【精品】PPT课件 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会
高等代数CAI课件.pptx
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y), 即 IM
∴σ为可逆映射．
2019年7月11
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反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x). 所以σ为满射.
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例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4
（不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, n Z τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
例6 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x)
都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 映射的一个特殊情形．
2019年7月11
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2、映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M ''，乘积
定义为： (a)＝τ(σ(a))
a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
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4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
线性代数及应用PPT课件
上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满 足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。 因为 元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
， 则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。 一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例： 问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成 单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵 对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目
福建省高等代数(线性代数)教学研讨会
遍乘直除法
对非线性方程表示及解法当属元朝数学家---对非线性方程表示及解法当属元朝数学家---李冶、朱世杰的方法出名。
李冶：1192李冶：1192-1279. 代表作：《测圆海镜》《益古演 代表作：《测圆海镜》《益古演 段》。方程未知数称为天元，求解方程求未知数的 算法称为天元术。 常数项旁置一“太”，一次项旁置一“元”. 常数项旁置一“太”，一次项旁置一“元”.如
刘徽创造了“遍乘直除法”解线性方程组. 刘徽创造了“遍乘直除法”解线性方程组. “遍乘直除”，实际上相当于现在的线性方 程组上进行“倍法变换”然后再“消法变 换”。因此“遍乘直除”实际上是进行一种 “消元法”，而方程组的目标也是“化上三 角形”，故这是典型的“高斯角形”，故这是典型的“高斯-约当消元 法”. 法”.
最优秀之作《九章算术》：
全书九章，共246题。 下面是《九章算术》中典型的盈亏问题：
“今有共买物，人出八盈三；人出七不 足四。问人数、物价各几何？”
本题含义：
今有若干人共买一物，若每人出8元，则剩余3 今有若干人共买一物，若每人出8元，则剩余3 元；若每人出7元，则差4 元；若每人出7元，则差4元；问共有多少人，该物 多少价？ 如果用现代代数方程的方法，可得如下解：设x 人，物价为y, 则得线性方程组 y, 8x - y = 3 y - 7x = 4 但古代线性方程组是
高斯简介
高斯（Gauss C.F. 1777.4.30-1855.2.23）德国数学家、物 1777.4.30-1855.2.23）德国数学家、 高斯（ 理学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一，在历史上 理学家、天文学家。高斯是近代数学奠基人之一， 影响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。1795年18岁 影响很大，足以与阿基米德、牛顿、欧拉并列。1795年18岁 进入哥丁根大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图 进入哥丁根大学学习， 法，1799年获博士学位，证明了代数基本定理，还发明了最 1799年获博士学位 证明了代数基本定理， 年获博士学位， 小二乘法原理，还将数学应用于天文学、大地测量学和磁学 小二乘法原理，还将数学应用于天文学、 等。其数学研究几乎遍及数学的所有领域，一生中共发表 其数学研究几乎遍及数学的所有领域， 155篇论文，还有许多作品在生前并未发表， 155篇论文，还有许多作品在生前并未发表，如椭圆函数的 篇论文 双周期性的发现，非欧几何等。 双周期性的发现，非欧几何等。
参加福建省《高等代数》《线性代数》课程研讨会的几点体会及建议.ppt
2019-8-31
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6、突出学科思想方法，居高临下
• 代数学的研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。本课程突出代数学 的思想方法，居高临下，透彻把握教材， 并重点强调了三种方法：空间直和分解方 法、同构方法、等价分类方法，在教学过 程中使用得淋漓尽致，也体现“授之于渔” 的教学思想。
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7、带动各院校的精品课程建设
8、积累了丰富的经验，带动数学专 业其他课程的建设
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二、建议
• 1、持之以恒，坚持下去，每年举办两次， 每次的时间可以是一天半；
• 2、继续按章节研讨，形式可增加评课、精 典考研题解、习题课、命题讨论；
• 3、高教处应考虑划拨专项经费给予资助。
参加福建省《高等代数》《线性 代数》课程研讨会的几点体会及
建议
龙岩学院 数学与计算机科学学院
2019-8-31
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序
• 由厦门大学林亚南教授发起并组织的本课 程研讨会，成功地举办了八次，我校注重 学科建设，特别是数学与计算机科学学院 的领导，狠抓课程建设，抓住研讨会的机 会，每次都派（2-4人）教学一线的相关人 员参加会议，收获很大，现谈谈几点体会 及建议。
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4、校际交流，促进发展
• 由各院校轮流承办，建立院校之间的交流 平台，促进兄弟院校的学科建设及课程建 设。我校是2005年1月2日承办了第三次研 讨会，我院领导表示：在第二轮的研讨会 中，要继续承办一次。
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5、网站内容丰富、翔实，资源共享
福建省高等代数与线性代数课程建设第十三次研讨会
例3.5 问题1.1.5中矩阵A 的化零多项式为
f x x2 2x 3 （1） f 2 5 ， 由定理3.1知A 2E 可逆。
（2） f '(2) 6 由（3.1）得
A
2
E
1
1 5
6E
A
2
E
1 5
A
4E
例3.6 问题1.2.1的化零多项式为 f x x3 ，
问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.
