第十三章拉普拉斯变换
合集下载
《电路》第十三章 拉普拉斯变换
S
12
3.积分性质
设： [ f (t)] = F (s)
则：
∫t
[ 0−
f
(t)dt] =
1 F(s) s
证：令
∫t
[ 0−
f (t)dt] =
φ( s )
[ f (t)] =
⎡ ⎢⎣
d dt
∫t 0−
f
(t
)dt
⎤ ⎥⎦
F(s) =
sφ(s) −
∫t 0−
f (t)dt
t =0−
应用微分性质
∴ φ(s) = F (s) s
注 f (t − t0) = 0 当 t < t0
[ ] ∫ 证：
f(t - t0 )
=
∞ 0−
f (t − t0 )e−stdt
∫=
f (t − t )e e dt ∞
f (t) = δ (t)
∫ F (s) =
[δ (t)] =
∞ 0−
δ
(
t
)e
−
st
dt
∫=
δ0+
0−
(
t
)e − st dt
= e−s0 = 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) = eat
[ ] ∫ F( s ) =
e at
=
e e dt ∞ at −st
0−
= − 1 e−(s−a)t s−a
1
− jω
−
S
1⎤
+ jω ⎥⎦
=
ω S2 +ω2
9
2. 微分性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若： [ f ( t ) ] = F ( S )
13.1 拉普拉斯变换的定义
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换 反变换。 拉氏反变换。
−st
L [F(s)] =
−1
∫ 2π j
1
c+ j∞
c− j∞
F(s)e ds
st
三、运算法
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−Байду номын сангаас
∞
−st
函数， 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s 的函数。 的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变 域内的复变函数F(s)。 换到 s 域内的复变函数 。 称为复频率。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一 种复频域分析方法，又称为运算法 运算法。 种复频域分析方法，又称为运算法。 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计 开始， 定义中拉氏变换的积分从 开始 包含的冲激， 及t=0时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数 时 包含的冲激 从而给计算存在冲激函数 电压和电流的电路带来方便。 电压和电流的电路带来方便。
∞
1 L[e ] = s −a
at
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t =− e s −a 0−
∞
1 = s −a
二、拉普拉斯变换的定义
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0， 区间的函数 区间的函数f(t)， 一个定义在 ，∞)区间的函数 ，它的拉普 拉斯变换式F(s)定义为 拉斯变换式 定义为
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−
∞
−st
−st
L [F(s)] =
−1
∫ 2π j
1
c+ j∞
c− j∞
F(s)e ds
st
三、运算法
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−Байду номын сангаас
∞
−st
函数， 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s 的函数。 的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变 域内的复变函数F(s)。 换到 s 域内的复变函数 。 称为复频率。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一 种复频域分析方法，又称为运算法 运算法。 种复频域分析方法，又称为运算法。 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计 开始， 定义中拉氏变换的积分从 开始 包含的冲激， 及t=0时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数 时 包含的冲激 从而给计算存在冲激函数 电压和电流的电路带来方便。 电压和电流的电路带来方便。
∞
1 L[e ] = s −a
at
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t =− e s −a 0−
∞
1 = s −a
二、拉普拉斯变换的定义
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0， 区间的函数 区间的函数f(t)， 一个定义在 ，∞)区间的函数 ，它的拉普 拉斯变换式F(s)定义为 拉斯变换式 定义为
F(s) = ∫ f (t)e dt
0−
∞
−st
第十三章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的 方法间接求得。 设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n ≥m 。
