物理中的极值问题分析

物理中的极值问题分析

在中学物理中，力、热、光、电各部分都包含有极值问题。在近年高考中，几乎每一年都涉及极值问题的分析。分析极值问题是用数学思想处理物理问题的具体体现，常用的分析方法有以下四种：

一、几何作图法

例１、 在运动学中有一个著名的“鸟取食路线”问题。如图１所示，AB 代表高为H 的树，在树的顶端A 点处有一只鸟，在树的对面距树d 米处有一高为h 的篱笆EG ，地面上晒有谷粒。为了使飞行路线最短，这只鸟应选取哪一条路线啄取谷粒？最短飞行路程是多少？

分析：若这只鸟按A →C 1→E 路线取食，则飞行路程为S 1＝E C AC 11+，

作E 的对称点F ，连接C 1、F ，由几何关系可知:S 1=F C AC 11+。同理，若啄取C 2点的谷粒，则有:S 2=F C AC 22+，即：不论啄取哪一点的谷粒，飞行路程都等于这一点与A 、F 两点连线距离之和。根据“两点之间直线最短”原理，这只鸟应按A →D →E 路线取食飞行路程最短。由图可知，最短飞行路程为S m =AF =

2

2

2

2

)

(d

h H MF

AM

++=+ 。

例２、如图２所示，用细绳OA 和OB 把一个质量为ｍ的物体悬挂在天花板上，保持OA 与竖直方向的夹角α不变,把OB 绳向右移动。则在OB 绳与竖直方向的夹角β从α＋β＜90°增加到β=90°的过程中，OB 绳所受的拉力T B 和OA 绳所受的拉力T A 将（ ）

A 、T A 一直增加；

B 、T B 一直减小；

C 、T B 先增加后减小；

D 、T B 先减小后增加。

分析：如图３a 所示，物体受到两个力的作用。因绳子对物体向上的拉力T 到结点O 处分解为T A 、T B ，

故物体m 的受力情况可以等效为图３b 所示的三个力作用。

因为在T A 、T B 、mg 三个力作用下物体处于平衡状态，所以这三个力的合力为零，这三个力刚好构成一个首尾相连的封闭三角形。在β改变的过程中，重力mg 的大小、方向均不变，T A 的方向不变。由图３c 可知：当β＝０时，T A ＝０，T B ＝mg 。当β从０逐渐增加到90°的过程中,T A 一直增大,T B 先减小后增大,当β=90°－α即T A ⊥T B 时,T B 取得最小值，最小值为mgsn α，故本题的正确答案应为A 、D 。

例３、如图４所示，有一封闭软导线长为Ｌ，置于磁感应强度为Ｂ的匀强磁

场中，现使曲线在ｔ秒内张开围成一个与磁场方向垂直的平面，在张开过程中能够产生的平均感应电动势的最大值是多少（导线张开前所围面积为零）? 分析：由法拉第电磁感应定律知平均感应电动势为： ε＝t S B t ∆∆=∆∆φ 因为曲线张开所用时间△t=t 确定,所以平均感应电动 势ε由面积改变量△

S(等于曲线张开所围面积)决定。又因为在周长一定的所有平面图形中，圆面积最大。所以曲线张开后产生的平均感应电动势的最大值为：

ε＝

t

BL

t

L B t

S B πππ422

2

=

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=∆∆

二、三角函数法

例4、如图５所示，在倾角为θ的斜面上有一质量为m 的物体，m 与斜面之间的动摩擦因素为μ。为了使m 能沿斜面向上运动，作用在m 上的拉力至少应为多大？

分析：在Ｆ的方向确定时，运动的加速度a 越大，Ｆ就越大。根据题意，应选取a ＝０即匀速直线运动的情况进行讨论。 设Ｆ与斜面成α

如图６所示。以沿斜面向上为ｘ轴正方向,根据顿第二定律有：∑F x =Fcos α-μN-mgsn θ=0 ∑F y

=Fsn α+ N - mgcos θ=0 令μ=tg φ,则有

:

)

cos(cos )cos (sin sin sin cos cos cos )cos (sin sin cos sin cos )cos (sin φαφ

θμθφ

αφαφθμθα

φ

φαθμθ-+=

++=

+

+=

mg mg mg F

在上式中，由于μ确定，对应的φ＝arctg μ也确定,mg 、θ又是已知的，所以Ｆ的大小由cos(α-φ)决定：当α=φ即cos(α-φ)=1时，对应的F 取得最小值，最小值为F mn =mg(sn θ+μcos θ)cos φ。正是由于这个原因，许多手推车、畜力车的夹杆并不与地面平行，而是倾斜与地面成某一角度。为了省力，这个角度的最佳数值应为φ＝arctg μ。

例５、如图７所示，斜面的底边长恒定为ｂ，在斜面倾角θ从零开始逐渐增加到90°的过程中,质量为ｍ的物体从斜面顶端无初速、无摩擦滑至斜面底端所用时间将（ ）

Ａ、逐渐增加； Ｂ、逐渐减小； Ｃ、先减小后增大；Ｄ、先增大后减小。

分析：物体沿光滑斜面下滑的加速度为ａ＝gsin θ。设斜面长为ｓ，物体下滑到斜面底端所用的时间为ｔ，则有：

22

1at s =

a= gsin θ

θ

cos b s =

由此可知,当θ=45°时,sin2θ=1,所对应的下滑时间最短,最短时间为t min =g

b 4。

例６、如图８所示，质量为ｍ的物体以初速度ｖ0做斜抛运动,其射程(水平位移)的最大值是多少? 分析:设v 0与水平方向的夹角为θ，则物体在水平方向上以ｖ0cos

θ做匀速直线运动，在竖直方向上以v 0sin θ的初速度做竖直上抛运动。设射程为ｓ，则有： s=v 0cos θ·t g

v t θsin 20=

由此可知:当θ=45°时,sin2θ＝1,ｓ取得最大值,其最大值为s max ＝g

v 2

0。这个规律可以应用到跳远比

赛中：对于同一个人来说，当其起跳速度方向与水平地面成45°角时，其跳远成绩最好。

例７、如图９所示，长为2a ，所受重力为Ｇ的光滑均匀杆AB ，其A 端用光滑铰链铰接在地面上，B 端搁置在高为a 的物体上，当用力F 把物体缓慢向左推时,物体对杆的支持力将（ ）

Ａ、一直减小； Ｂ、一直增加；

Ｃ、先增加后减小；Ｄ、无法确定。

分析：以Ａ为转动轴，设AB 与水平

地面之间的夹角为θ时物体对杆的支持力为N ，

根据力矩平衡条件有： G ·acos θ=N ·

θ

sin a ──→ N=Gsin θcos θ=

2

1Gsin2θ