解析几何与向量综合问题
化点为斜——几类经典解析几何综合问题的消参通法
化点为斜——几类经典解析几何综合问题的消参通法
范习昱;张海叶
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()7
【摘要】解析几何问题一般计算较为繁琐,究其根本原因是对参数的处理,而消参方法多样是困扰学生破解这类问题的主要因素.文章发现很多经典的解析几何综合问题都可利用一种通法消参,即“化点为斜”.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】范习昱;张海叶
【作者单位】镇江市丹徒高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.把“根”留住——含参数的零点问题的消参策略
2.从消参的角度探析一道解析几何题的简解
3.解决解析几何问题的法宝——消元法
4.解析几何中的减元消参基本策略
5.解析几何中“点参”和“线参”的选择策略
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高考数学破题36大招
目录目录 (1)第1关:极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关:参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关:数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关:绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关:三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关:求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关:参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关:均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关:不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关:圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关:排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关:几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关:直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关:利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关:函数中易混问题—11对 (76)第16关:三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关:由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关:类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关:函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关:求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关:求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关:解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关:数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关:导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关:三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关:概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关:抽象函数问题—分类解析 (153)第28关:三次函数专题—全解全析 (157)第29关:二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关:解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关:平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关:数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关:函数零点问题—求解策略 (194)第34关:求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关:高考数学选择题—解题策略 (202)第36关:高考数学填空题—解题策略 (211)第1关:极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式:即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值:对数平均值:那么上述平均值不等式可变为:对数平均值不等式,以下简单给出证明:不妨设,设,则原不等式变为:以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1:(2015长春四模题)已知函数有两个零点,则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点,且【答案】C【解析】函数导函数:有极值点,而极值,,A正确.有两个零点:,,即:①②①-②得:根据对数平均值不等式:,而,B正确,C错误而①+②得:,即D成立.题目2:(2011辽宁理)已知函数.若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:【解析】原题目有3问,其中第二问为第三问的解答提供帮助,现在我们利用不等式直接去证明第三问:设,,,则,①②①-②得:,化简得:③而根据对数平均值不等式:③等式代换到上述不等式④根据:(由③得出)∴④式变为:∵,∴,∴在函数单减区间中,即:题目3:(2010天津理)已知函数.如果,且.证明:.【解析】原题目有3问,其中第二问为第三问的解答提供帮助,现在我们利用不等式直接去证明第三问:设,则,,两边取对数①②①-②得:根据对数平均值不等式题目4:(2014江苏南通市二模)设函数,其图象与轴交于两点,且.证明:(为函数的导函数).【解析】根据题意:,移项取对数得:①②①-②得:,即:根据对数平均值不等式:,①+②得:根据均值不等式:∵函数在单调递减∴题目5:已知函数与直线交于两点. 求证:【解析】由,,可得:①,②①-②得:③①+②得:④根据对数平均值不等式利用③④式可得:由题于与交于不同两点,易得出则∴上式简化为:∴第2关:参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型.近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现.学生遇到这类问题,较难找到解题的切入点和突破口,下面介绍几种解决这类问题的策略和方法.一、确定“主元”思想常量与变量是相对的,一般地,可把已知范围的那个看作自变量,另一个看作常量.例1.对于满足0的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,求x的取值范围.分析:习惯上把x当作自变量,记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立,求x的范围.解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理,这是相当复杂的.若把x与p两个量互换一下角色,即p视为变量,x为常量,则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.解:设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,当x=1时显然不满足题意.由题设知当0时f(p)>0恒成立,∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0,解得x>3或x<-1.∴x的取值范围为x>3或x<-1.二、分离变量对于一些含参数的不等式问题,如果能够将不等式进行同解变形,将不等式中的变量和参数进行分离,即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
解析几何综合问题(1)(把几何关系转化为代数关系)
解析几何综合问题引例:已知)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(2F ,离心率为e ; (1)若e=23,求椭圆的方程; (2)设直线kx y=与椭圆相交于A 、B 两点,M 、N 分别为线段AF 2,BF 2的中点,若坐标原点O 在以直线MN 为直径的圆上,且2322≤<e ,求k 的取值范围例1:椭圆C :1422=+y x ,过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于两点E 、F ,根据以下条件,尝试把几何关系转化为代数关系:(1)设B (0,41-),若BE=BF ,求直线l 的斜率;(2)A 是椭圆的右顶点,且∠EAF 的角平分线是x 轴,求直线l 的方程;(3)以线段OE 、OF 为邻边作平行四边形OEFP ,其中顶点P 在椭圆C 上,O 为坐标原点,求O 到直线l 距离最小值;(4)若以EF 为直径的圆过原点,求直线l 的斜率;(5)点M 为直线y=21x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行于OM 的直线l ,交椭圆于A 、B 两点,求证:直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。
例2:设椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且2221=+Q F F F ,若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l :033=--y x 相切,过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G 、H 两点,(点G 在M 、H 之间)(1)求椭圆方程;(2)设直线l 1的斜率k>0,在x 轴上是否存在点P (m ,0),使得PG 、PH 为邻边的平行四边形是菱形,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,请说明理由。
小结:(1)借助几何直观,把几何条件准确代数化,尽量减少变量个数;(2)明确算理,注意量与量的关系;(3)要有坚强的毅力,只要目标明确,坚持比方法重要。
解析几何综合问题解法揭秘(上)
l l / 一是 )2 ) / 5 。 /5 1 —1 k > ̄2 +k .
所以, k 当 <0时 , M 1 一6 O 总 在 圆 C 外 . 点 ( ,)
② 若 是 0 则 圆心 A 在 y轴 的左 侧 或 在 y 轴 ≥ , 上 , 时, 此 圆心 A 与椭 圆 G 的右 顶点 M 6 O 的距 离 ( ,)
在 坐标原 点 , 轴在 z轴 上 , 长 离心率 为 , 2个焦 点分
别为 F 和 F , 圆 G上 一点 到 F 。椭 和 F 的距离 之 和
为 1 .圆 C : Y + 2 z 4 2 — 0 ( ∈ R) 圆 2 X + 一 一 1 是 的 心 为点 A .
( )求椭 圆 C的方程 ; 1
由此 即 可 解 得 一 再 根据 椭 圆 中 n b c的 、、 l一3 3 c f . 关 系 即可 求 出 b 一n 一c一9 于是 不难得 到所 求椭 圆 。 .
( )过 椭 圆 C的右 焦 点 F 作 直 线 l 椭 圆 C 于 2 交
( )根据 已知条 件 , 以确 定 所 求 的椭 圆是 1 可 焦 点 在 z轴 上 的标准 型 因此 只需 求 出 和
.
b的值 即可 .
注意到抛物线 y 一÷z 的焦点坐标是( ,)故 0 1,
6. 所 的 心 , √ 一 从 —结 给 离率 得 竽, 1合 易 而
口 =5 因此椭 圆 C的方程为山 十 一1 。 . - .
A、 B 2点 , Y轴 于 M 点 , MA— AF,MB— 交 若
2
G 的方程 为i 十 2 丽 z —1
.