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + L + am F ( s) = = D( s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn
∞
−
F (s) f (ξ )dξ ] = s
e-stdt，
利用∫ udv = uv − ∫ vdu
则： 0 [(
1 − st ∴ du = f (t )dv，v = − e s
− st ∞
∫ ∫
= (∫
t
t
0−
f (ξ )dξ )e − st dt ] = ( ∫
t
0−
0−
e f (ξ )dξ ) −s
16
例：13-7
s+3 求：F(s) = 2 的原函数f (t ) s + 2s + 5
17
3、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、
K11 K2 则：F ( s ) = + +L+ +( + L) 2 q s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p2
则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。 本书涉及的f(t)均满足上述条件
1 c + j∞ 拉普拉斯反变换的定义： f (t ) = F ( s )e st ds 2πj ∫c − j∞
式中，M , c为正的有限常数
−1
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换 用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换 例如：F(s)= [f(t)]=
13-1拉普拉斯变换
j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个 条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续； （2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量） 上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
电路十拉普拉斯变换
（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 和电容电压初始值 ；
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
第十三章 拉普拉期变换
∞
0−
∫ f( τ ) e
dτ = e
F (S )
A ·
f(t) t
例 求矩形波的象函数 解 图中矩形脉冲可表示为 1 − st 0 延迟性质 L [ε (t - τ ) ] = e S
τ 1 f(t) = ε (t) - ε (t - τ ) Q L [ε (t) ] = S 1 1 − st 0 1 → L [f(t) ] = − e = (1 − e − s τ ) S S S
例1 求以下函数的象函数
(1)单位阶跃函数 (2)单位冲击函数 (3)指数函数 解(1)Q f(t) = ε(t )
F(S) = L[f(t)] =
∞ − st 0− ∞ 0−
∫
ε(t )e −st dt =
∫e
dt =
1 s
(2 ) Q f ( t ) = δ ( t ) (3)Q f (t ) = e
第十三章
拉普拉斯变换
（） 定义 f（t） 在[0 ∞ )有定义
F(S ) =
∞ 0−
13 − 1拉氏变换定义 则 F(s) = L[f(t)] f(t) = L-1 [f(t)]
∫
f(t)e-st dt
↑ 象函数 ↑ 原函数
1 c + j∞ st 拉氏反变换定义 f(t) = ∫ F(s)e ds 2 πj c − j∞
13 − 4运算电路 时域 S域 基尔霍夫定律 拉氏变换后(对上式 )∑ I (S ) = 0
∑i
=0
∑u
=0
∑U
(S ) = 0
I（S） R （ ）
− −基尔霍夫定律运算形式 U(S) = RI(S) Q u = Ri + U（S） （ ） di(t) u(t) = L 电感元件 取拉氏变换和微分性质 dt 附加电 源，其 di(t) L[ u(t)] = LL = L[SI (S ) − i(0-)] 极性与I 极性与 dt 反向。 反向。 U(S ) = SLI (S ) − Li(0− ) SL - - - -称运算阻抗 电阻元件
第13章 拉普拉斯变换
k2 s2
k3 s5
0 .1 s
0 .5 s2
0 .6 s5
k 1 sF ( s )
s0
1 25
0 .1
k1
2s 1 3s 14s 10
2 s0
1 10
0 .1
k 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2
2( 2) 1 2 ( 2 5)
I2(s) + sL2
+ i1
u1 –
u 1 L1
M
L1 L2
i2
+
u2 –
+ –
+ – + –
+
L2i2(0-)
U2(s)
–
Mi1(0-)
+
–
d i1 dt d i2 dt
M
d i2 dt
U 1 ( s ) sL 1 I 1 ( s ) L1 i 1 ( 0 ) sMI 2 ( s ) Mi 2 ( 0 ) U 2 ( s ) sL 2 I 2 ( s ) L 2 i 2 ( 0 ) sMI 1 ( s ) Mi 1 ( 0 )
本章重点：
1. 运算形式的电路定律和元件约束
2. 用运算法分析线性电路
§13－1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
F 双边拉氏变换：( s ) F 单边拉氏变换：( s ) 1 f (t ) 拉氏反变换： 2 j
