数理方程-分离变量法

分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
ut a 2uxx 0, 0 x l , t 0 u x 0 0, ux x l 0 u t 0 ( x)
试探解 u( x, t ) X ( x)T (t )
代入方程和边界条件得 固有值问题
再看关于T 的方程
2 2 n " 2 T a T 0 2 l
这个方程的解
分离变量的形式解
n at n at cos sin Tn (t ) An Bn l l
由叠加原理，一般解为：

nat nat nx ( A cos B sin ) un ( x, t ) n sin n (n=1,2,3,…) l l l
2、λ=0 时方程的解是

0
由此解出C1 =0, C2 =0，从而
X ( x) 0
X ( x) C1 x C2
C2 0 C1l C2 0
则仍然解出 C1 0 C2 0
u( x, t ) X ( x)T (t ) 0
3、 λ>0的情况
方程的解是
方程齐次
这组边界条件齐次
u x0 0 u xa 0 (0 y b)
u y 0 u0 u y b U (0 x a)
用分离变量法
u | y 0 u0 u y b U
uxx u yy 0
u |x 0 u |x a = 0
X (0) X (a) 0
2 2
得固有值：
n n 2 a
(n 1,2,.....)
n x 固有函数： X ( x) sin n a
而 于是有
(n 1,2,.....)
Yn ( y ) An e
un ( x, y) ( An e
n y a
n y a
Bne
n y a
n y a
Bn e
X " X 0
n ( nl )2
X n sin nl x,
固有 值 （特 征值） 问题
n at n at Tn An cos Bn sin l l
un Tn (t ) X n ( x)
u u ( x, t )
u Tn (t ) X n ( x)
偏微分方程
叠加得
n x )sin a
n x )sin a
u( x, y) (An e
n 1

n y a
Bne
n y a
为确定叠加系数，将 u ( x,

y)
代入非齐次边界条件
n x ( An Bn ) sin a u0 n 1 n n b b ( A e a B e a ) sin n x U n n a n 1
nx nat nat u( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1
现在要求出叠加系数 An和 Bn 满足初始条件
u
ut
t 0
( x)
t 0
( x)
0 x l
n a n ut ( x, 0) Bn sin x ( x) l l n 1
u |t 0 ( x) ut t 0 ( x)
utt a 2 u xx
u |x 0 u |x l = 0
X (0) X (l ) 0
分 离 变 量 流 程 图
u T (t ) X ( x )
T X " 2 aT X
2 T a T 0
只有 cos l 0
由此得
1 l (n ) , n 0,1, 2,3 2 于是得固有值和固有函数为
1 2 2 (n ) 2 2 (2n 1) 2 n 2 2 l 4l
下面求解
(2n 1) x X n ( x) sin 2l
(2n 1) T a T 0 2 4l
T X 2 a T X
两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常 数，把这个常数记作------
T X 2 aT X
这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程， 且边界条件也同样进行分离
X X 0 X (0) 0 X (l ) 0
l
0
A 如取 ( x) x ，则 l
2l
2 lA (2n 1) x 2A 2l (2n 1) x Cn x sin dx 2 [ x( cos ) l 0l 2l l (2n 1) 2l 0 2l (2n 1) (2n 1) x 8A n 0 cos 2l dx] (1) (2n 1)2 2
按上述公式计算出系数 An 和 Bn ，则可得原问题的解：
nx nat nat u( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1

注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。 如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个 有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。
2 2 2
得
Tn (t ) Cn e
u ( x, t ) Cne
n 0

(2 n 1) 2 2 a 2 4l
2
t
由叠加原理，得
(2 n 1)2 2 a 2 4l
2
t
(2n 1) x sin 2l
确定系数 Cn ,由初值条件知

