随机过程第三章 泊松过程
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（3）对于 s t ， N(t) N(s) 表示时间区间 (s,t] 内事件 A 发生的次数。
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。
如时刻 t 已发生的事件 A 的次数即 N (t) ，必须独立于时刻 t 和 t s 之间所发生的事件数即
(N(t s) N(t)) 。 如果在任一时间区间内发生的事件 A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计
3.3( 2 )
PN (t) 0 PN (t h) N (t) 0
P0 (t)P0 (h)
3.3( 3)( 4 )
P0 (t)(1 h o(h))
因此
P0
(t
h) h
P0
(t)
P0
(t)
o(h) h
令h0得
P' 0
(t
)
P0
(t
)
解得
P0 (t) Cet
又 P0 (0) PN(0) 0 1，代入进一步得到
－（4）的计数过程 N (t) 服从参数为 t 的泊松分布即可。记
Pn (t) PN(t) n
P(h) PN(h) 1 P1(h) P2(h) 1 P0(h)
首先推导一个关于 P0 (h) 的微分方程：
P0 (t h) PN (t h) 0 PN (t h) N (t) 0, N (t) 0
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
例 3.1（泊松过程在排队论中的应用）在随机服务系统中排队现象的研究中，经常用到 泊松过程模型，如到达电话总机的呼叫次数，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的 顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某车站为例，设从早上 8 点开始，此车站连续售票， 乘客依 10 人/小时的平均速率到达，则从 9 点到 10 点这 1 小时内最多有 5 名乘客来此购票 的概率是多少？从 10 点到 11 点没有人来购票的概率是多少？
次与第 n 1次事件发生的时间间隔，则Xn , n 1 称为到达时间间隔序列。 定理 3.2 若N(t),t 0 是泊松过程，则Xn , n 1 是相互独立且服从参数为 的指
数分布。
证明：首先考虑 X1 的分布，注意到事件X1 t 等价于事件N(t) 0 ，即在 (0,t]内
没有事件发生。因此
（4）当 h 0 时， PN(t h) N(t) 2 o(h) 。
注：若对函数 f 有 lim f (h) 0 ，则称函数 f 是 o(h) 。 h0 h
定理 3.1：定义 3.2 与定义 3.3 是等价。 证明：（1）先证定义 3.3 蕴含定义 3.2。欲证此结论，只需证明满足定义 3.3 条件（1）
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
定义 3.2 泊松过程：计数过程N(t),t 0 称为参数为 ( 0 )的泊松过程，如果满
足：
（1） N(t) 0 ；
（2）过程有独立增量；
（3）在任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为 t 的泊松分布。即对一切 s ， t 0，
PN (t s) N (s) n et tn , n 0,1, 2,
数过程为平稳增量过程。即对一切 t1 t2 及 s 0 ，在区间 (t1 s,t2 s]中事件 A 的发生次 数即 (N(t2 s) N(t1 s)) 与区间 (t1,t2 ] 中事件 A 的发生次数即 (N(t2 ) N(t1)) 具有相同
的分布，则过程有平稳增量。
泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。
-6-
P T1
s
N (t)
1
PT1 s, N (t) 1 PN (t) 1
PA发生在时刻s之前, (s,t]内没有A发生
PN (t) 1
PN (s) 1 PN (t) N (s) 0
PN (t) 1
sese (ts) tet
s t
上式表明，在已知在 (0,t] 内只发生一次的前提下，事件 A 发生的时刻在 (0,t] 上是均匀分布
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
-4-
的。推广这一结论可以得到如下定理 3.5。
定理 3.5 在已知 N(t) n 的条件下，事件发生在 n 个时刻T1,T2,,Tn 的联合概率密度