BF, 证 + 为定值 . 求
析
第 ( ) 是 求 △A F F 2问 的 面 积. 里 , 角 形 的 这 三 底 边长 l 即为椭 圆的焦距 , 三角 形 的高 就是 圆 FF l 而 C 的圆心 A 的 纵 坐 标 的 绝 对 值. 意 到 圆 C 注 的方 程 是 ( +志 一2 5 故 圆心 为 A 一k z ) +( ) 一2 +k , ( , 2 , 而三 角形 的高 为 2 易 得椭 圆 的 焦 距 I 一 )从 。 F I F 2 一6 3, 以 c √ 所
3.4.2 解析几何综合问题(课时练习)-2016届高三数学(理)三轮复习(解析版)
解析几何综合问题(理)1.(北京市石景山区2015届高三3月统一测试(一模)理19)已知椭圆C:22221(0) x ya ba b+=>>离心率e=.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ) 如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.【答案】(Ⅰ)22142x y+=.(Ⅱ)以MN为直径的圆过定点(F.证明见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)由短轴长为,得b=cea===,得224,2a b==.(Ⅱ)设00(,)P x y,00(,)Q x y--,则有220024x y+=,从而直线PA方程0(2)2yy xx=++,得到02(0,)2yMx+,由直线QA方程0(2)2yy xx=+-,得到02(0,)2yNx-,以MN为直径的圆22200022004444x y yx y yx x+-+=--,根据220042x y-=-,得到220220xx y yy++-=,令0y=,解得x=即知以MN为直径的圆过定点(F.试题解析:(Ⅰ)由短轴长为,得b = ………………1分由c e a ===224,2a b ==.∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ………………4分(Ⅱ)以MN为直径的圆过定点(F . ………………5分证明如下:设00(,)P x y ,则00(,)Q x y --,且2200142x y +=,即22024x y +=, ∵(2,0)A -,∴直线PA 方程为:00(2)2y y x x =++,∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为:00(2)2y y x x =+-,∴002(0,)2y N x -, ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-,204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--, ∵220042x y -=-,∴22220x x y y y ++-=, ………………12分 令0y =,则220x -=,解得x =.∴以MN为直径的圆过定点(F . …………14分 考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.圆的方程. 2.(北京市延庆县2015届高三3月模拟理19)已知椭圆G错误!未找到引用源。
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,若x 轴上的一点E 满足AE BE =,试求出点E 的横坐标的取值范围.【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题 【答案】(1)22198x y ;(2)220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】(1)由已知可求得a 、c 的值,可求得b 的值,由此可得出椭圆C 的标准方程;(2)设点设()11,A x y 、()22,B x y ,将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,列出韦达定理,求出线段AB 的中点G 的坐标,由题意可知EG AB ⊥,可得1EG k k=-,可得出m 关于k 的表达式,分0k <、0k >两种情况讨论,结合基本不等式可求得m 的取值范围.(1)解:由已知得1322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以,1c =,3a =,2228b a c =-=,因此,椭圆C 的方程为22198x y .(2)解:根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+,设()11,A x y 、()22,B x y , 线段AB 的中点为()00,G x y ,设点(),0E m ,使得AE BE =,则EG AB ⊥.联立222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=,()()22223614498288940k k k ∆=++=+>,由韦达定理可得1223698k x x k +=-+,所以,021898k x k -=+,00216298y kx k =+=+, 因为EG AB ⊥,所以,1EGk k =-,即221601981898k k k m k -+=---+, 则2228989k m k k k--==++,当0k >时,89298122k k +≥⨯=22k =20m ≤<; 当0k <时,()()8889929122k k k k k k⎡⎤+=--+≤--⋅-⎢⎥--⎣⎦ 当且仅当22k =20m <≤综上所述,点E 的横坐标的取值范围为220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C :()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等,且C 经过抛物线()212y x =- (1)求C 的方程;(2)若直线y kx m =+与C 相交于A ,B 两点,且A ,B 关于直线l :10x ty ++=对称,O 为C 的对称中心,且AOB 10k 的值. 【答案】(1)22142y x +=;(2)3k = 【解析】(1)由题意:()212y x =-(2,焦距为22故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得:24a =,22b =,所以C 的方程为:22142y x +=; (2)因为直线y kx m =+与C 相交于A ,B 两点,且A ,B 关于直线l :10x ty ++=对称,故直线l 垂直AB ,所以k t =,联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB的中点为()00,P x y ,则()228240k m∆=+->,022km xk =-+,00222my kx m k =+=+,因为()00,P x y 在直线l :10x ky ++=上,所以2221022km km k k -++=++,即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭,即:22k >,()()()2222222212122k k AB k k k k +-∆=+=++,O 到直线AB 的距离()222211m d k k k ==++,()2241102AOBk SAB d -===,解得:23k =,3k =类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为22,1C 的长轴是圆2C :222x y +=的直径.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,其中1l 交椭圆1C 于P ,Q 两点,2l 交圆2C 于M ,N 两点,求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【答案】(1)2212x y +=;(2)2.【解析】(1)由222a =,得2a =由2c e a ==,得1c =,所以1b =.所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)由(1)可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l 的斜率不存在时,22MN =2PQ =这时11222222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时,2MN =,22PQ =, 这时112222222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时,设直线1l 的方程为1x my =-,()11,P x y ,()22,Q x y .由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m +=+,12212y y m -=+. 所以())222212121222211142m m y m y y y y m PQ +=+-=++-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=,坐标原点O 到2l 的距离21d mm =+所以2222222211m m MN m m +=-=++22211122221222PMQN m S MN PQ m m +===-++由222m +>,得2122122m->+,即(2,22PMQN S ∈. 综上所述,四边形PMQN 的面积的最小值为2.【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>,离心率6e .直线:1l x my =+与x 轴交于点A ,与椭圆C 相交于,E F 两点.自点,E F 分别向直线3x =作垂线,垂足分别为11,E F .(Ⅰ)求椭圆C 的方程及焦点坐标;(Ⅱ)记1AEE ,11AE F ,1AFF 的面积分别为1S ,2S ,3S ,试证明1322S S S 为定值.【答案】(Ⅰ)椭圆C 的方程为2213x y +=,焦点坐标为(2,0)±;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意可知1b =,又63c e a ==,即22123a a -=.解得23a =.即3a =. 所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=,焦点坐标为(2,0)±.(Ⅱ)由221330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=,显然m R ∈. 设()11,E x y ,()22,F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++,()113,E y ,()123,F y ,因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+, 又因为22221212121[2]()42S y y y y y y =⨯-=+-()22224833m m m =+++()222248243m m m ++=+()22212243m m +=+.所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. 类型三 面积问题典例3如图,已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=,斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点,且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上.(1)求点P 的纵坐标的取值范围;(2)设D 是抛物线2Γ上一点,且位于椭圆1Γ的左上方,求点D 的横坐标的取值范围,使得PCD 的面积存在最大值.【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题 【答案】(1)3,22⎛⎫⎪⎝⎭;(2)323,2⎛-- ⎝⎭. 【解析】(1)设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>,则()0,P b ,将直线l 的方程与椭圆的方程联立,可求得点C 的坐标,将点C 的坐标代入抛物线的方程,可得出()223214k b k +=,结合0∆>可得出2k 的取值范围,进而可求得b 的取值范围,即可得解;(2)设点()23,3D t t ,计算得出PCD 的面积239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭,令1u k =,记()()32424f u u t u t =-+--,则60u <()f u ',分析可知函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点,且为极大值点,结合已知条件可得出关于t 的不等式组,解出t 的取值范围,即可得出点D 的横坐标的取值范围.(1)解:由题意可设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>,则()0,P b ,联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214220k x kbx b +++-=, ()()()2222221682118210k b k b k b ∆=-+-=+->,可得2221b k <+,① 设点()11,A x y 、()22,B x y ,由韦达定理可得122421kb x x k +=-+,21222221b x x k -=+,设点()00,C x y ,则12022221x x kb x k +==-+,00221by kx b k =+=+, 将点C 的坐标代入抛物线2Γ的方程得224630k b k --=,则()223214k b k+=,代入①可得()22249212116k k k +<+,可得42161890k k -->,解得232k >, 因此()222321333,24242k b k k +⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭. 