高等数学教学中的反例
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粗 糙 集 理 论 的应 用 研 究 ． Ｅｍａｌｙ ｓｆｓ １ ３ ｃｒ． ｉ ｘｆｑ＠ ６ ．ｏ ： ｎ
４ ８
高 等 数 学 研 究
但 函数 Ｄ（ ） ｚ 显然 在 （ 。 ＋。 ）内处处 间 断 ， 一 。， 。 因而 函数 Ｄ（ 在 任何 一 点都 不 可导． ）
例 ５ 设 有 函 数
文 献 标 识码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ 一 ３ ９ ２ １ ） ２０ ４ —５ ０ ８ ｉ ９ （ ０ ２ ０ —０ ７ ０ ［
中 图 分 类 号 Ｏ１ ２ Ｇ６ ２ ７ ； ４
教育 心 理学 认 为 ： 念 或规 则 的正 例传 递 了最 概
本概 念 ， 是学 好高 等数 学 的根本 ． 正确使 用 每一个 而
方法．
例 １ 狄 利 克莱 函数
『， ｚ Ｅ ＠， 】
１ ｚ ０，
①．
虽令
△ 一 二 （ ｎ Ｅ ７ ）， ／
１ 反 例 在 高 等 数 学 中 的 教 学 功 能
１ １ 能使 学生 准确 理解 概念 和正 确 掌握 定理 ．
且 对 于任 意 ｚ， 因 ＋ 与 ｚ同为有 理数或 同为无理
的适 用 范 围去 使用 造 成 失 误 ， 而反 例 不 但 会 加 深 学 生对 概念 、 理 中的关 键 词和本 质特 征 的认识 理解 ， 定 使 概 念 的 内涵 和外 延 更 加 明确 清 晰 ， 且 可 把 定理 而
中的条件 、 论之 间 的充分 性 、 要 性指示 得 一清 二 结 必 楚， 达到 强化 条件 的 目的 定 义 １。 Ｅ
若 极 限
／ ｒ ＿ ． ｋ
ｌｍ ０ ａｘ．一 ｉ ｆ ． — ｄ ， △ — ， ０
—
存在 ， 则称 函数 ，（ 在 点 。 导． ） 可
由于初 学 者对 导 数 概 念 理解 不 深 ， 为 定 义 中 认 的 一 ０ 的方 式是 可 以指定 的 ， 而忽 视 了△ ｚ一 ０ 的 方式 是任 意 的． 了帮 助！ 为 荨生深 刻理 解导 数概 念 ， 可
第 １ ５卷 第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ１ １ Ｎ Ｏ． ． ５， ２ Ｍ ａ ．，２Ｏ１ ｒ ２
高 等 数 学 教 学 中的 反例
方 倩 珊
（ 州城 市 职 业 学 院 初 等教 育 系 ， 建 漳 州 ５ ３ ０ ） 漳 福 ； ０ ０ ６
№ ）一
， Ｉ ［ ， ， ｒ∈
摘
要 在 高 等 数 学 教 学 中 ， 当地 开 发 和有 效 地 利 用 反 例 ， 恰 能起 到 事 半 功 倍 的 效 果 ． 过 具 体 的 例 子 ， 四 通 从
个方 面 剖 析 高 等 数 学 中 反 例 的 教 学 功 能 ， 探 讨 反 例 的构 造 方 法 ． 并 关 键 词 高 等 数 学 ； 例 ； 学 功 能 反 教
数， 故恒有
ｚ＋ 二 ）一 －（ 厂 ）一 ０ ， 因此 ｆ（ ｘ＋ ） 厂 ｚ） 一 （
ｌｍ — — ｉ — — 一 ０，
数 学 的 知 识 体 系是 由概 念 和 命 题 等 内 容 组 成
的． 生 的抽象 概括 能 力 、 辑 思 维 能 力 、 间 想 象 学 逻 空
数学 定理 则是 学好 高 等 数 学 的关键 ． 高 等 数 学 教 在
有 利 于概 括 的信息 ， 例 则 传 递 了最 有利 于辨 别 的 反 信 息［ ． 们 知 道 ， 学 中 提 出 问 题 的 主要 类 型 为 １我 ］ 数
“ Ａ则 Ｂ” 如果要 说 明这 一 陈述 为真 ， 若 ， 则必 须 经过 严 密 的论证 ； 而要 说 明这一 陈述 不 真 ， 只需 要 找 出 则
一
学 中 ， 一些 定义 、 理 及 有 关 命 题ห้องสมุดไป่ตู้的 叙 述 ， 纯 从 对 定 单