问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程 A2 3A 2E 0, 求证A可逆，并求逆
问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.
问题1.1.14（见 [8,P81]） 设n阶方阵A满足, AT A R nn且A2 6A 8E 0，
求( A E)1
问题1.1.4（见[9,P52]） 设A 满足 A2 2A 3E 0 求A1, ( A E)1, ( A E)1
问题1.1.5（见[11,P98]） 设A 为n阶矩阵，满足
A2 2A 3E 0
（1）证明A可逆且求A1
（2）证明A 2E为可逆阵，求 A 2E 1
问题1.1.6（见[12,P42 ]）
A+4E为可逆阵，并求逆。设n为正整数，那么 A+nE可逆吗？
问题1.2.1（见[7 ，例2.23]）设n阶矩阵A≠0 满足A3=0，
证明E-A，A+E都可逆，并求逆。
问题1.2.2（见[2， 习题一（B），34]）设方阵A满足 A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵? 如果是，求其逆。 问题1.2.3（见[21 ，P43,13（2）]，[22,P49,18(2)]） 设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。
PowerPoint Presentation 高等代数.
2 1 xo 2000 4000 3 1
1 A的特征值为1＝1，2＝ ， 2 2 1 特征向量1＝ 3 ， 2＝ 1
2）椭圆的长半轴和短半 轴的长 分别为1
y2
1 和1
2 。
x1
3）椭圆的长半轴和短半 轴的所在 的直线即为特征向量 e1和e2所在的直线
其他例子：
1.“地球自转一个小时（不考虑公转）”，此变换 的 特征向量及特征值。
2.“把门推开”这一变换的特征向量和特征值。
思考：假设社会财富在某一阶段内在不同阶层中的分配的 变化看成是一线性变换。若社会财富的初始状态是“两头 小中间大” （穷人，中产者，富人）健康稳定型的占有 状态，并假设变换的特征向量所在的方向分别代表穷人， 中产者，富人所在的方向。
k222 k22
1)
A k111 k222
n n 1 1 1 n
2) A k k22 2
k111
A
当 | 1 || 2 | 时，空间中的向量在 A作用下的变化趋势
例 1 在Markov过程中的应用
在某城镇里，若每年有30%已婚妇女离婚，20%的单身女士结婚， 假定该镇总体女士人口数保持不变，现假设有8000已婚女士， 2000单身女士，试求： n年后此两类女性人数各为多少?
2）此变换对应的变换矩阵A=?
2 2
2 1
A(1, 2 ) ( A1, A2 ) (21, 2 )
A (21,2 )(1,2 )1
例5.特征值特征向量在二次曲线中的几何意义
第一章 高等代数多项式PPT课件
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
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多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
( f ( x ) g ( x ) m ) ( f ( x ) a ( g ) ( x x ) , )
② (f( x ) g ( x ) ) (f( x ) ) ( g ( x ))
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多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
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多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？
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多项式
§4 最大公因式
§4 最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
定义1：对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x] ， 使得
建设“高等代数”精品课程的思路与实践
建设“高等代数”精品课程的思路与实践摘要：本文从以学科思想理解课程的结构与教学内容，突出学科思想方法的教学活动，建设资源共享的课程网站，开展全省课程研讨活动等方面，介绍了厦门大学“高等代数”国家精品课程建设的思路与实践。