因此,点P 的纵坐标的取值范围是3,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解:设点()23,3D t t,则点D 到直线l 的距离为22223311tk t bd k k -+==++,221kb k PC +=PCD 的面积()22331221kb t tk b S PC d k --=⋅=+,② 将()223214k b k +=代入②得239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭, 令1u k =,记()()32424f u u t u t =-+--,则60u <()22342f u u t '=-+-, 因为()f u '在6⎛ ⎝⎭上单调递减,所以,函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点,且为极大值点,所以,()2204206440f t f t ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎭'⎝⎩',可得2112t <<,③ 因为点D 在椭圆1Γ的左上方,则2409182t t t <⎧⎨+>⎩,④ 由③④可得21t -<<D 的横坐标的取值范围是323,⎛- ⎝⎭. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.【举一反三】已知椭圆C :22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l :x =4的距离为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ,E ,G ,直线GF 与右准线l 相交于点H .记AEGF ,ADGH 的面积分别为S 1,S 2,求12S S 的值.【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题 【答案】(1)22184x y +=;(2)12 【解析】(1)根据已知条件求得,,a b c ,由此求得椭圆C 的方程.(2)结合根与系数关系求得D 点坐标,进而求得,,E G H 点坐标,利用“中点”求得面积比.(1)依题意2222242a c a c ca b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得22,2a b c ===,所以椭圆方程为22184x y +=. (2)右焦点()2,0F .直线():0m y kx t t =+≠,由于线段AB 的垂直平分线与,x y 轴都相交,所以0k ≠,由22184y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124280k x ktx t +++-=,设()()1122,,,A x y B x y , 则()1212122242,21212kt tx x y y k x x t k k -+=+=++=++, 所以222,1212ktt D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.线段AB 的垂直平分线的方程为22121212t kt y x k k k ⎛⎫-=-⋅+ ⎪++⎝⎭,令0y =,解得22,01212E kt kt x E k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭, 令0x =,解得220,1212G t t y G k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭. 所以,D G 关于E 点对称,所以DE EG =, 所以ADEAEGSS=.直线GF 的方程为()20120220tk y x --+-=--,令4x =,解得224,1212H t t y H k k ⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭, 所以,G H 关于F 对称,所以GF FH =, 所以AGFAFHSS=.结合图象可知:1212S S =.【点睛】本题求四边形AEGF 和四边形ADGH 的面积比,常规的方法是借助弦长公式和点到直线距离来求面积,但本题用这个方法很难.在解题的过程中,求出,,,,D E G F H 的坐标后,要注意观察坐标间的对称性,结合对称性来求面积比,将问题求解大大简化.类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C :()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P .(1)求C 的方程;(2)若A ,B 是C 上两点,直线AB 与曲线222x y +=相切,求AB 的取值范围. 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【答案】(1)22163x y +=;(2)22,3⎡⎤⎣⎦ 【解析】(1)根据已知条件求得,,a b c ,由此求得椭圆C 的方程.(2)对直线AB 的斜率分成不存在,0k =,0k ≠三种情况进行分类讨论,结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.(1)依题意22222224116,3c aa b c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(2)圆222x y +=的圆心为()0,0,半径2r =当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为2x 2x = 2222163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163x y x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率为0时,直线AB 的方程为2y 2y =-2222163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163y x x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率0k ≠时,设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=, 由于直线AB 和圆222x y +=()2222211b b k k =++.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=, ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+- ()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++, 所以()2222212122242614141212kb b AB k x x x x k k k --⎛⎫=++-=+-⋅ ⎪++⎝⎭()2422224242232845112222144144112k k k k k k k k k k ++++++++++2212122144k k=+>++另一方面,由于22221144448k k k k +⋅+≥=,当且仅当222114,2k k k ==时等号成立. 所以2211212131844k k++=++,即223AB ≤. 综上所述,AB 的取值范围是22,3⎡⎤⎣⎦.【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ,过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆内一点P (0,t ),斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点,设直线OM ,ON (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1,k 2,若对任意k ,存在实数λ,使得12k k k λ+=,求实数λ的取值范围. 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题【答案】(1)22142x y +=;(2)[2,)+∞. 【解析】(1)椭圆2222:1(0) x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ,则2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,22221c y a b ∴+=,解得2b y a =±,222b a∴=,即2b a =,∴2222a b c a =+=+, 解得2a =,∴椭圆的方程为22142x y +=,(2)设直线l 的方程为y kx t =+.由221? 42x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消元可得()222214240k x ktx t +++-=, 设()()1122,,,M x y N x y ,则122421kt x x k -+=+,21222421t x x k -=+, 而121212*********y y kx t kx tk k k t x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++ ⎪⎝⎭1222124422242x x kt kk t k t x x t t +--=+⋅=+⋅=--, 由12k k k λ+=,242kk t λ-=-, 因为此等式对任意的k 都成立,所以242t λ-=-,即242t λ=-. 由题意得点(0,)P t 在椭圆内,故202t ≤<,即4022λ≤-<,解得2λ≥,故实数λ的取值范围为[2,)+∞.典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形,点(10,1)P 是椭圆C 上一点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点,由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线,分别交椭圆C 于点P ,Q ,若直线,OP OQ 的斜率均存在,并分别记为12,k k ,求证:12k k ⋅为定值. 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学(理)试题 【答案】(1)22:1126x y C +=;(2)证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质得出b c =,再将(10,1)P 代入椭圆方程,结合222a b c =+得出椭圆C 的标准方程;(2)设直线1:OP y x k =,直线2:OQ y k x =,根据距离公式得出12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根,由韦达定理结合点(,)R s t 在椭圆上,得出12k k ⋅为定值.(1)解:由已知有222222,(10)11,,b c b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22212,6,6,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22:1126x y C +=.(2)证明:设直线1:OP y x k =,直线2:OQ y k x = 又直线OP 为圆R 12121k s t k -=+,化简可得()222114240s k stk t --+-=,同理可得()222224240s k stk t --+-=,∴12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根,由()240,0s -≠∆>,可知212244t k k s -⋅=-, 又(,)R s t 在椭圆上,即22162t s =-,∴22122212412442s t k k s s --⋅===---,∴12k k ⋅为定值12-. 【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,M ⎭,242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程:(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点,点P 为圆224x y +=上的动点(P 不在坐标轴上),P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点,直线EF 交x 轴于H 点,请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学(理)试题【答案】(1)22143x y +=(2)点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值,定值为4 【解析】(1)将两点代入椭圆方程解方程求出,a b 的值,确定椭圆方程(2)设P A 与PB 直线与椭圆联立,求出E 、F 两点的坐标表达式,写出直线EF 方程,求出与x 轴的交点H 点的坐标,联立两条直线求出P 点的坐标,计算乘积判断是否为定值(1)将,M N 点坐标代入椭圆方程得:222233141421216a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,解得:2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩ ,所以椭圆方程为22143x y +=(2)根据圆方程为224x y +=可知,AB 为圆的直径,点P 在圆上,所以PA PB ⊥,设直线PA 方程为:()2,0y k x k =+≠,联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得:()2222341616120k x k x k +++-=,所以221612234A E E k x x x k -⋅=-=+,所以228634E k x k -+=+,代入直线得:21234E k y k =+;同理设直线PB 方程为:()12y x k =--,联立()2212143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222416163120x x k k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,则22221612161224343B F F k k x x x k k--⋅===++, 所以228643F k x k -=+,21243Fk y k =+, 所以2337E F EFE F y y k k x x k --==- ,直线EF 的方程为:222212338634734k k k y x k k k ⎛⎫--+-=- ⎪++⎝⎭,令0y =得:()()()()222222222234661278666343334333433H k k k k k k x k k k k k k -++-++=-⋅+==+-+-+-, 联立直线PA ,PB ()()212y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩得:22221P k x k -=+,所以222222664133P H k k x x k k -+⋅=⋅=+-,所以点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值,定值为4【精选名校模拟】1.已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A .(Ⅰ)求椭圆C 的方程及A 点坐标;(Ⅱ)设直线l 与x 轴交于点B .过点B 的直线与C 交于E ,F 两点,记点A 在x 轴上的投影为G ,T 为BG 的中点,直线AE ,AF 与x 轴分别交于M ,N 两点.试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值,求出此定值;否则,请说明理由.【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题【答案】(1)2231,1,432x y A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭;(2)||||TM TN ⋅为定值94 【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,则12c a =,则224a c =,22223b a c c =-=, 所以椭圆C 的方程为:2222143x y c c+=,将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得:222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=,解得:21c =,所以24a =,23b =,故椭圆C 的方程为22143x y +=,此时将21c =代入222430x x c -+-=得:2210x x -+=, 所以1x =,此时32y =。
