青田县第二十四届“三辰杯”综合知识竞赛数学试卷(有答案)

(第3题）青田县第二十四届“三辰杯”综合知识竞赛数学试卷

考生须知：

1、全卷满分为100分，考试时间为80分钟．

2、、请在试卷密封线内填写学校、姓名和准考证号．

4、本次考试为闭卷答形式，请用黑色或兰色水笔答题，不允许使用计算器.

温馨提示：带着愉悦的心情，载着自信与细心，凭着沉着与冷静，迈向理想的彼岸！

一、选择题（本题有6小题，每小题4分，共24分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. 设532x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2

2. 如图，在底面半径为1、母线长为4的圆锥底部有一只蚂蚁，

若从A 点出发，绕侧面一周后又回到A 点，那么蚂蚁爬行的

最短路线的长为（ B ）

A ．2π

B ．42

C ．43

D ．5

3．如图,P A 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，

那么∠AOB 所对弧的长度为（ D ）

A ．6л

B ．5л

C ．3л

D ．2л

4．已知实数a 满足条件|2011-a|+2012-a =a ，那么a-20112的值为（ C ）

A ．2010

B ．2011

C ．2012

D ．2013

5. 对于任意实数d c b a ,,,，定义有序实数对()b a ,与()d c ,之间的运算“△”为：()()d c b a ,,∆=()bc ad bd ac ++,。如果对于任意实数,u v ，都有()()y x v u ;;∆=()v u ;，那么(,)x y 为（ A ）。

A ．(1,0)

B ．(0,1)

C ．(1,0)-

D ．(0,1)-

6．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ B ）

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

A p

(第2题）

二、填空题（本题有6小题，每小题6分，共36分）

7. 设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为____ __ 7 _．

8. 某次数学竞赛编排试场，要求每个试场的人数相等，如果每个试场排25人，最后有一位同学排不下；如果少排一个试场，刚好每个试场的人数一样，已知每个试场最多只能坐30人，请问参加本次竞赛的人数共有 676或351 人

9. 有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数,1k k +（其中0,1,2,,19k =）的卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14的概率为______0.25_________.

10. 已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，y x -,这四个数据的

平均数为1，则y x +1的最小值为 3

10 . 11.如图，将长为4 cm 宽为2 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点

B 落在CD 边上的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段 AM 的长度为_____8

13_____． 12. 已知函数1))(()(+--=b x a x x f )(b a <，若βα,<α()β是方程0)(=x f 的

两根，则实数βα,,,b a 的大小关系为______b a <<<βα ____.

三、解答题（本题有4小题，每小题10，共40分）

13.（本题10分）

青田县联华超市经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖出5件。

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800（元）………………………………3分

（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元

由题意，得：y=(x －20)[105－5（30－25）]……………………………………………6分

=－5x2+330x －4600

=－5(x －33)2+845…………………………………………………………8分

当x=33时，y 的最大值是845

故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。……………10分 N

A B C D E F

M (第11题）

14.（本题10分）

已知：二次函数y =x 2＋bx －3的图像经过点P （－2,5）．

（1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；

（2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上．

①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5=()3222

---b ，解得b=－2.…………2分 当1＜x≤3时y 的取值范围为－4＜y≤0.…………………………………………3分

（2）①m=4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．…………………………………………………………………………………6分 ②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于， m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0，

当m 不小于5时成立，即y 1＋y 2＞y 3成立．…………………………………………9分 所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长。…………………………………………………………………………………………10分

15.（本题10分）

如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且12

BD CD =． 将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，

（Ⅰ）求证BC BC '⊥；

（Ⅱ）求C ∠的大小．

（第15题） （Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，

∴△AC D '≌△ACD .

有C D CD '=，ADC ADC '∠=∠．………………2分 ∵12

BD CD =，60ADC ∠=， ∴12

BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……4分 取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…5分

有113022

BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……6分 A B C

D C 'P