二次函数与不等式课件PPT
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二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-2024-2025学年高一数学教材课件
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.
《二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件
道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
高三一轮复习-二次函数与一元二次方程、不等式课件
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔ b2－4ac<0.
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
新教材人教A版2.3二次函数与一元二次方程不等式第2课时课件(33张)
关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1对x∈R恒成立，求实
数m的取值范围． 解：原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1<0 对 x∈R 恒成立．
当 m＝0 时，显然不等式对 x∈R 恒成立．
m<0， 当 m≠0 时，由题意，得Δ＝m2－4m（m－1）<0，
m<0，
m<0，
即3m2－4m>0， 即m<0或m>43， 解得 m<0.
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
设f(x)，g(x)均为一元一次代数式，则可将分式不等式转化
为一元二次不等式：
f（x） g（x）
>0⇔__
f(x)g(x)>0
f（x） g（x）
<0⇔
f(x)g(x)<0 ；
f（x）g（x）≥0，
f（x） g（x）
≥0⇔
g（x）≠0
；
f（x）g（x）≤0，
3－x
x－3
【解析】 由2x＋5 >0，得2x＋5 <0，
等价于(x－3)(2x＋5)<0，
解得－52 <x<3，所以不等式23x－＋x5 >0 的解集是x－52<x<3 .
例2 [教材应用]不等式
≤3的解集是__x__x_<_2_，__或__x_≥__72_ _.
【解析】 由xx－＋21 ≤3，得xx－＋21 －3≤0，
(1)写出本年度预计的年利润y(元)与投入成本增加的比例x的关 系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比 例x应在什么范围内？
解：(1)依题意，得 y＝[120(1＋0.75x)－100(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) ＝10 000(－6x2＋2x＋20)， 所以，所求关系式为 y＝10 000(－6x2＋2x＋20)(0<x<1). (2)依题意，得 10 000(－6x2＋2x＋20)>(120－100)×10 000， 化简，得 3x2－x<0，解得 0<x<13 . 所以投入成本增加的比例 x 的范围是 0<x<13 .
一元二次函数方程和不等式课件
y>0, 即 x2－2x －3 >0
x <－1 或 x > 3 y=0，即x2－2x －3 =0 x =－1 或 x = 3
-1
3
y<0，即x2－2x －3 <0 －1< x < 3
y = x2－2x －3
变一变
一元二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a > 0 ) ,
一元二次不等式：a x 2 + b x + c > 0 ( a > 0 ) ,
画一画
画出二次函数 y = x 2 - 2 x - 3 的图象.
y x
-1
3
看一看
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x 1 = -1, x 2 = 3 （2）不等式 x 2 - 2 x - 3 > 0 的解集是 { x | x﹤-1 或 x > 3 } （3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是 { x | -1 < x < 3} 思考： 二次方程、二次不等式、二次函数， 三者之间有什么关系？ y = x 2-2x3 y -1 3 x
x2 +bx+c<0
x
的解集是 { x | -1 < x < 3 }, 求实数 b , c 的值.
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
y = x 2+ bx + c y -1 3 x
的两根 , 所以 -1 + 3 = - b, -1×3 = c, 解得b = -2 , c = -3.
a x 2+ b x + c < 0 ( a > 0 ) , 一元二次函数： y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) ， 三者之间有什么关系？
二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
13
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时， 方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
6
先转化为一般形式 y
6
5
4
3
2
1
–1 0 2 1 x
3
–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符 号分类， 即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时， 方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
6
先转化为一般形式 y
6
5
4
3
2
1
–1 0 2 1 x
3
–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符 号分类， 即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时不等式的解法及应用(共33张PPT)
-
≥0;
+
解:(1)原不等式可化为 (-)( + ) ≥ ,
+ ≠ ,
解得
≤ - 或 ≥ ,
≠- .
所以 x<- 或 x≥ ,
所以原不等式的解集为{x|x<- 或 x≥ }.
数学
(2)
-
>1.