【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型
平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知:1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为:1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式.5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题. 【例题解析】1. 向量的概念,向量的基本运算(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1(北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A . 例2.(安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示)命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12AM a b =+,所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3.(广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=( ) (A )BA BC 21+- (B ) 21--(C ) 21- (D )21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:21+-=+=,故选A.例4. (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (C )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 (D )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5.(天津卷)设向量a 与b 的夹角为θ,且)3,3(=a,)1,1(2-=-a b ,则=θcos __. 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.(2006年湖北卷)已知向量()3,1a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3a b ⋅=,则b = ()(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 (C )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 (D ) ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ,满足2i i b a =,且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向,其中1,2,3i =,则( )(A )1230b b b -++= (B )1230b b b -+= (C )1230b b b +-= (D )1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法:∵1230a a a ++=,∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3),分别按顺时针旋转30 后与i b 重合,故1230b b b ++=,应选D.巧妙解法:令1a =0,则2a =3a -,由题意知2b =3b -,从而排除B ,C ,同理排除A ,故选(D). 点评:巧妙解法巧在取1a =0,使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合能力较强,所以复习时,通过解题过程,力争达到既回顾知识要点,又感悟思维方法的双重效果,解题要点是运用向量知识,将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大. 例8.(2007年陕西卷理17.)设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π,(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解:(Ⅰ)()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++,由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1m =.(Ⅱ)由(Ⅰ)得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭,∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()f x 的最小值为1,由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z , 例2.(2007年陕西卷文17)设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.(Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数)(x f 的最小值.解:(Ⅰ)()(1sin )cos f x m x x ==++a b ,πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1m =.(Ⅱ)由(Ⅰ)得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()f x 的最小值为1例9.(湖北卷理16)已知ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解:(Ⅰ)设ABC △中角A B C ,,的对边分别为a b c ,,, 则由1sin 32bc θ=,0cos 6bc θ≤≤,可得0cot 1θ≤≤,ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴.(Ⅱ)2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∵,ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,,π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤.即当5π12θ=时,max ()3f θ=;当π4θ=时,min ()2f θ=. 例10.(广东卷理)已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1)若c=5,求sin ∠A 的值;(2)若∠A 为钝角,求c 的取值范围; 解:(1)(3,4)AB =--,(3,4)AC c =--,若c=5, 则(2,4)AC =-,∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ; (2)∠A 为钝角,则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >,∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11.(山东卷文17)在ABC △中,角A B C ,,的对边分别为tan a b c C =,,,(1)求cos C ;(2)若52CB CA =,且9a b +=,求c .解:(1)sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±. tan 0C >,C ∴是锐角. 1cos 8C ∴=. (2)52CB CA =, 5cos 2ab C ∴=,20ab ∴=. 又9a b += 22281a ab b ∴++=. 2241a b ∴+=.2222cos 36c a b ab C ∴=+-=.6c ∴=.例12. (湖北卷)设函数()()f x a b c =⋅+,其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.(Ⅰ)求函数()x f 的最大值和最小正周期;(Ⅱ)将函数()x f y =的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a ·(b c +)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx -3cosx)=sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x -sin2x =2+2sin(2x+43π).所以,f(x)的最大值为2+2,最小正周期是22π=π.(Ⅱ)由sin(2x+43π)=0得2x+43π=k.π,即x =832ππ-k ,k ∈Z ,于是d =(832ππ-k ,-2),(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数,要使d 最小,则只有k =1,此时d =(―8π,―2)即为所求.例13.(2006年全国卷II )已知向量a =(sin θ,1),b =(1,cos θ),-π2<θ<π2.(Ⅰ)若a ⊥b ,求θ;(Ⅱ)求|a +b |的最大值. 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力.解:(Ⅰ)若a ⊥b ,则sin θ+cos θ=0,由此得 tan θ=-1(-π2<θ<π2),所以 θ=-π4;(Ⅱ)由a =(sin θ,1),b =(1,cos θ)得|a +b |=(sin θ+1)2+(1+cos θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+22sin(θ+π4),当sin(θ+π4)=1时,|a +b |取得最大值,即当θ=π4时,|a +b |最大值为2+1.例14.(2006年陕西卷)如图,三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈(I )求动直线DE 斜率的变化范围; (II )求动点M 的轨迹方程。
平面向量与解析几何综合应用问题汇总
平面向量与解析几何综合应用问题汇总由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。
而解析几何也具有数形结合与转换的特征,所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题,已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。
近几年全国各地的高考试题中,向量与解析结合的综合问题时有出现。
但从最近教学情况来看,学生对这一类问题的掌握不到位,在试卷上经常出现进退两难的境地,因此,就这一问题做一归纳总结和反思。
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题。
主要包括以下三种题型:1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。
例1. (全国卷Ⅰ))已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OA OB +与(3,1)a =-共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈,证明22μλ+为定值。
解:设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+by a x ,化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A (11,y x ),B 22,(y x ),则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+,所以36.32222ab ac b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e (II )证明:(1)知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设(,)OM x y =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由(1)知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ .0329233)(34))((33832222212121212121222222221=+-=++-=--+=+=+-=c c c c c x x x x c x c x x x y y x x c ba b a c a x x又222222212133,33b y x b y x =+=+,代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值,定值为1. 例2(天津卷)椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为22,相应于焦点F (c, 0)(c >0)的准线l 与x 轴相交于点A,.2FA OF = 过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