理论 上判 断 是 很 抽 象 的 ， 生 在 应 用 这 些 公 式 、 学 定 理、 法则 时常 常忽 视它 们 的前提 条 件 ， 随意超 出定 理
个 反例 ， 即满足 Ａ但 非 Ｂ的例 子 ． 这种 用来 说 明某
举如 下反 例．
等 数 学 的障碍 ． 适 当 的 反 例 不仅 能 帮 助学 生 全 面 而 正 确地 理解 掌 握高 等 数 学 的 基 本 知 识 ， 发 学 生 的 激
求知欲， 而且对 于 提 高 学 生 的数 学 学 习 能力 和 数 学
思 维 能力将 会 起着 十分 重要 的作用 ． 因此 ， 高等 数 在 学 教 学 中 ， 分挖 掘反 例 的的教 学 功 能 ， 当地 开发 充 恰 和 有效 地 利用 反例 ， 引起 我们 足够 的重 视 ． 应 下面谈 谈 高等 数 学 中反 例 的教 学功 能及 其构 造
能力、 分析 运算 能力 、 决 问 题 能力 都 是 以 清 晰 、 解 正 确 的概念 为基 础 的． 因此 ， 深刻 理解 高等 数 学 中的基
收 稿 日期 ： Ｏ Ｏ Ｏ 一 ８ 修 改 日期 ： ０ Ｉ １ — ５ ２ １—ｌ１ ； ２ １－２２
作 者 简 介 ： 倩 珊 （ ９ ２ ）女 ， 建 云 霄 人 ， 师 ， 事 数 学 教 育 和 方 １７ － ， 福 讲 从
Ａｙ
．
个 命题 不 真 的例子 在 数学 上称 为反 例．
现 行 高等 数学 教材 是 围绕 数学 知识 的理 论体 系
的建立 来展 开 的 ， 释 概念 、 解 阐明定 理 以及定 理 的使 用 大都 是从 正 面 陈述 的 ， 于 反例 的重 视 程 度 远 远 对
不够． 由于缺 乏反 例 的衬托 ， 学 习过程 中学 生对 数 在 学 概 念 内涵 和外延 理解 上 的 的偏差 或者 对数 学命 题 的条件 和结 论 认知 上 的 肤 浅 ， 将 成 为学 生 学 好 高 都
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高 等 数 学 研 究
但 函数 Ｄ（ ） ｚ 显然 在 （ 。 ＋。 ）内处处 间 断 ， 一 。， 。 因而 函数 Ｄ（ 在 任何 一 点都 不 可导． ）
例 ５ 设 有 函 数
文 献 标 识码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ 一 ３ ９ ２ １ ） ２０ ４ —５ ０ ８ ｉ ９ （ ０ ２ ０ —０ ７ ０ ［
中 图 分 类 号 Ｏ１ ２ Ｇ６ ２ ７ ； ４
教育 心 理学 认 为 ： 念 或规 则 的正 例传 递 了最 概
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１ 反 例 在 高 等 数 学 中 的 教 学 功 能
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第 １ ５卷 第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ１ １ Ｎ Ｏ． ． ５， ２ Ｍ ａ ．，２Ｏ１ ｒ ２
高 等 数 学 教 学 中的 反例
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收 稿 日期 ： Ｏ Ｏ Ｏ 一 ８ 修 改 日期 ： ０ Ｉ １ — ５ ２ １—ｌ１ ； ２ １－２２
作 者 简 介 ： 倩 珊 （ ９ ２ ）女 ， 建 云 霄 人 ， 师 ， 事 数 学 教 育 和 方 １７ － ， 福 讲 从
Ａｙ
．
个 命题 不 真 的例子 在 数学 上称 为反 例．
现 行 高等 数学 教材 是 围绕 数学 知识 的理 论体 系
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