f (t ) e
0
c j
c j
把傅氏变换的 j s j F f ( t ) e dt 记作 ( s ) L [ f ( t )] 正变换 1 F ( s ) e ds 记作 f ( t ) L [ F ( s )] 反变换
13第十三章拉普拉斯变换
1 ( s 1)
2 t
3
( s 1)
t
2
f (t ) 3e
2 te
0 .5 t e
3t
小结： 1.由F(S)求f(t) 的步骤 1.) n =m 时将F(S)化成真分式
F (S ) C0 P(S ) D(S )
2.)求真分式分母的根，确定分解单元 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2 t
(t ) 7e
(t )
例
求 F (s) s
2s 1
3
7s
2
10 s
的 原 函 数 f ( t )。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D ( s ) 3 s 14 s 10
2
K1
N (s) D ( s )
s s1
3
s p1
则： f (t ) K1e 当为n阶重根：
Kn
K 2te
d
( n 1) ( n 1)
p1t
1 2
K 3t e
n
2
p1t
1
(n 1)! ds
(s p )
1
F ( s)
s p1
例： 2 S ( S 1)
S 4
K1 S
K 21 ( S 1)
L[ (t )]
0
(t )e
St
dt
0 0
(t )e
St
dt
0 0
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
第十三章拉普拉斯变换
4、时域位移定理
L f t F S ,
L f t F S ,
L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
S j
f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。
拉普拉斯反变换：
f (t ) [ F ( S )]
1
1 2 j
j
j
F ( S )e St dS
13.2 拉氏变换的性质
13-2拉氏变换的性质
1、线性定理
L f1 t F1 S , L f 2 t F2 S : L af1 t bf 2 t aL f1 t bL f 2 t aF1 S bF2 S
2、微分定理
L f t F S
df SF ( S ) f (0 ) dt
3、积分定理
L f t F S ,
t F S L f t dt 0 S
13.2 拉氏变换的性质
]
0
e
t St
e
dt
0
e( S )t dt
0
1 ( S )t e S
0
1 S
2、常数
1 [1(t )] 1 t e st dt e st 0 S
1 S
3、正弦函数
[ 1 jt 1 1 1 (e e jt )] ( ) 2 2j 2 j S j S j S 2
第十三章 拉普拉斯变换
K 1 , K 2 为一对共轭复数，设 K 1 = K 1 | e jθ1 ， K 2 = K 1 | e − jθ1 ，
2
则
f (t ) = 2 | K 1 | eαt cos(ω t + θ 1 ) + ∑ K i e pit
i =3
n
13．1．4 线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法） 1． 元件的伏安关系及运算电路如表 13-2 所示附表 13-2。 表 13-2 元件的伏安关系及运算电路 元 件 时域形式 频域形式 1 频域形式 2
t
复频域
a1F1 (s ) + a2 F2 (s )
1 ⎛s⎞ F⎜ ⎟ a ⎝a⎠
F (s )e − st 0 F (s + α ) sF (s ) − f (0− ) F (s ) f −1 (0 ) + s s dF (s ) ds lim sF (s )
s →∞ s →0
∫
f (τ )dτ
−∞
第十三章 拉普拉斯变换
13．1 基本概念 13．1．1 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0, ∞ ) 区间的函数 f (t ) ，它的拉普拉斯变换式 F (S ) 定义为
F (s ) = ∫ f (t )e − st dt
0−
∞
式中 s = σ + jω 为复数， F (S ) 称为 f (t ) 的象函数， f (t ) 称为 F (S ) 的原函数。式中积分下限取
式中： K 1q
1 d q −1 (s − p1 )m ⋅ F (s ) | s = pi = q −1 (q − 1)! ds
[
]
则
n K 12 m −1 ⎡ K ⎤ f (t ) = L−1 [F (s )] = ⎢ 11 t m −1 + t + ⋯ + K 1m ⎥ e p1t + ∑ K i e pi t (m − 2)! i =n−m ⎣ (m − 1)! ⎦
《电路分析》拉普拉斯变换
A (t ) A
A (t ) A / s
P294
A eat A sa
t 1/ s2
sin(t )
s2
2
c os(t )
s2
s
2
四、分部分式法求反拉氏变换
F(s) N(s) D(s)
1、当D(s)=0有n个不同实根p1、p2……时
F(s) N (s) k1 k2 kn
D(s) s p1 s p2
k11
n
ki
D(s) s p1 (s p1 )2
(s p1 ) m i2 s pi
其中：k11
(s
p1 ) m
N(s) D(s)
s p1
k12
d [(s ds
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k13
1 2
d2 ds2
[(s
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k1m
1 (m 1)!