高考数学平面向量及其综合运用 人教版
高考数学平面向量及其综合运用 人教版复习要点:Ⅰ、平面向量知识结构表Ⅱ、内容概述1、向量的概念向量有三种表示法:①有向线段,②a 或AB ,③坐标a =(x , y )。
注意:共线向量与相等向量的联系与区别。
2、向量的运算加法、减法、数乘向量和向量的数量积。
如:11221212(,)(,)a b x y x y x x y y =⋅=+注意:几何运算与坐标运算 3、平面向量的定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件: a ∥b ⇔ a =λb (λ∈R)设a =(x1,y1),b = (x2,y2) 则a ∥b ⇔ x1y2-x2y1=0(2)两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥b ⇔ a·b =0 设a =(x1,y1),b =(x2,y2)则a ⊥b ⇔ x1·x2+y1·y2=0(3)平面向量基本定理:如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使 a =λ1e1+λ2e2.(4)三点共线定理:平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是:存在实数α、β,使OC OB OA βα+=,其中α+β=1,O 为平面内的任一点。
4、 常用公式及结论a 、向量模的公式:设a =(x,y ),则︱a ︱=22y x +b 、两点间的距离公式:21P P =212212)()(y y x x -+- [P1(x1,y1),P2(x2,y2)]c 、线段的定比分点坐标公式:向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件定比分点公式平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用d 、中点坐标公式: 或)(21OB OA OM +=其中M (x0 ,y0)是线段AB 中点。
e 、两向量的夹角公式:cos θ=222221212121y x y x y y x x ba ba +⋅++=⋅⋅其中0°≤θ≤180°,a=(x1,y1),b =(x2,y2)f 、图形平移公式:若点P(x,y)按向量a =(h,k)平移至P '(x ',y '), 则g 、有关向量模的常用结论: ① aa a ⋅=2② 22222bb a a )b a (b a +⋅±=±=± ③ba b a ≤⋅,a b a b a b-≤±≤+④222||||2||2||a b a b a b ++-=+ 范例及其点评(一)平面向量学科内综合运用深刻理解平面向量的相关概念与性质,熟练掌握向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
高考数学专题复习讲练测——专题直线与次曲线专题复习讲练解析几何的综合问题
§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合.重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用.难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化,沟通它们之间的联系.2在本节的复习中,应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用.解答解析几何综合问题,应根据曲线的几何特征,熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、函数等),再结合代数、三角知识解答.要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用.3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一,它融解析几何知识与函数等知识为一体,综合性强.解答此类问题一般有两种方法:①代数法.即就是建立目标函数,转化为求函数的最值问题.根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值.要特别注意自变量的取值范围.②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑用图形性质简捷求解.4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力,因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点,常作为高考数学的把关题.二、例题讲解例1 如图8-18,抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.图8-18(1)求证:直线与抛物线总有两个交点;(2)设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,求p关于m的函数f(m)的表达式;(3)在(2)的条件下,若m变化,使得原点O到直线QR的距离不大于(/2),求p的取值范围.讲解:(1)欲证直线与抛物线总有两个交点,须证对满足题设条件的m、p的值,直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解.由y2=p(x+1),消去y,得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0,x+y=m,Δ=p(4m+p+4).Δ的表达式中含有两个参数p、m,欲知它大于0是否成立,须寻找它们之间的联系.∵抛物线的准线方程是x=-1-(p/4),直线与x轴的交点是(m,0),据题意m>-1-(p/4),即4m+p+4>0.又已知p>0,∴Δ>0成立.故直线与抛物线总有两个交点.(2)若设Q、R点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由(1)的证明知x1、x2是方程x2-(2m+p)x+(m2-p)=0的两个根,则有x1+x2=2m+p,x1x2=m2-p.欲求p与m的函数关系p=f(m),须寻求x1+x2,x1x2与m或p的关系,这可由题设条件Q、R在直线x+y=m上及OQ⊥OR得到.∵OQ⊥OR,∴x1x2+y1y2=0.又∵Q、R均在直线x+y=m上,∴y1y2=(-x1+m)(-x2+m)=x1x2-(x1+x2)m+m2,∴2x1x2-m(x1+x2)+m2=0,∴2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0.解得p=m2/(m+2).由p>0,得m>-2且m≠0.4m+4+p>0,故p关于m的函数f(m)=m2/(m+2)(m>-2且m≠0).(3)由(2)知p=f(m)=m2/(m+2)(m>-2且m≠0),求p的取值范围,即就是求函数f(m)在由给定条件所确定的定义域内的值域.故须从定义域入手.解法1.由题设条件有(|0+0-m|)/≤(/2),∴|m|≤1.又由(2)知m>-2且m≠0,∴m∈[-1,0)∪(0,1].当m∈[-1,0)时,根据函数单调性的定义,可证f(m)在[-1,0)上为减函数,∴当m∈[-1,0)时,f(0)<f(m)<f(-1),即p∈(0,1];当m∈(0,1]时,可证f(m)为增函数,从而p∈(0,(1/33)3〗].解法2.同解法1,得m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知p=f(m)=m2/(m+2)=(1/(1/m)+(2/m2)).设t=(1/m),g(t)=t+2t2,t∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又g(t)=2(t+(1/4))2-(1/8),∴当t∈(-∞,-1]时,g(t)为减函数,∴g(t)∈[1,+∞);当t∈[1,+∞)时,g(t)为增函数,∴g(t)∈[3,+∞).∵p=f(m)=(1/g(t)),故当m∈[-1,0)时,p∈(0,1];当m∈(0,1]时,p∈(0,(1/3)].本题是解析几何与函数、不等式的综合题.在(2)中,求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定;在(3)中,解法1须证明函数f(m)在各区间上的单调性;解法2通过换元,将问题转化为二次函数的问题,利用二次函数的单调性求解,较解法1简捷.例2 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n-1)b(n∈N,a,b是常数,且b≠0).(1)证明以(an,(Sn/n)-1)为坐标的点Pn(n∈N)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程;(2)设a=1,b=(1/2),C是以(r,r)为圆心、r为半径的圆(r>0),求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时,r的取值范围.讲解:(1)因P1(a,a-1)为定点,欲证Pn(n∈N)共线,只须证kP1Pn为定值即可.由Sn=na+n(n-1)b,得an=2bn+a-2b,则kP1Pn=(((Sn/n)-1)-((S1/1)-1)/an-a1)=((n-1)b/2(n-1)b)=(1/2).故所有的点Pn(an,(Sn/n)-1)(n∈N)都落在经过点P1(a,a-1)且斜率为(1/2)的直线x-2y+a-2=0上.(2)根据点与圆的位置关系建立r的不等式组求解.当a=1,b=(1/2)时,Pn的坐标为(n,(n-1/2)),使P1(1,0),P2(2,(1/2)),P3(3,1)都落在圆(x-r)2+(y-r)2=r2外的条件是(r-1)2+r2>r2,(r-2)2+(r-(1/2))2>r2,(r-3)2+(r-1)2>r2.解得0<r<1或1<r<(5/2)-或r>4+.这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题.例3已知椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,P为椭圆上任一点.使∠F1PF2=2θ,试证:(1)|PF1|·|PF2|=b2sec2θ;(2)△F1PF2的面积S=b2tgθ;(3)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则tg(α/2)·tg(β/2)=(1-e)/(1+e).讲解:我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路.(1)由于|PF1|+|PF2|=2a,要出现|PF1|·|PF2|,平方得|PF1|2+2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a2.①再联系结论,在△F1PF2中,由余弦定理知(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos2θ.②要消掉|PF1|2、|PF2|2,用①、②两式相减,得2|PF1|·|PF2|(1-cos2θ)=4a2-4c2=4b2.于是不难得到|PF1|·|PF2|=b2sec2θ.(2)由(1),S=(1/2)|PF1|·|PF2|sin2θ=(1/2)b2sec2θ·sin2θ=b2tgθ.(3)对结论进行结构分析.∵tg(α/2)·tg(β/2)=(1-e)/(1+e)e=cos[(α+β)/2]/cos[(α-β)/2](c/a)=[cos(α+β)/2]/[cos(α-β)/2)],于是只需对△F1PF2用正弦定理:(|PF1|/sinβ)=(|PF2|/sinα)=|F1F2|/(sin(α+β)).再由等比定理知2c/[sin(α+β)]=(|PF1|+|PF2|)/(sinα+sinβ)=2a/(sinα+sinβ).∴(c/a)=sin(α+β)/(sinα+sinβ)=[cos(α+β)/2]/[cos(α-β)/2].结论得证.数学是结构的科学,结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法,尤其是对一些较复杂的数学问题,只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径,问题便不难解决.本题是解析几何与三角知识的综合问题.此外,请同学们关注该题结论的应用价值.例4 已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=(20/3),椭圆C2的方程为(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0),C2的离心率为(/2).如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰好为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.讲解:此题可先求直线AB的方程.一方面AB是圆的直径,只需待定出其斜率k,另一方面AB又是椭圆的弦,所以要求其斜率,可用差分法.设A(x1,y1)、B(x2,y2).∵线段AB为C1的直径,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又由e=(/2),∴(c/a)=(/2),∴a2=2c2,b2=c2.于是椭圆方程为(x2/2b2)+(y2/b2)=1.而A、B又在C2上,∴(x12/2b2)+(y12/b2)=1,(x22/2b2)+(y22/b2)=1.两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.∴(y1-y2)/(x1-x2)=-1,∴直线AB的方程为y=-x+3.以下待定b2,求椭圆方程.由y=-x+3,(x2/2b2)+(y2/b2)=1,知3x2-12x+18-2b2=0.由Δ>0,易知b2>3.又由|AB|=|x1-x2|=2,可得b2=8.∴C2的方程为(x2/16)+(y2/8)=1.这是一道解析几何的综合问题,它涉及到直线、圆及椭圆等知识点.该题的关键是要抓住相交弦的二重性:一方面线段AB为圆的直径,另一方面线段AB又是椭圆C2的弦.三、专题训练1若抛物线y2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列,则这三点的焦半径的关系是().A.成等差数列B.成等比数列C.既成等差数列,也成等比数列D.以上结论都不对2.抛物线y2=2px(p>0)在顶点张直角的弦必过定点().A.(2p,0)B.(p,0)C.((p/2),0)D.以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率是().A.(1/4)B.(1/2)C./3D./24.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,椭圆长轴的最小值是().A.(/2)B.C.2D.25.从点P(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,切线长度的最小值为______________.6.椭圆(x2/9)+(y2/4)=1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是______________.7在双曲线(y2/12)-(x2/13)=1的一支上有不同的三点A(x1,y1)、B(,6)、C(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列,那么y1+y2的值是______________.8已知直线l与椭圆3x2+y2=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1,求当弦长|AB|取得最大值时直线l的方程.9已知抛物线的方程为y=-(1/2)x2+m,点A、B及P(2,4)均在抛物线上,且直线PA、PB的倾斜角互补.(1)求证:直线AB的斜率为定值;(2)当直线AB在y轴上截距为正时,求△PAB面积的最大值.10.如图8-19所示,A、F分别是椭圆的一个顶点与一个焦点,位于x轴的正半轴上的点T(t,0)与F的连线交射线OA于Q.图8-19(1)求点A、F的坐标及直线TQ的方程;(2)求△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f(t)及该函数的最小值;(3)写出S=f(t)的单调区间,并证明之.。
