函数的图像及其变换

函数的图像及变换

一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折

左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪

⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪

⎪⎧⎨

⎨⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →

关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）

例1：已知2

()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）

例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

()f x x

=

，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.

A. 1x -

B. 12x +

C.12x -+

D. 12x

-

例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，

()()01212f x f x ππ++-=；②当6

π-

<时，'

()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6

f x x π

=+

B. ()cos(2)3

f x x π

=+

C. ()sin(2)6

f x x π

=-

D. ()cos(2)6

f x x π

=-

①关于形如()y f x =的图像画法：

当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-

()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.

②关于形如()y f x =的图像画法

当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-

先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.

例3：画出下列函数的图像.

（1）12

log y x = （2）228y x x =--

例4:设函数2()45f x x x =--.

（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；

（2）设集合{}

()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；

（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.

①左右平移

把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数

()y f x a =+的图像

②上下平移

把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数

()y f x a =+的图像

例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8

a π

=-

平移后得到的图象的解析式为sin(2)24

y x π

=+

-，则

原来函数的解析式 .

Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的

a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.

Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的

1

a

倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21

()2

lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，

最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.

例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.

【练习】

1.为了得到函数3

2

1x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.

A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)y

x x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.

3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()

y f x =的图像与函数4

log y x =的图像的交点的个数为（ ）.

A.3

B.4

C.6

D.8

4.将函数b

y a x a

=

++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.

A. 1,0a b =-≠

B. 1,a b R =-∈

C.1,0a b =≠

D. 0,a b R =∈ 5.已知2

1

()f x x x =+

，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.

6.画出下列函数的图像.

（1）ln y x = （2）2

6y x x =--

7. 函数()2x

f x =和3

()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，