关键词：课程建设；学科思想；课程网站；课程研讨会“高等代数”是一门传统课程，是大学本科数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其他学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
厦门大学的“高等代数”课程，2003年被评为福建省精品课程，2007年被评为国家精品课程。
我们主要的课程建设思路和做法如下。
一、以代数学的思想，理解“高等代数”课程结构与教学内容大学本科数学以分析，代数，几何作为主干课程。
代数学是研究一个代数对象的结构理论与表示理论的一门学科。
群、环、域、模、格、线性空间、李代数、结合代数等，是不同的代数对象，它们都是在一个集合定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统。
线性空间则是本科生所接触，所学习的第一个代数结构。
笔者认为，“高等代数”分为两个部分，一个是基本工具部分，不但是学习高等代数的基本工具，也是学习其他数学学科的工具，同时是用数学来研究其他相关学科的基本工具。
它包括行列式、矩阵、线性方程组、二次型、特征值特征向量、正交向量等内容，这部分内容是理工科、经管类、医学、农学所学习的“线性代数”的基本内容。
这部分的内容经常可以用解线性方程组为主线来组织教学内容，来叙述教学内容。
另外一个部分则是研究线性空间，包括线性空间、线性映射(变换)、相似标准型等内容，这就是研究代数对象。
在“高等代数”课程中是怎么研究线性空间的?笔者认为，有三个层次。
第一个层次，研究向量之间的线性关系，即作为线性空间的元素之间的关系。
内容包括线性表示、线性相关性、线性无关极大组、基与维数等，难点与重点是线性相关性。
第二个层次，研究线性子空间，即从子集合的观点考虑线性空间。
内容包括子空间与子空间的运算(交与和)、生成子空间、直和分解。
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
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高等代数
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任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
精品课程要升级整体理念须深化——高等代数精品课程转型升级建设的思考与实践
１ 三套高等代数教 育书 的涌 动
中国高校 高等 代 数教 材 的信 息 莫过 于对 最高 学府 三套 教育 书情 况 的 了解 ．教材 ［ １ ］是 】 ９ ７ ８年 以来 国 内高校 使用 最 多的高 等代 数 教材 ，据 高 教社 的一位 编辑 所 言 ，该 书 的习题 解答 就 出 了五 、六 种版 本 ，其 执 笔 王 、石 两先 生在 时 隔近 ３ ０年还 出了配 套 的辅 导 与 习题 解答 【 ２ 】 ．笔 者认 为 ：该书继 承 了段 学复 院士 、丁 石 孙 教授 的严 谨 、简 洁 的风 格 ．但 与段 先 生 的此类 书 不宜 出 习题解 答 相违 背 ．在 高等 代数 教材 中还 有供 高 师 院校使 用 的教材 ［ ３ ］ ，虽然 张 禾瑞 先 生 毕生贡 献给 中 国的代 数教 育事 业 ，书 中也 的确 有独 到之 处，但 由于 体 制 原因 ，难 于与 ［ １ ］较 量． １ ９ ８ ７年 ，北 京大学 的丘 维声 、蓝 以中 、张 顺燕 三 教授将 国际著 名数 学 图书 出 版 社斯 普林 格 出版社 的前苏 联 Ａ． Ｍ 柯 斯特 利金 的 《 代 数 学引论 》 （ 上 、下册 ）译 成 中文 出版 ，使 国 内代 数
阐述了笔者在高等代数精品课程建设转型升级中的思考与成果． 关键词：高等代数 ； 精品课程转型升级 ； 整体理念 ； 教育设计
中图分类号： Ｇ６ ３ ４ 文献标识码 ： Ｂ
由全 国高等学 校 教学研 究 中心 、全 国高等学 校教 学研 究会 、教育 部高 等 学校 数学 与统 计学 教学指 导委 员会 、中国数 学会 、 中国工 业 与应用 数 学学 会 、高等教 育 出版社 及部 分 高校 等在 东南 大学 联合 举办 的第 八
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
高等代数-网络多媒体课程-版演示课件-精选.ppt
－－数学价值的鉴赏..,
网络多媒体课程 惠州学院
高等代数课程组
高等代数 网络多媒体课程
高等代数课程组 惠州学院数学系
..,
数学可以把灵活引导到真理。 ――苏格拉底（Socrate,前469年—前399年）
数学是科学的大门和钥匙。 -----培根(Roger Bacon, 1214-1294)
数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高 的美，是一种冷而严肃的美.