高三数学向量知识点归纳与常见题型总结
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳1.与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量,数量是只有大小的量(称标量),而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小.记号“>”错了,而||>||才有意义.⑵有些向量与起点有关,有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(大小和方向),故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时,可平移向量. ⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量,既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量,其坐标表示为(,),其中x 、y 满足 +2x 2y =1(可用(cos θ,sin θ)(0≤θ≤2π)表示).特别:||ABAB →→表示与AB →同向的单位向量。
例如:向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);例1、O 是平面上一个定点,A 、B 、C 不共线,P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。
(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)⑸的长度为0,是有方向的,并且方向是任意的,实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段.(7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是-a 。
)2.与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加,其和仍是一个向量.(三角形法则和平行四边形法则) ①当两个向量和不共线时,+的方向与、都不相同,且|+|<||+||; ②当两个向量和共线且同向时,+、、的方向都相同,且=+||||||+; ③当向量和反向时,若||>||,+与 方向相同 ,且|+|=||-||; 若||<||时,+与 方向相同,且|+|=||-||.⑵向量与向量相减,其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和;平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标: 一)向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二)考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点:(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述:常见的向量法解决简单的平面几何问题: 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离(长度)问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用:已知ABC D 中,(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为(1,1),AD =(-1,2). 【答案】AD =(-1,2)【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =u u u r u u u r,则顶点D 的坐标为 ( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ , 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1,点D E 、分别为AB BC 、的中点,求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r (1,),(,1),cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用:已知向量3(sin ,)4a x =r ,(cos ,1)b x =-r .设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ,已知在ABC ∆中,内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、,若a =2b =,sin B =()4cos(2)6f x A π++([0,]3x π∈)的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为,所以4A π=.因为+.所以, ,, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用:(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.【解析】如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB , 则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得, 平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2(2)椭圆的焦点为F F ,点P 为其上的动点,当∠F P F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一:F 1(-,0)F 2(,0),设P (3cos ,2sin ).为钝角,.∴=9cos 2-5+4sin 2=5 cos 2-1<0.解得: ∴点P 横坐标的取值范围是(). 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r(θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】() 法二:F 1(-,0)F 2(,0),设P (x,y ).为钝角,∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得:353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是(). 【答案】() 2. 在物理学中的应用:如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N ,则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的(对称) ,∴OA =OB ,∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ,∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD , ∴三角形OAD 为等边三角形 ,∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 , ∴OA =10 ,∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A .2-B .32-C .43- D .1-【解析】如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-u u u r ,(1,)PB x y =---u u u r,(1,)PC x y =--u u u r ,所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ,22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-,当(0,2P 时,所求的最小值为32-,故选B . 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且||2EF =u u u r ,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________.【解析】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=u u u r;∴a =b +2,或b =a +2;且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ,;∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r; 当a =b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3,同理求出b =a +2时,AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为___________.【解析】设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |=___________. 【解析】方法一:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ,所以|2|+==a b .方法二:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB uuu r ,OC uuu r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α,且tan α=7,OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ,则m n +=___________.【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=. 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是___________.【解析】设向量,a b 的夹角为θ,则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ,即++-a b a b 的最小值是4,最大值是【答案】4,7. 【2016·江苏卷】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4, BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4.又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,则AD →=12(AB →+AC →)=12a +12b ,AF →=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b ,BF →=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b ,CF →=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23b ,则BF →·CF →=⎝⎛⎭⎫-23a +13b ·⎝⎛⎭⎫13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2)+59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +16b ,CE →=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56b ,则BE →·CE →=⎝⎛⎭⎫-56a +16b ·⎝⎛⎭⎫16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】(1)因为co ()s ,sin x x =a,(3,=b ,a ∥b,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[]0πx ∈,,所以5π6x =.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为[]0πx ∈,,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-【答案】(1)5π6x =;(2)0x =时,()f x 取到最大值3;5π6x =时,()f x取到最小值-.1.