+
解:(2)原不等式可化为
数学
第2课时
不等式的解法及应用
数学
知识探究·素养启发
课堂探究·素养培养
数学
知识探究·素养启发
知识探究
一元二次不等式的解集是 R 或 的含义
[问题1-1] 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)时,相
对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象有什么特征?一元二次不等式ax2+bx+c<0
-3<k≤0.故选 D.
)
数学
2
[变式训练 3-1] 若命题 p:存在 x∈R,使 2kx +kx+ <0 是假命题,则实数 k 的取
值范围为
.
2
解析:由命题 p 为假命题可知﹁p“∀x∈R,2kx +kx+ ≥0 恒成立”为真命题.
当 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则
> ,
所以 m<
-+
因为函数 y=
.
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课ppt课件
解得10≤x≤30.]
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1.
栏目导航
[解] (1)xx－＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1， ∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
栏目导航
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准 不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．
锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 一元二次不等式的应用
栏目导航
学习目标
核心素养
1.掌握一元二次不等式的实际应用 1.通过分式不等式的解法及不等式
(重点).
的恒成立问题的学习，培养数学运
2.理解三个“二次”之间的关系. 算素养.
3.会解一元二次不等式中的恒成立 2.借助一元二次不等式的应用培养
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第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像和性质
(2)∵k＝1>0，∴一次函数对 于 一切实数x，y都随x的增大而 增大．
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 又∵a＝1>0， ∴当x>1时，y随x的增大而增大． ∴当x>1时，两个函数的函数值y都随自变量x的增大而增大 ．
二次函数与不等式
利用函数的图象求方程 x2 2x 5 0 的实数根在哪两个连续的整数之间。
利用函数的图象求方程 x2 2x 5 0 的实数根 在哪两个连续的整数之间。
第2课时 用逼近法求一元二次方程的近似解
尝试：下列表格给出的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 几组对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解可以是( C )
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像和性质
(3)∵当0<x<3时，一次函数图像位于二次函数图像的上方， ∴当0<x<3时，一次函数值大于二次函数值． (4)由图像可知，位于x轴上方，函数值大于0，而位于x轴下 方，函数值小于0，对二次函数，当x<－1时，y>0；当－1<x<3 时，y<0；当x>3时，y>0.对一次函数，当x<3时，y<0；当x>3时 ，y>0. 综上所述，当x<－1时，两个函数的函数值的积小于0.
(4)当自变量 x 为何值时，两个函数的函数值的积小于 0?
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像和性质
解：(1)由抛物线与坐标轴分别交 A，B，C，知点 A 的坐标为 (－1，0)，点 B 的坐标为(3，0)，点 C 的坐标为(0，－3)．
设一次函＝33＝k＋ b，b，解得bk＝＝－1，3， ∴一次函数的表达式为 y＝x－3.
(2)令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.
解得 x1＝－1，x2＝3. ∴抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)，
∴由图像可知函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围是－1
＜x＜3.
如图是二次函数y=-x2 2x 4的图像 求使y 1成立的x的取值范围。
探究问题二 二次函数与一次函数的综合
例 2 如图 5－2－52 所示，在同一直角坐标系中，抛物线 y＝x2－2x
－3 与坐标轴分别交于点 A，B，C.一次函数的图像与二次函数的图像交于
B，C 两点．求：
(1)一次函数的表达式；
(2)当自变量 x 为何值时，两个函数的函数值都随 x 的增大而增大？
(3)当自变量 x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？
A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.55
x y＝ax2＋bx＋c
3.3 －0.06
3.4 －0.02
3.5 0.03
3.6 0.09
第1课时 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次不等式的关系
已知二次函数 y＝－x2＋bx＋ c 的图像如图 5－4－2 所示， 它与 x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，3)．
[归纳总结] 解决本题的关键是 正确进行数形结合，突破点 是两个函数图像的交点，正确观察哪个函数图像在哪个函数图 像的上方．
(1)求出 b，c 的值，并写出此二次函数的表达式； (2)根据图像，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围．
y
3
-1 O
X
第1课时 二次函数与一元二次方程
解：(1)由题意，得－ c＝1－ 3，b＋c＝0，
解得b＝2，
c＝3.
故所求函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3.