函数是
f
(t1,t2,,tn )
n! tn ,0
t1
t2
tn
证明：设 0 t1 t2 tn tn1 t ，取 hi 充分小使得 ti hi ti1,i 1, 2,, n ，
n! 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且 E[N(t)] t ，于是可认为 是单位时间内发 生事件 A 的平均次数，一般称 是泊松过程的强度或速率。
为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件
-1-
（1）说明事件的计数是从时刻 t 0 开始的；条件（2）通常可从过程直接验证；但是条件
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
特征函数
Tn
(t)
(
n it)n
根据定理 3.2 可给出泊松过程的另一定义。
定义 3.4 计数过程N(t),t 0 是参数为 的泊松过程，如果每次事件发生的时间间隔
X1, X2,相互独立，且服从同一参数 的指数分布。
证明略。
接下来我们考虑事件发生时刻的条件分布。
假设到时刻 t ，泊松过程描述的事件 A 已发生了 n 次，我们现在考虑这 n 次事件发生的 时刻T1,T2,,Tn 的联合分布。首先考虑 n 1 时，对于 s t
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程
定义 3.1 计数过程：随机过程N(t),t 0 称为一个计数过程，若 N (t) 表示从 0 到时
刻 t 为止某一事件 A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过
程满足以下条件：
（1） N(t) 0 ，且取值非负整数；
（2）若 s t ，则 N(s) N(t) ；
PX1 t PN(t) 0 et
从而
PX1 t 1 et
在已知 X1 的条件下求 X 2 的分布
PX 2 t X1 s PN (t s) N (s) 0 X1 s
独立增量
PN (t s) N (s) 0
平稳增量
et 所以，X 2 与 X1 相互独立且都服从参数为 的指数分布。重复同样的推导得到定理 3.2 的命
-5-
f (t) et (t)n1 , t 0 (n 1)!
n
证明：注意到Tn Xi ，由定理 3.2 知 Xi ,i 1, 2, 相互独立，且服从同指数分布。 i 1
注意到指数分布是当 n 1时 分布的特殊形式，由 分布可加性易得Tn , n 1, 2,服从参
数为 n 和 的 分布。以下我们用另一种方式来推导本证明。 注意到，第 n 次事件在时刻 t 或之前发生当且仅当时间 t 已发生的事件数量至少是 n ，
（3）的证明却无从下手。为此，引进泊松过程的一个等价定义。
定义 3.3 计数过程N(t),t 0 称为参数为 ( 0 )的泊松过程，如果满足：
（1） N(t) 0 ；
（2）过程有平稳与独立增量；
（3）存在 0 ，当 h 0（充分小的 h 0 ）时，PN(t h) N(t) 1 h o(h) ；
因此
Pn (t h ) Pn h
t(
) Pn (t ) Pn1
t(
) o
h(
)
令h0得
P' n
(t
)
Pn
(t
)
Pn1
(t
)
et
[
P' n
(t
)
Pn
(t
)]
et
Pn1
(t
)
因此
d dt
(et
Pn
(t))
et
Pn1 (t )
当 n 1时易解得 P1(t) tet 。
当
n
2 ，为证明
Pn
t
et
t n n!
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
eh (h)n
n2
n!
o(h)
因此，结论得证，即定义 3.2 蕴含定义 3.3。 综合，定义 3.2 和定义 3.3 等价。 注：相比定义 3.2 对泊松过程的定义，定义 3.3 中的条件在实际运用中更为容易；但定
义 3.2 在理论研究中是常用的。
泊松过程的数字特征：
均值 E(N(t)) t ，均方值 E(N 2 (t)) (t)2 t ，方差 D(N(t)) t 协方差函数 CN (t1,t2 ) min(t1,t2 ),t1,t2 0 ， 相关函数 RN (t1,t2 ) 2t1t2 min(t1,t2 ),if t1 t2,then RN (t,t) t(1 t)
成立。由定义 3.2（3）可得
来自百度文库
-3-
PN (t h) N (t) 1 PN (h) N (0) 1 eh h
1!
Taylor Expan si on
h
(h)n
h(1 h o(h))
n0 n!