--罗素(Russel,1872-1970) 美是首要的标准，不美的数学在世界上找不到永久的容身 地
－－哈代（H.Hardy,1877-1947） 数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学 家。
－－阿达玛(S.Hadamard,1865-1963 第三章 行列式 第四章 线性方程组 第五章 矩阵 第六章 向量空间 第七章 线性变换 第八章 欧氏空间和酉空间 第九章 二次型
高代课件
A B B A, A B B A
思考题： 1、下列等式中哪些是正确的，哪些是错误的；正 确的，请予以证明，错误的，请给出反例予以说 明。 (1) ( A B) ( B A) ( A B) ( A B) (2) ( A B) C ( A C ) ( B C ) (3) ( A B) (C D) ( A C ) ( B D) (4) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 2、写出集合的全部子集。 3、设是含有个元素的集合，的含有个元素的子 集共有多少个？
思考题： 1、如果 f : A B不是单射时，应如何叙述？ 2、如果 不是满射时，应如何叙述？ f : AB 3、如果 ， 都不是双射， 它们的合成 能成为双射吗？为什 f : A B g:B C 么？
g f : AC
课堂练习 1、试证：映射 f : A B是单射的充 要条件为 f 有唯一的左逆映射。 2、试证：f : N N , f (n) n 1是单 射但不是满射。 3、设映射： : R R, f ( x) 4 x 5 f f 1 。 求
一、映射的概 定义1、集合A到集合B的一个对应关系 如 果满足：A中任一个元素a，关于 f 都存在B中 的一个元素与其对应，则称 f 是A到B的一个 f a 映射。习惯上记为 f : A B ， b
a A
b
B
说明：关于映射 f : A B 需要注意 1、(存在性)对每个元素 a A ，都存在 b B 使 f : a b，其中b叫做关于 f 下的象， 记为 b f (a) 2、(唯一性)对每个元素 a A ，关于 f 下 a的象都是唯一存在的。 映射的相等 如果 f : A B, g : C D 都是映射 而且 A C, B D 且 a A 都有 f (a) g (a) 那么 称 f 与 g 是相等的，记为 f g 。
《高等代数课件》
4 1 1 1 0
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
A
4
3
0 .
1 1 0
1 0 2
解 (i) 由EA 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
得 A 的 特 1 2 征 ， 2 值 3 1 ；
(ii) 当 1 2 时(2 ， E A )x 解 0 .
3 1 0 1 0 0
由2EA4 1 00 1 0
第4.1节 特征值与特征向量
• 特征值与特征向量概念 • 特征值与特征向量性质
返回
1.特征值与特征向量概念
(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量. 例如
A 0 3 1 1 ,1,x 1 2 ,有 A xx
1 0 0 0 0 0
0
例2与例3中,
得xx12 00,全
部
特
征k1向 0(k量 10为 );重特征值所
1
对应的线性
当 23 1 时(， E A )x 解 0 . 无关特征向
2 1 0 1 0 1 由EA4 2 00 1 2
量的个数是 不相同的.
1 0 1 0 0 0
1
得 xx212xx33,全
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
(*)
用方阵A左乘上式两端,得
k1Ax1+k2Ax2+…+ks Axm=0
再利用 Axi=i xi ( i=1,2, …,m),得
k11x1+k22x2+…+kmmxm=0 (**)
(**)- λm(*),得
《线性代数》说课ppt课件
1.教学内容 2.教学重、难 点 3.教学设计 4.学法设计
22
说课结束，欢迎大家批评指正，谢谢！
2011年5月
23
6
1.3课程目标
本着“基础理论以应用为目的，以必需够用
为度”的指导思想，一方面通过线性代数的教学,不
仅使学生掌握线性代数的相关的基础知识、基本理
课 论,有较熟练的运算技能一方面使学生获得该课程的
程
基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习有关 专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础，
目 另一方面通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象
段学习成绩差，学习态度学不端法
正，有的甚至自暴自弃。
学习态度不端正 水平参差不齐
符合学生实际情况
教学方法
16
3.2制订大纲
学情分析
学法
必须
够用
实用
教学大纲
17
3.3教学手段
目前来说，线性代 数的教学方式还是以黑 板加粉笔为主，在今后 的教学中要逐步加入多 媒体教学、网上共享教 学资源或线上教学，这 是教学发展的一个趋势， 但是也要注意网络化教 学手段与传统教学的衔 接过度，以达到最佳教 学效果为依据进行改革 创新。
线上教学
教学资源上网
多媒体教学 黑板加粉笔
18
3.4教学过程实施
12
3
4
5
6
问
历
概例
课
归
布
题
史
念题
堂
纳
置
提
介
介讲
练
总
作
出
绍
绍解
习
结
业
19
3.4.6布置作业
作业是课堂教学中不可缺少的环节
《高等代数》课程简介
《高等代数》课程简介一、课程概述《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识。
尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。
《高等代数》是中学代数的继续和提高。
通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。
二、本课程的教学目的及要求1、使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
2、使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
3、使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
4、逐步培养学生的对知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例（正例和反例）的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
5、使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
6、根据教学的实际内容的需要，对课程标准中所列各章内容，分别提出了具体的教学内容与内容要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。