Leabharlann Baidu
于是
(2n 1) x Cn sin ( x ) (0 x l ) 2l n 0 2 l (2n 1) x Cn ( x)sin dx
t
un Tn (t ) X n ( x)
u u ( x, t )
u Tn (t ) X n ( x)
经讨论知，仅 0 时有非零解，且
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0 得 C1 0 由 X (l ) 0 得 C2 cos l 0

n u ( x, 0) An sin x ( x) l n 1

方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边 的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得
2 l n An ( ) sin d l 0 l 2 l n Bn ( ) sin d na 0 l
将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得
2 a n x 2u0 (1 (1)n ) An Bn u0 sin dx a 0 a n
齐次发展（演化）问题的求解
齐次稳定场问题的求解
非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结
§2.1 齐次发展方程的分离变量法
一 分离变量法简介
研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题
utt a 2u xx 0 0 x l, t 0 u x 0 0 u x l 0 u t 0 ( x) ut t 0 ( x), 0 x l
l
1
从而下列问题
的解为
ut a 2u xx 0, 0 x l , t 0 u x 0 0, u x x l 0 u t 0 A x l
(2 n 1)2 2 a 2 4l
2
8A u ( x, t ) 2 (1) e 2 2 n 0 (2n 1) n
X X 0 X (0) 0 X (l ) 0
和常微分方程
T a2T 0
u |t 0 ( x)
ut a 2 uxx
u | x 0 ux | x l = 0
X (0) X (l ) 0
分 离 变 量 流 程 图
u T (t ) X ( x )
X ( x) C1 cos x C2 sin x
2 2 n 于是 l n 或 n n 1,2, 2 l n x 此时 X n ( x) Cn sin l n 称为固有值， X n ( x) 称为固有函数
C1 0 C2 sin l 0 只有sin l 0 才能保证 C2 0，方程有非零解
T X " 2 aT X
2 T a T 0
X " X 0
n ( (2n2l1) )2 , n 1,2,
X n sin (2n2l1) x,
固有 值 （特 征值） 问题
Tn (t ) Cne

(2 n 1)2 2 a 2 4l 2
2
方程、边界 条件均齐次
设u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入上述波动方程和边界条件得
T X XT a X T 0 用 a XT 遍除 2 aT X
2
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
X (0) X (l ) 0
Bne
un X n ( x)Yn ( y)
u u ( x, y )
（特 征值） 问题
u ( x, y ) X n ( x)Yn ( y )
设形式解为：
u ( x, y ) X ( x)Y ( y )
代入上述泛定方程,得到 得到固有值问题 和常微分方程
X X 0 X (0) 0 X (a) 0 Y Y 0
r1 x
解
C 2e
r2 x
y ( C1 C2 x )
y (C1 cos x C 2 sin x )
1 、在λ<0时，方程的解是
X ( x) C1e
x
C2 e
x
积分常数 C1 和 C2 由边界条件确定
C1 C2 0 l l C e C e 1 2

分离变量
常微分方程（关于X）+边界条件 故有(值)函数 常微分方程（关于T）+初始条件 叠加系数
通解
本征值
故有函数

【例题1】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ( x) ,试求无热源时细杆上 温度的变化。
【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件
分 离 变 量 流 程 图
u X ( x)Y ( y)
X " Y X Y
n y a
Y Y 0
Yn ( y ) Ane
n y a
X " X 0
n ( ) , n 1,2, 固有 X n ( x) sin na x, 值
n 2 a
2A

t
(2n 1) x sin 2l
图形如下: (程序:my1)
25 20 15
25 20 15
u
10 5 0 1 10 0.5 T 0 0 X 5
u
10 5 0 1 10 0.5 T 0 0 X 5
a=5 A=10 l=10 N=100
(a) 精确解图
(b) 瀑布图
§2.2 稳定场齐次问题的分离变量法 1 矩形区域上拉普拉斯方程
称为固有值（本征值）问题
T a T 0
2
二阶常系数齐次线性微分方程
y y 0
求方程的通解的步骤为： 2 r 0, (1)写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 r ， 1 , r2 (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。 特征根 通
y C1e
【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边 y b 处于较高温 度U ， y 0 边处于冷却介质中而保持较低的温度 u0 , 其他两 边 x 0 ， x a 温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温 度分布 u ( x, y ) . 【解】先写出定解问题定解问题
uxx u yy 0