已知数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ,若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,点O 为直线BC 外一点,则12017a a +=( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r , ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r, 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r , 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,∴3201511a a ++=, ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中, AD 为斜边BC 边的高,若1AC =u u u r , 3AB =u u u r,则CD AB ⋅=u u u r u u u r ( )【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B,所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ,得()2221x y -+=,又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ,它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14,()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ,故选B.【答案】B4.已知曲线C :x =直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r,则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点,设(,)P x y ,则(2,)Q m x y --,由题意20x -≤≤,26m x -=,解得23m ≤≤.3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=⎝⎛⎭⎫BA →+13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →+13CA → =⎣⎡⎦⎤BA →+13(BC →-BA →)·⎣⎡⎦⎤BC →+13(BA →-BC →)=⎝⎛⎭⎫13BC →+23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF . 若AE →·AF →=1,则λ的值为________. 【解析】法一、 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AB →+13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →+1λAB →=⎝⎛⎭⎫1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=⎝⎛⎭⎫1+13λ×2×2×cos 120°+4λ+43=1,解得λ=2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A (0,1),C (0,-1),B (-3,0),D (3,0).由BC =3BE ,DC =λDF .可求点E ,F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫-233,-13,F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫-233,-43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ-1=-2⎝⎛⎭⎫1-1λ+43⎝⎛⎭⎫1+1λ=1,解得λ=2. 【答案】28.在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.【解析】AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE →=⎝⎛⎭⎫13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3119.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =__________;y =__________.【解析】MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →,∴x =12,y =-16.【答案】 12 -1610.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,D ⎝⎛⎭⎫12,32.又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝⎛⎭⎫2-12λ,32λ,F ⎝⎛⎭⎫12+19λ,32,λ>0,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫2-12λ⎝⎛⎭⎫12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718+229λ·12λ=2918,λ>0, 当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).设∠P AB =θ,则AP →=(2,2tan θ),AQ →=⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1=2tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+2tan θ=41+tan θ+2tan θ-2=41+tan θ+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ →的最小值为42-4.法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x2,tan ∠QAD =y ,由已知得∠P AB +∠QAD =π4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,所以x +2y 2=1-xy2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.AP →·AQ →=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4=22·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 【答案】 42-412.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =________.【解析】 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx , 由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即yx =± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP →=1,则实数λ的值为________.【解析】 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2-3λ-1=0,解得λ=-14或λ=1.【答案】 -14或114.证明:同一平面内,互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图,用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力,且r a ,r b ,rc 互成120°,模相等,按照向量的加法运算法则,有:r a +r b +r c = r a +(r b +r c )=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形, 故r a 与u u u r OD 共线且模相等,所以:u u u r OD = -r a ,即有:r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ,点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上,且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.(1)若23m n ==,求||OP u u u r ;(2)用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ,(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ,又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r,|OP ∴u u u r(2)OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩,两式相减得:m n y x -=-.令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时,t 取得最大值1,故m n -的最大值为1.【答案】(1)(2)m n y x -=-,1.16.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1n的最小值.【解析】 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),则AB →=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP →=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +34n =1,那么1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+23n 4m ·m n =74+3=7+434(当且仅当3n 2=4m 2时取等号). 17.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值; (2)若sin(α-β)=1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,得α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=255, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=255×31010-55×1010=22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.。
【高中数学】平面向量的应用 典型例题课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
+
.
×
+ ×
=
题型8 三角形的面积公式
.
典例8、[分析计算能力]在△ 中, = ∘ , = ,其面积为 ,则
++
等于(
+ +
A.
思路
B.
)
C.
D.
根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行
由余弦定理得
即 =
=
+
− = + − × = ,
++
,由于
+ +
=
=
=
.
的值;
(2)若 = , =
思路
,求△
的面积.
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在△ 和△ 中,利用
正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
.
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在△ 中,平分∠,且
− ,从而得
出角的值;(2)先利用余弦定理找出, 的关系,再利用基本不等式放缩,求出 +
的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
典例4、[分析计算能力]在△ 中,角, , 的对边分别为, , ,且 +
( + ) − = .
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。
高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。
其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。
运动与变化是研究几何问题的基本观点,利用代数方法研究几何问题是基本方法。
试题强调综合性,综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法,突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
一、直线与方程1.在平面直角坐标系下,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式、一般式),了解斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式,点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.二、圆的方程1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系.3.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。
4 .初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
三、空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置。
2.会简单应用空间两点间的距离公式。
四、圆锥曲线(理科)1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的简单的几何性质(范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线).4.了解曲线与方程的对应关系。
5.理解数形结合思想。
了解圆锥曲线的简单应用。
四、圆锥曲线(文科)1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的简单的几何性质(范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线).3.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称轴、顶点、离心率).4.理解数形结合思想。
专题3.4 以解析几何中与圆相关的综合问题为解答题(原卷版)
