经济数学基础讲义 第2章 导数与微分

第2章 导数与微分

2.1 极限概念

研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.

例2 讨论当+∞→x 时，x

1

的变化趋势.

例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下

定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但

0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为

A x f x x =→)(lim 0

或A x f →)( )(0x x →

若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限.

在理解极限定义时要注意两个细节：

1.0x x →时，（0x x ≠）

2.⎩

⎨

⎧→<→>→000

00)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）

例1 讨论2

x y =时, 2

2

lim x x →=？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.

由几何图形可以看出，当2→x 时，42

→=x y ，即2

2

lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限1

1

lim 21--→x x x

解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由

图形得到21

1

lim 21=--→x x x

2.1.3 左极限和右极限

考虑函数x y =，

依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0

无定义.

又如函数⎩

⎨

⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，

如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-

0）时，函数f x ()无

限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作

= L ；

如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无

限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作= R .

极限存在的充分必要条件：

极限)(lim 0

x f x

x →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x 处的左，右极限都存在且相等.即

例3 ⎩⎨⎧>≤=0

10)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.

11lim )(lim 0

0==++

→→x x x f ，0lim )(lim 0

==--→→x x f x x

可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量

0)(lim 0

=→x f x x 称当0x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.

补充内容：

无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：

变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即

)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y

无穷小量的有以下性质：

性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；

性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.

例如 因为+∞=+∞

→x

x 2lim ，所以，当+∞→x 时，x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：

定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则

)

(1

x f 是无穷大；反之，若)(x f 是无穷大，则

是无穷小.

例4 2

x y =，当0→x 时，?2→x

解： 由图形可知，当0→x 时，02→x ，当0→x 时，2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算

2.2.1 极限的四则运算法则

在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则

B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(，B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(

例1 求2

2

lim x x → 解：422)lim )(lim ()(lim lim 2

222

2=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求1

1

lim 21--→x x x

解：21)

1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x

例3 求x

x x x +-∞→2231lim

解：3

1)

13()11(lim 31lim

22222=+-

=+-∞→∞→x

x x x x x x x x 例4 求x

x x 1

1lim

-+→