分段函数与映射

1.2.2分段函数及映射（学案）

一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解分段函数与映射的概念，会根据函数的解析式来画图，求函数值；

2、能够根据映射定义判明某种对应关系是否为映射。

（二）、过程与方法

通过对分段函数的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对映射定义的应用，提高学生的推理判断能力。（三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会分段函数的实质，明确分段函数是一个函数的意义。

三、教学难点

分段函数的应用及映射定义的应用。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、某公共汽车的票价如下：（1）5公里以内（含5公里）票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。

如果一条线路的总长为30公里。

请回答下列问题：

1.我如果坐车到离起点15公里的地方，票价为多少元？如果坐车到离起点18公里的地方呢？

2.写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图像。

1．分段函数的概念

在定义域内_不同区间_ _上，有不同的解析式的函数通常叫做分段函数．

思考

1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各是什么？

【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集

例题展示

1、画出函数()f x x =的图像。并求：（1）()f 3，（2）()f f 2-⎡⎤⎣⎦

2、

解题感悟：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．

(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 变式练习：本例（2）中的条件不变，若已知()f

x 3=，求x 的值。

已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2，x ≤－1x 2，－1

②本例是求值问题． 解答本题需确定f(f(－3))的范围，为此又需

确定f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解．

3、

题后感悟：对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分

新课内容

学生自主学习课本第22页的内容。

1、思考回答：

（1）映射的概念：设A 、B 是两个集合，如果按照某种 对应关系 ， 对于集合A 中的 任意 一个元素，在集合B 中都有 唯一 的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f ：A →B.

（2）映射的概念与函数的概念的联系与区别

2、自主学习课本的例7.

已知函数f(x)＝1＋|x|－x 2(－2

(3)写出该函数的值域．

【思路点拨】 讨论x 的取值范围化简f(x)的解析式把f(x)表示为分段函数形式画出f(x)

的图象求f(x)的值域 例题：判断下列对应是不是从A 到B 的映射： (1)A ＝N ，B ＝N *，f ：x →|x －2|； (2)A ＝{x|0≤x ≤6}，B ＝{y|0≤y ≤2}，f ：x →y ＝1/2x ； (3)A ＝{x|x ≥3，x ∈N }，B ＝{a|a ≥0，a ∈Z}， f ：x →a ＝x 2－2x ＋4； 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①判断对应是否为映射； ②用解析式给出了三个对应关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A 中任何一个元素在B 中是否都有唯一元素与之对应．

题后感悟：要判断对应f：A→B是否是A到B的映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素．③映射有方向性，f：A→B与f：B→A一般是不同的。

课堂感悟：

1．正确认识分段函数

(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．

(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．

(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．

2．正确理解映射概念

(1)映射f：A B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的．

(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．

(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形式．