, 次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商 品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分 别为多少? P( B1 )P( A B1 ) 0.3 0.03 解 P( B1 A) 0.45 , P( A) 0.02
n
P( Bi )P( A Bi ) .
i 1
n

i 1
这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.
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全概率公式
P( A) P( Bi )P( A Bi )
i 1 n
利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的 计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分 别求概率然后求和．
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例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％,且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、1％， 试求市场上该品牌产品的次品率. 解 设A:买到一件次品；B1、B2 、B3分别表示买到
第三节
1
一、条件概率
对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言 的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出 附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另 一事件A发生的概率。 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为2/3.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确吃亏吗？
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“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概 率论的知识来计算一下,每个人抽到 “入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
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用Ai表示“第i个人抽到入场券” ，i＝ 1,2,3,4,5. 则 表示“第i个人未抽到入场券 Ai ”. 因为若第2个人抽到 显然，P(A1)=1/5 . 了入场券，第1个人 由于 A2 A1 A2 肯定没抽到. 由乘法公式
(6) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
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二、乘法公式
P( AB) 由条件概率的定义： P( A B ) P( B )
即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A)P(B|A) 推广到三个事件：
集合的划分
B3
B1
A B4
B6
B7 B8
Ω
B2
B5
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设 B1 , B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A， 有
A AΩ AB1 AB2 ABn
显然 AB1 , AB2 ,, ABn 也两两不相容，
B3
B1 B2
A B4 B5
B6
P( B ) 0.6， P( B | A ) 0.4 , 求P( A | B ) ．
解
P( A B) P( A )P( B | A ) 0.5 0.4 0.20；
B AB AB , 且 AB、A B 互斥
P( AB) P( B) P( A B) 0.60－0.20 0.40 ．
这就是有关抽签顺序问题的正确解答.
也就是说， 抽签不必争先恐后.
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三、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比 较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和 乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) = (4/5)(1/4) = 1/5 .
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
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P( A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
2 P( AB ) C2 C10 2 非还原: P( B A) 3 . P( A) 3 10 9
P( AB ) 3 2 102 3 还原: P( B A) . P( A) 3 10 10
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不难验证条件概率具有以下三个基本性质： (1) 非负性 (2) 规范性
P( A B) 0 ；
B A B BA .
P( B) P( BA) P( A) P( B A) 0.96 0.75 0.72，
即一等品率为72%.
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一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的 什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽 取.
P ( AB ) P ( C AB ) P ( A B ) P ( C A B )
a a 1 a2 b a a 1 a b a b1 a b 2 a b a b 1 a b 2 a b a 1 b b1 a a b a b1 a b 2 a b a b1 a b 2 a . ab 20
0.5 0.01 0.2 0.03 0.25 . P( B2 A) 0.3 , P( B3 A) 0.02 0.02
所以这件商品最有可能是甲厂生产的.
P( Bi ) :
0.3, 0.2, 0.5
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P( Bi A) : 0.45, 0.3, 0.25
解 释 ： 事 件 B1 , B2 , , Bn 看 作 是 导 致 事 件 A 发 生 的 "原 因 ",在 不 知 事 件 A 是 否 发 生 的 情 况 下 ，它 们 的 概 率 为 P( B1 ), P( B2 ), , P( Bn ) ，通 常 称 为 先 验 概 率 ；现 在 有 了 新 的 信 息 已 知 ( A 发 生 ),我 们 对 B1 , B2 , , Bn 发 生 的 可 能 性 大 小 P ( B1 A ), P ( B 2 A ), , P ( B n A ) 有 了 新 的 估 价 ， 称 为 "后 验 概 率 ".
可 以 想 见 ， 第 三 次 、 第 四 次 „ 摸 出 白 球 的 概 率 仍为
a ， 这 体 现 了 抽 签 好坏与先后次序无关的公平性. ab
练习 求第三次摸出白球的概率.
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练习
解
求第三次摸出白球的概率.
分别记A,B ,C为第一、二、三次摸到白球，
由全概率公式,
P(C ) P( AB )P(C AB ) P( A B )P(C A B )
P( AB ) P( A) P( AB ) P( A | B ) P( B ) P( B )
0.1 0.25 . 0.4
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例2 某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75%是 一等品,求一等品率.
解 记A：合格品；B：一等品， 由题意 P( A) 1 4% 96% , P( B A) 75%， ,
偏 小
甲
乙
丙
P(B1) P(B2) P(B3)
但在知道案情细节 知道A 发生后 后, 这个估计就有 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 了变化. 比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变 最 成了重点嫌疑犯.
大
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再 举 一 个 医 学 例 子 。在 医 疗 诊 断 中 ，为 了诊 断 病 人 到 底 患 了 毛 病 B1 , B2 , , Bn 中 的 哪 一 种 ，对 病 人 进 行 检 查 ，确 定 了 某 个 指 标 A(比 如 体 温 ).根 据 以 往 资 料 可 知
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
乘法 公式
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB) ，
一般, P (A1A2…An )
=P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
与次序无关。
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例1 设 A, B 为任意两个事件，且已知 P( A) 0.5，
2
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为2/3.
我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生
的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。 若记B为至少有一男孩，则上述概率为
B7 B8
Ω
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设 B1 , B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A， 有
A AΩ AB1 AB2 ABn
显然 AB1 , AB2 ,, ABn 也两两不相容，
由概率的可加性及乘法公式, 有
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( ABi )