h o(h)
PN (t h) N (t) 2 PN (h) N (0) 2
h1
hn
故按定义，在已知 N(t) n 的条件下，T1,T2,,Tn 的联合概率密度为
f
(t1,,
tn
)
lim
hi 0
P
1in
ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n h1 hn
N (t) n
n! tn
注：在 (0, t] 区间上发生 n 次事件的前提下，各次事件发生的时刻T1,T2,,Tn 可看做相
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
PN (t) n 2, N (t h) N (t) 2
Pn (t)P0 (h) Pn1(t)P1(h) o(h) (1 h)Pn (t) hPn1(t) o(h)
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。
如时刻 t 已发生的事件 A 的次数即 N (t) ，必须独立于时刻 t 和 t s 之间所发生的事件数即
(N(t s) N(t)) 。 如果在任一时间区间内发生的事件 A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计
3.3( 2 )
PN (t) 0 PN (t h) N (t) 0
P0 (t)P0 (h)
3.3( 3)( 4 )
P0 (t)(1 h o(h))
因此
P0
(t
h) h
P0
(t)
P0
(t)
o(h) h
令h0得
P' 0
(t
)
P0
(t
)
解得
P0 (t) Cet
又 P0 (0) PN(0) 0 1，代入进一步得到
－（4）的计数过程 N (t) 服从参数为 t 的泊松分布即可。记
Pn (t) PN(t) n
P(h) PN(h) 1 P1(h) P2(h) 1 P0(h)
首先推导一个关于 P0 (h) 的微分方程：
P0 (t h) PN (t h) 0 PN (t h) N (t) 0, N (t) 0
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
例 3.1（泊松过程在排队论中的应用）在随机服务系统中排队现象的研究中，经常用到 泊松过程模型，如到达电话总机的呼叫次数，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的 顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某车站为例，设从早上 8 点开始，此车站连续售票， 乘客依 10 人/小时的平均速率到达，则从 9 点到 10 点这 1 小时内最多有 5 名乘客来此购票 的概率是多少？从 10 点到 11 点没有人来购票的概率是多少？
次与第 n 1次事件发生的时间间隔，则Xn , n 1 称为到达时间间隔序列。 定理 3.2 若N(t),t 0 是泊松过程，则Xn , n 1 是相互独立且服从参数为 的指
数分布。
证明：首先考虑 X1 的分布，注意到事件X1 t 等价于事件N(t) 0 ，即在 (0,t]内
没有事件发生。因此
（4）当 h 0 时， PN(t h) N(t) 2 o(h) 。
注：若对函数 f 有 lim f (h) 0 ，则称函数 f 是 o(h) 。 h0 h
定理 3.1：定义 3.2 与定义 3.3 是等价。 证明：（1）先证定义 3.3 蕴含定义 3.2。欲证此结论，只需证明满足定义 3.3 条件（1）
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
定义 3.2 泊松过程：计数过程N(t),t 0 称为参数为 ( 0 )的泊松过程，如果满
足：
（1） N(t) 0 ；
（2）过程有独立增量；
（3）在任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为 t 的泊松分布。即对一切 s ， t 0，
PN (t s) N (s) n et tn , n 0,1, 2,
数过程为平稳增量过程。即对一切 t1 t2 及 s 0 ，在区间 (t1 s,t2 s]中事件 A 的发生次 数即 (N(t2 s) N(t1 s)) 与区间 (t1,t2 ] 中事件 A 的发生次数即 (N(t2 ) N(t1)) 具有相同
的分布，则过程有平稳增量。
泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。
-6-
P T1
s
N (t)
1
PT1 s, N (t) 1 PN (t) 1
PA发生在时刻s之前, (s,t]内没有A发生
PN (t) 1
PN (s) 1 PN (t) N (s) 0
PN (t) 1
sese (ts) tet
s t
上式表明，在已知在 (0,t] 内只发生一次的前提下，事件 A 发生的时刻在 (0,t] 上是均匀分布
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
-4-
的。推广这一结论可以得到如下定理 3.5。
定理 3.5 在已知 N(t) n 的条件下，事件发生在 n 个时刻T1,T2,,Tn 的联合概率密度
函数是
f
(t1,t2,,tn )
n! tn ,0
t1
t2
tn
证明：设 0 t1 t2 tn tn1 t ，取 hi 充分小使得 ti hi ti1,i 1, 2,, n ，