专题三 压轴解答题第四关 以解析几何中与圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,圆不会单独出大题,一般是结合椭圆、抛物线一起考查,预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目,从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题典例1(2019·山东省实验中学高考模拟(文))已知椭圆()2222:10x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在椭圆O 上运动,若△PAB 面积的最大值为23,椭圆O 的离心率为12. (1)求椭圆O 的标准方程;(2)过B 点作圆E :()()2222,02x y r r +-=<<的两条切线,分别与椭圆O 交于两点C ,D(异于点B),当r 变化时,直线CD 是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由.【名师指点】圆的切线的应用,往往从两个方面进行考查,一是设切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解;二是结合切线长定理与勾股定理求解. 【举一反三】【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,,切点分别为,.(Ⅰ)若点为,求直线的方程; (Ⅱ)若点为圆上的点,记两切线,的斜率分别为,,求的取值范围.类型二 与圆有关的面积问题典例2 (2019·山东高考模拟(理))已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆的离心率为12,过椭圆1C 的左焦点1F ,且斜率为1的直线l ,与以右焦点2F 为圆心,半径为2的圆2C 相切.(1)求椭圆1C 的标准方程;(2)线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦,且22MF F N λ=,求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【名师指点】对于平面图形的面积问题,可以直接表示或者可以利用割补的办法,以及弦长公式等,将面积科学有效表示,其中通过设直线和曲线的交点,利用韦达定理是解决该种问题的关键.【举一反三】设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |+|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程;(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题典例3【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟】抛物线的焦点为F ,圆,点为抛物线上一动点.已知当的面积为.(I )求抛物线方程; (II )若,过P 做圆C 的两条切线分别交y 轴于M ,N 两点,求面积的最小值,并求出此时P点坐标.【名师指点】圆与圆锥曲线的交汇问题以公共点为基点,派生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、恒过定点问题、定长问题等等,应对不同的题目,会采用不同的方式方法,但总体上仍以设而不求的处理策略为主.常规的策略是数形结合,将数反映的形画出来,结合图形解决问题.【举一反三】(2019·山东高三月考(文))已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,以原点为圆120+=相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设(4,0)A -,过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点,连接AP ,AQ 分别交直线163x =于M ,N 两点,若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ,试问:12k k 是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由. 【精选名校模拟】1.(2019·山东新泰市第一中学高三月考(文))已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为圆22:40M x y x +-=的圆心,直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P 、Q ,且P 、Q 的纵坐标分别为13t t-、()2,0t t R t ∈≠. (1)求抛物线C 的方程;(2)求证:直线l 恒与圆M 相切.2.(2020·山东高三期末)设中心在原点O ,焦点在x 轴上的椭圆C 过点12A ⎫⎪⎭,F 为C 的右焦点,⊙F的方程为221104x y +-+= (1)求C 的方程;(2)若直线:(l y k x =(0)k >与⊙O 相切,与⊙F 交于M 、N 两点,与C 交于P 、Q 两点,其中M 、P 在第一象限,记⊙O 的面积为()S k ,求(||||)()NQ MP S k -⋅取最大值时,直线l 的方程. 3.(2020·山东高三期末)在平面直角坐标系中,()()1 ,0,1,0A B -,设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ,已知1CP =,记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ,与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴,过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点,若6SMGSHNSS=,求直线MN 的方程.4.(2020·山东高三期末)已知椭圆E :()222210y x a b a b+=>>的一个焦点为()0,3,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+:与椭圆E 交于P 、Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.5.(2012·山东高三月考(理))如图,椭圆G 的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F :x 2+y 2﹣2x =0的圆心,右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.已知椭圆G 与直线l :x ﹣my ﹣1=0相交于A 、B 两点. (I )求椭圆的方程;(Ⅱ)求△AOB 面积的最大值.6.(2019·山东高三月考)已知椭圆L :()222210x y a b a b +=>>32.(1)求椭圆L 的标准方程;(2)过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l 的方程及AB 的大小.7.(2019·济南市历城第二中学高二月考)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>,圆Q (x ﹣2)2+(y 2)2=2的圆心Q 在椭圆C 上,点P (02)到椭圆C 6 .(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1 .l 2 , 且l 1交椭圆C 于A ,B 两点,直线l 2交圆Q 于C ,D 两点,且M 为CD 的中点,求△MAB 的面积的取值范围.8.【河北省邢台市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等,且W 与Ω的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为A ,与直线OA(O 为坐标原点)垂直的直线l 与W 交于,M N 两点,且l 与圆222:C x y R +=相切.(1)求W 的方程; (2)若2030MN =,求圆C 的方程. 9.【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次(1月)质量预测】已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于,两点,过,分别向抛物线的准线作垂线,设交点分别为,,为准线上一点. (1)若,求的值; (2)若点为线段的中点,设以线段为直径的圆为圆,判断点与圆的位置关系.10.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,以O 为圆心的圆与直线x-y-4=0相切.(1)求圆O 的方程;(2)直线l:y=kx+3与圆O 交于A,B 两点,在圆O 上是否存在一点M,使得四边形OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线l 的斜率;若不存在,说明理由.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为45︒的直线与抛物线C 相交于,P Q 两点,且线段PQ 被直线2y =平分.(1)求p的值;,求以A为圆心且与PQ相切的圆的标准方程. (2)直线l是抛物线C的切线,A为切点,且l PQ12.【山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第二次质量检测】已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为圆的圆心,直线与抛物线的准线和轴分别交于点、,且、的纵坐标分别为、.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒与圆相切.13. 【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】设椭圆()的左、右焦点分别为,以线段为直径的圆与直线相切,若直线与椭圆交于两点,坐标原点为. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)若,求椭圆的方程.14.【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知椭圆的离心率,左顶点到直线的距离,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:到直线的距离为定值. 15.【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期末考试】在圆上取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,当点在圆上运动时,设线段中点的轨迹为.(1)求的方程;(2)试问在上是否存在两点关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.。
解析几何与向量的综合问题
f△ 刈
一
1 七
 ̄ =
- + 半
+ 1
椭 方 等 一・ =2+ + . 一 圆程 P P 一 1 2 当 =1 M— ( ) 9 N
时 , . 有最大值为2。 砀 两 9 当直线 MN的斜率不存在 时 , M(,) 01则 取 O3N(,)
一
所 以直 线 , 方 程 为 = 4 + 或 = 的 l 一 方 法二 、求 点 坐 标 是 关键 ) (
2 a
・ .
2
. 。+
=
_
c 代 入 ②得 a =3 2 = 2 6e
_
ห้องสมุดไป่ตู้
,
+
3
() 2 法一 : 当直线 MN的斜率存在时 , 设直线 MN的方程为 Y= +2, 圆 Q : +( ) =1 和 一2 联立 , 得它们的交点坐 解
例1过抛物线 、
1 的焦点F作直线 , 交抛物线于
一
、
题 中, 解析几何与 向量 的综合 问题 时有 出现。 由于这类 问题综 合 性 较 强 , 多 考 生 不 能 抓住 问题 的本 质 ,知 识 ” “ 法 ” 许 “ 和 方 盲 目运用 , 但对于解题 又没有取得 实质性 的突破 。 本节课结合教 材要求和 “ 考试说 明” 预期通过一些示例把一些分散的问题有 , 机地 联系在一 起 , 从而提高学生的学习效率 。 二 、 习目标分析 学 l 知识与技 能 : 、 让学 生能正确运 用平面 向量最 基本 的知 识, 将涉及平面 向量 的解析几何 问题 , 化归为较熟悉 的解析几 何问题 。 在审题 中引导学生正确理解 、 深刻领会 向量 的代数意
:
2过程与方法 : 、 结合具体的示例分析 和研究平面向量 的基 本知 识在解析几何 问题 中应用 , 并通过变 式题 把“ 方法” 一般
2013年高考山东卷数学(文)试题评析
曲阜师 范大 学附属 中学 盛春 芳
2 0 1 3年高考 山东卷数学 ( 文 )试题 ,题 目较类型较往年并没有太 必考 内容 ,考察形式也没有大变化。第 1 9 题 ,立体几何题考察方 向
大改变 ,试卷结构、题型、题 量察空间平行与垂直位置关系的证
2 1 难
如第 1 1 题是抛物线 、双曲线和导数 中切线的综合 ,计算较复杂 , 学生容易丢分 。第 1 2 题巧妙地整合 了函数与方程的转化 、基本不等式 和二次函数求最值 问题。第 2 2 题是解析几何与向量的综合。
3 . 在保持相对稳定的基础上 ,进行 了适度创新 如第 8 题简易逻辑,往年的简易逻辑 多与三角函数、立体几何 、
一
二 、试 卷题 目特 点
1 . 试卷立足教材 ,回归课本,注重基本知识与技能考查
选择题的第 1 题, 复数的四则运算和模 ; 第2 题, 集合 的交、 并、 补运算 ;第 3 题 ,函数 的奇偶性;第 4 题, 三视图还原几何体,求正 四 棱锥 的侧 面积和体积 ; 第5 题 ,函数 的定义域 ; 第6 题, 算法与框 图; 第7 题, 正余弦定理解 三角形的考察都 比 较基础而常规。第 9 题, 函 数 图像 的判定就可以使用我们一轮复习时讲过的 “ 三步走”方法, 即“ 函数性质、特殊点、极限假设”的方法 , 通过 函数的奇偶性判断 , 可排除 B , 通过特殊点位置的判断排除 A ,通过极限位置假设在靠近 0
现偏题怪题 ,整套试卷的制定 ,严格按 照 ( 2 0 1 3 年普通高等学校招生
明,而且今年 的线面平行 的证明用平行四边形的线线平行和面面平行
全国统一考试大纲 ( 课程标准实验版 ) 》 和 { 2 o 1 3 年普通高等学校招生 证明都 可以 , 学生 比 较熟悉 ,比去年简单。第 2 0 题,第一条件 中出现 4 = 4 s 2 , = 2 a n 往往误导学生采用 a n 与s n的转化去求通项公式 ,而 全国统一考试 山东卷考试说 明》( 以下简称 《 考试说明》) 的要求。试 S 题难度与往年相 比 基本维持在稳定水平,应该说考得比较常规 。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。