d m1 dsm1
s j
N(S) D'(s) s j
| k1
| e j1
k2 [s ( j)] F(s)
s j
N(S) D' (s) s j
| k1 | e j1
K1、K2是一对共轭复数。
例3: 已知
F(s) s2 6s 5 s(s2 4s 5)
求 f (t)
F (s)
s2 6s 5 s(s2 4s 5)
s
iC(t) C
+
-
uC(t)
+ UC(s) -
IC(s)
1/sC
CuC(0-)
3、电感 U L (s) sL I L (s) LiL (0 )
第十三章拉普拉斯变换
t f (ξ )dξ e − st dt 所以 ∫ ∫ 0− 0−
∞
t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s
− st ∞
− ∫ f (t )e − st dt
0−
∞ ∞
其中，当t<t0时，f (t-t0)=0。令τ=t-t0
ℓ[ f (t − t 0 )] = ∫ f (t − t 0 )e dt = ∫ f (t − t 0 )e − st dt
0− ∞ t0 − st ∞
= ∫ f (τ )e
0−
− s (τ + t 0 )
dτ = e
− st 0
∫
0−
−t
( s − pi ) n 的因 3、如果D(s)=0具有重根，则应含 ( s − pi )3的因式，p1为 式。现设D(s)中含有
即
N (s) Ki = (i = 1、、 …、n) 2 3、 D′( s) s = pi
确定了各待定系数后，相应的原函数为
f (t ) = ℓ [ F ( s)] = ∑ K i e
−1 i =1 n pi t
N ( pi ) pit =∑ e i =1 D′( pi )
n
例13-6
解 因为
2s + 1 求 F ( s) = s 3 + 7 s 2 + 10s
ω = 2 s +ω2
(2)ℓ[ K (1 − e −αt )] = ℓ[ K ] − ℓ[ Ke −αt ] K K = − s s +α Kα = s( s + α )
由此可见，根据拉氏变换的线性性质， 求函数乘以常数的象函数以及求几个函数 相加减的结果的象函数时，可以先求各函 数的象函数再进行计算。
第十三章 拉氏变换分析线性电路
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用（289）
简述： 一、拉普拉斯变换——一种积分变换法 通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的 微分方程化为频域的代数方程。 经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。
二、正弦稳态电路、一阶二阶动态电路均为时域电路 用拉普拉斯变换法求解也是可行方法之一。 三、拉普拉斯变换法分析时域电路——运算法 1、拉普拉斯变换将时域电路转化为运算电路（频域电路） 2、在运算电路中求频域响应U(S)、I(S) 3、拉普拉斯反变换将U(S)、I(S)转化为时域函数u(t)、i(t)
O j45
K 0.5 j0.5 0.5 2e
αt
f(t) 2 K e cos(ωtθ) 2e cos （2t 45 ）
t 0
14
S3 例：求F（s） 的原函数f（t） 2 （s 1）(S 4S 8)
解：S2 4S 8 0有解 P1 ， 2 2 j2 K1 K2 K F（s） s 1 S 2 j2 S 2 j2
4
$13-2 拉氏变换的基本性质（291）
若L[f（t）] F（S），则拉氏变换 有如下性质：
1、线性性质 L[Kf（t）]=K L[f（t）]=KF（s） L[f1（t）+ f2（t）]= F1（S）+ F2（S） L[K1f1(t)+K2 f2(t)]=K1 F1(S)+ K2 F2(S) 例13-2（291页）
解： S2 3S 2 0， 有 解 S 1， S 2 8S 2 k1 k2 F（ s） （ S 1） （ s 2） （ S 1）（ S 2）
求k1：等式二边同乘以（S 1）并令S 1 8S 2 有：k1 [(S 1)F(S)] 6 S 1 S 1 （s 2） 8S 2 同理：k2 [(S 2)F(S)] 14 S 2 S- 2 S 1 6 14
简述： 一、拉普拉斯变换——一种积分变换法 通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的 微分方程化为频域的代数方程。 经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。