n! 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且 E[N(t)] t ，于是可认为 是单位时间内发 生事件 A 的平均次数，一般称 是泊松过程的强度或速率。
为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件
-1-
（1）说明事件的计数是从时刻 t 0 开始的；条件（2）通常可从过程直接验证；但是条件
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
特征函数
Tn
(t)
(
n it)n
根据定理 3.2 可给出泊松过程的另一定义。
定义 3.4 计数过程N(t),t 0 是参数为 的泊松过程，如果每次事件发生的时间间隔
X1, X2,相互独立，且服从同一参数 的指数分布。
证明略。
接下来我们考虑事件发生时刻的条件分布。
假设到时刻 t ，泊松过程描述的事件 A 已发生了 n 次，我们现在考虑这 n 次事件发生的 时刻T1,T2,,Tn 的联合分布。首先考虑 n 1 时，对于 s t
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程
定义 3.1 计数过程：随机过程N(t),t 0 称为一个计数过程，若 N (t) 表示从 0 到时
刻 t 为止某一事件 A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过
程满足以下条件：
（1） N(t) 0 ，且取值非负整数；
（2）若 s t ，则 N(s) N(t) ；
PX1 t PN(t) 0 et
从而
PX1 t 1 et
在已知 X1 的条件下求 X 2 的分布
PX 2 t X1 s PN (t s) N (s) 0 X1 s
独立增量
PN (t s) N (s) 0
平稳增量
et 所以，X 2 与 X1 相互独立且都服从参数为 的指数分布。重复同样的推导得到定理 3.2 的命
-5-
f (t) et (t)n1 , t 0 (n 1)!
n
证明：注意到Tn Xi ，由定理 3.2 知 Xi ,i 1, 2, 相互独立，且服从同指数分布。 i 1
注意到指数分布是当 n 1时 分布的特殊形式，由 分布可加性易得Tn , n 1, 2,服从参
数为 n 和 的 分布。以下我们用另一种方式来推导本证明。 注意到，第 n 次事件在时刻 t 或之前发生当且仅当时间 t 已发生的事件数量至少是 n ，
（3）的证明却无从下手。为此，引进泊松过程的一个等价定义。
定义 3.3 计数过程N(t),t 0 称为参数为 ( 0 )的泊松过程，如果满足：
（1） N(t) 0 ；
（2）过程有平稳与独立增量；
（3）存在 0 ，当 h 0（充分小的 h 0 ）时，PN(t h) N(t) 1 h o(h) ；
因此
Pn (t h ) Pn h
t(
) Pn (t ) Pn1
t(
) o
h(
)
令h0得
P' n
(t
)
Pn
(t
)
Pn1
(t
)
et
[
P' n
(t
)
Pn
(t
)]
et
Pn1
(t
)
因此
d dt
(et
Pn
(t))
et
Pn1 (t )
当 n 1时易解得 P1(t) tet 。
当
n
2 ，为证明
Pn
t
et
t n n!
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
eh (h)n
n2
n!
o(h)
因此，结论得证，即定义 3.2 蕴含定义 3.3。 综合，定义 3.2 和定义 3.3 等价。 注：相比定义 3.2 对泊松过程的定义，定义 3.3 中的条件在实际运用中更为容易；但定
义 3.2 在理论研究中是常用的。
泊松过程的数字特征：
均值 E(N(t)) t ，均方值 E(N 2 (t)) (t)2 t ，方差 D(N(t)) t 协方差函数 CN (t1,t2 ) min(t1,t2 ),t1,t2 0 ， 相关函数 RN (t1,t2 ) 2t1t2 min(t1,t2 ),if t1 t2,then RN (t,t) t(1 t)
成立。由定义 3.2（3）可得
来自百度文库
-3-
PN (t h) N (t) 1 PN (h) N (0) 1 eh h
1!
Taylor Expan si on
h
(h)n
h(1 h o(h))
n0 n!
h o(h)
PN (t h) N (t) 2 PN (h) N (0) 2
h1
hn
故按定义，在已知 N(t) n 的条件下，T1,T2,,Tn 的联合概率密度为
f
(t1,,
tn
)
lim
hi 0
P
1in
ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n h1 hn
N (t) n
n! tn
注：在 (0, t] 区间上发生 n 次事件的前提下，各次事件发生的时刻T1,T2,,Tn 可看做相
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
PN (t) n 2, N (t h) N (t) 2
Pn (t)P0 (h) Pn1(t)P1(h) o(h) (1 h)Pn (t) hPn1(t) o(h)
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n