动量守恒定律和能量守恒定律

过程为有限过程，必须用质点系的 O
x
动量定理的积分形式：
I外
t2
t1
Ndt
p
但积分形式只能算出该段时间内的平均力，不能算出
各个时刻的瞬时力。
t2
t1
Ndt
N t
p
N p t
3-1
3-2 动量守恒定律
一. 动量守恒定律
推导：由质点系的动量定理： F外dt dp 当外力为零时， F外 0 dp 0
3-1
五. 质点系的动量定理
推导（以只有两个质点的质 点系为例）：由质点的动量 定理：
dI dp
dI
F1
dI F12
dp1
dI F2
dI F21
dp2
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
(dI F1
dI F2
)
(dI F12
dI ) F21
dp1
dp2
(dI F1
dI F2
)
dp1
dp2
3-4
F dl
d
1 2
mv
2
F
定义 1：（元）功：
dW F dl
定义
2：动能：
Ek
1 mv2 2
P dl
则有动能定理： dW dEk （微分形式）
dW dE 2
Ek 2
1
Ek 1
k
W Ek （积分形式）
3-4
一. 功
1. 元功：dW F dl
总功： W
2
1
F
dl
说明：当力为恒力，且质点做直线运动 时，
动量守恒定律和能量守恒定律
3-1 质点和质点系的动量定理
推导： F ma m dv d (mv)
dt
dt
Fdt d (mv)
定义 1 ：（元）冲量：dI Fdt 定义 2 ：动量： p mv
则有动量定理： dI dp （微分形式）
dI t2
t1
p2 p1
dp
I p （积分形式）
3-1
三. 质点的动量定理
1. 定理： I p
2. 投影式（证明略）：
Ix ( px )
I
y
( py )
I
z
( pz )
四. 内力的冲量
I
x
t2 t1
Fxdt
其中：
I
y
t2 t1
Fydt
I
z
t2 t1
Fzdt
px py
mvx mvy
pz
mvz
定理：一对内力的冲量的和为零（证明略）。
3-1
一. 冲量
1. 元冲量： dI Fdt
总冲量： I
t2
t1
Fdt
说明：当力为恒力时，
I
t2
t1
Fdt
F
t2
t1
dt
Ft
即中学学过的冲量的定义其实是特例。
二. 动量 p mv
3-1
三. 质点的动量定理
1. 定理： I p
说明 1 ：上式为质点的动量定理的积分形式。
说明 2 ：质点的动量定理的微分形式和积分 形式等价。 说明 3 ：建议只记忆积分形式，以后谈到动量 定理也一般指其积分形式。以后对类似的其它 结论通常也做此处理。
F12 பைடு நூலகம்r1 F21 dr2 F21 dr2对1
解：
z
Q
W
x2 x1
Fxdx
y2 y1
Fydy
z2 z1
Fzdz
x2 x1
0dx
y2 y1
0dy
z2 z1
(mg
)dz
oP
z2 z1
(mg
)dz
x
y
mg
z2 z1
dz
mg(z2 z1) mg(zQ zP )
结果表明：重力的功和路径无关。
3-4
例 2. 如图，一质点 m 在水平桌面上沿一曲线从 P 到 Q ，计算此过程中摩擦力所作的功，设滑动摩擦 系数为 u ，曲线长度为 L 。
d ( p1
p2 )
dp
3-1
五. 质点系的动量定理
推导： (dI dI ) dp
F1
F2
dI外 dp （微分形式）
dI dp t2
p2
t1
外
p1
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
I外 p （积分形式）
3-1
五. 质点系的动量定理
1. 定理： I外 p
对比：质点的动量定理：
I p
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
说明：内力不改变质点系的动量。
3-1
例 1：水枪喷出的水柱垂直打在竖直墙面上，并顺 墙面流下，设水柱截面积为 S ,水速为 v ,水的密度
为 。求水柱作用于墙面的冲击力。
解：取 dt 时间内打到墙面上的水 dm 为研究对象。 由质点系的动量定理的微分形式：
pC
1. 定律：当合外力为零时，质点系的动量守恒。 说明：有时合外力不为零，但在某一方向上的 投影为零，则质点系的动量在该方向上的投影 守恒（证明略）。
3-2
3-3 系统内质量移动问题
课下阅读
3-3
3-4 动能定理
F ma
F dl
d
1 2
mv
2
（ 过程略）
F dl dr ：元位移
P dl
dI外 dp
Ndt 0 (dm)v (dm)v
v
(dV )v (Sdx)v
(Svdt)v v2Sdt
N v2S
O
x
N v2S 3-1
思考：在中学做本题时常选 t 时
间（或单位时间）内打到墙面上的
水为研究对象，试问这种做法在什
v
么情况下将不可用？
答：当水速为变量时（显然此时冲
击力为变力）。因为中学做法所选
Q
解：W
s2 s1
Ft ds
s2 s1
fds
P
f
et
s2 s1
(mg)ds
(
mg
) s2 s1
ds
mgL
结果表明：摩擦力的功和路径有关。
3-4
五. 功率
W dW
P lim
t0 t
dt
F dl
F
dl
F dr
dt
dt
dt
Fv
Fvcos
3-4
六. 内力的功
定理 1：一对内力的功的和为（证明略）：
W
2
1
F
dl
F
l (Fdl cos ) F cos l dl
F cosl Fl cos
l
即中学学过的功的定义其实是特例。
二. 动能
Ek
1 mv2 2
三. 质点的动能定理 W Ek
3-4
四. 功的计算
W
2
1
F
dl
1. 直角坐标系
a axi ay j azk b bxi by j bzk
a b axbx ayby azbz
3-4
四. 功的计算
W
2
1
F
dl
1. 直角坐标系
a
b
axbx
ayby
azbz
F
Fi x
F y
j
F z
k
dl dxi dyj dzk
dW F dl Fxdx Fydy Fzdz
2
W 1 (Fxdx Fydy Fzdz)
x2 x1
Fxdx
y2 y1
Fydy
z2 z1
Fzdz
3-4
四. 功的计算
W
2
1
F
dl
2. 平面自然坐标系
en
s
et
P dl
o
F Ftet Fnen dl dlet 0en
dW F dl Ftdl Fn 0 Ftdl Ftds
W
s2 s1
Ft
ds
3-4
例 1. 一质点 m 沿一曲线从 P 到 Q ，计算此过程中 重力所作的功，设 P 、 Q 坐标均为已知。