二、正弦稳态电路、一阶二阶动态电路均为时域电路 用拉普拉斯变换法求解也是可行方法之一。 三、拉普拉斯变换法分析时域电路——运算法 1、拉普拉斯变换将时域电路转化为运算电路（频域电路） 2、在运算电路中求频域响应U(S)、I(S) 3、拉普拉斯反变换将U(S)、I(S)转化为时域函数u(t)、i(t)
O j45
K 0.5 j0.5 0.5 2e
αt
f(t) 2 K e cos(ωtθ) 2e cos （2t 45 ）
t 0
14
S3 例：求F（s） 的原函数f（t） 2 （s 1）(S 4S 8)
解：S2 4S 8 0有解 P1 ， 2 2 j2 K1 K2 K F（s） s 1 S 2 j2 S 2 j2
4
$13-2 拉氏变换的基本性质（291）
若L[f（t）] F（S），则拉氏变换 有如下性质：
1、线性性质 L[Kf（t）]=K L[f（t）]=KF（s） L[f1（t）+ f2（t）]= F1（S）+ F2（S） L[K1f1(t)+K2 f2(t)]=K1 F1(S)+ K2 F2(S) 例13-2（291页）
解： S2 3S 2 0， 有 解 S 1， S 2 8S 2 k1 k2 F（ s） （ S 1） （ s 2） （ S 1）（ S 2）
求k1：等式二边同乘以（S 1）并令S 1 8S 2 有：k1 [(S 1)F(S)] 6 S 1 S 1 （s 2） 8S 2 同理：k2 [(S 2)F(S)] 14 S 2 S- 2 S 1 6 14
第十三章 拉普拉斯变换法
一﹑线性性质： 线性性质： 设 L[ f 1 (t )] = F 1 ( s )， L[ f 2 (t )] =
a和b为两个任意实常数， 为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
华东理工大学 上 页 下
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质： 积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明： 说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中 算子s与象函数的除法运算。 与象函数的除法运算。 华东理工大学 上 页 下
页
证明： 证明：
t
a和b为两个任意实常数， 为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
华东理工大学 上 页 下
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质： 积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明： 说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中 算子s与象函数的除法运算。 与象函数的除法运算。 华东理工大学 上 页 下
页
证明： 证明：
t
电路课件(邱关源)13第十三章拉斯变换
t
f ( t ) = t = ∫0 ε( ξ)dξ
1 L[ε(t)] = s
1 1 1 L[ f (t)] = × = 2 s s s
4. 延迟性质
若 则
L[ f ( t )] = F ( s ) − st L[ f ( t − t0 )] = e F ( s )
0
函 原 数f(t) 数
函 象 数F 数 (s)
i
i
N ( pi ) N ( pi ) ki = ( s − pi ) = ' D( pi ) D ( pi )
k1 k2 kn F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p2 s − pn
f ( t ) = L [ F ( s )]
−1
= k1e + k2e
p1t
p2 t
+ ⋅ ⋅ ⋅ + kn e
= ∫0 - ε( t − T ) × e
=e
− sT ∞ ' 0-
− αt
∞
− st
∞
− s ( t −T )
× e d (t − T )
− sT
∫ ε( t ) × e dt
−1
− st
'
'
1 -sT = e s
1 − sT ε( t − T ) ⇔ e s
1 -sT L [ e ] = ε( t − T ) s
m
m −1
2、 D(s)=0 有共轭复根。 、 有共轭复根。 D(s)=0有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根 有一对共轭复根： 设D(s)=0有一对共轭复根： 有一对共轭复根
f ( t ) = t = ∫0 ε( ξ)dξ
1 L[ε(t)] = s
1 1 1 L[ f (t)] = × = 2 s s s
4. 延迟性质
若 则
L[ f ( t )] = F ( s ) − st L[ f ( t − t0 )] = e F ( s )
0
函 原 数f(t) 数
函 象 数F 数 (s)
i
i
N ( pi ) N ( pi ) ki = ( s − pi ) = ' D( pi ) D ( pi )
k1 k2 kn F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p2 s − pn
f ( t ) = L [ F ( s )]
−1
= k1e + k2e
p1t
p2 t
+ ⋅ ⋅ ⋅ + kn e
= ∫0 - ε( t − T ) × e
=e
− sT ∞ ' 0-
− αt
∞
− st
∞
− s ( t −T )
× e d (t − T )
− sT
∫ ε( t ) × e dt
−1
− st
'
'
1 -sT = e s
1 − sT ε( t − T ) ⇔ e s
1 -sT L [ e ] = ε( t − T ) s
m
m −1
2、 D(s)=0 有共轭复根。 、 有共轭复根。 D(s)=0有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根 有一对共轭复根： 设D(s)=0有一对共轭复根： 有一对共轭复根
第十三章拉普拉斯变换
第十三章拉普拉斯变换经典法——依照电路列出微分方程然后进行求解来求解动．．．（求解时刻函数方程）。
态电路响应的方式。
也叫时域解法．．．．优势：物理概念清楚，便于明白得。
可是这种方式关于求解二阶以上的复杂电路，很困难。
即便是一阶电路，当鼓励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当鼓励为指数函数、斜坡函数、专门是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。
在正弦稳态分析中，采纳向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。
向量分析是一种变换。
在暂态分析中，可否也成立这种类似的变换?拉普拉斯变换（简称拉氏变换）线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确信响应后，通过拉氏反变换取得时域响应。
这种分析法不用求特解、通解、及确信积分常数，所得结果确实是全响应。
拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。
因为拉氏变换分析要通过求拉氏变换和反变换两次运算（变换），因此也称为运算法．．．。
运算法是一种通过数学变换间接求解动态电路的简捷方式。
应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非时变的电路，不适用于时变及非线性电路。
§15-1 拉普拉斯变换的概念一、 拉氏变换的概念先概念一个复数 ωδj s +=其中δ是使函数)(t f 在区间（0－，∞）内积分收敛而选定的一个常数；ω是角频率，是变量；s 是复变量。
δ、ω、s 的单位都是1/秒。
复变量s 也称为广义频率，或复频率。
1、 拉氏正变换的概念概念在（0－，∞）内的时刻函数)(t f （)(t f 代表电路中的鼓励，或响应），与因子ste -相乘，组成一个新的函数st e t f -)(，再在（0－，∞）内对t 积分，该积分称为单边拉普拉斯（Laplace ）正变换，简称拉氏变换。
⎰∞--== 0 )()()]([dt e t f s F t f L st式中 ωδj s +=为复数（复频率变量）上式对t 求定积分后，变成了复变量s 的函数，因此记作)(s F 。
电路ch13拉氏变换
[(
s2 (
2s 2 ) s 1 )3 (
s
1 )3
]
S 2
1 2
d ds
[2s
2]
S 2
1
1
2
2
F(s) (s 2)
(s 2)2 (s 2)3
f (t) e2t 2te2t t 2e2t t 0
28
§4 复频域中的电路元件与模型、电路定律
i I u U U Z I
2j c j
简
写
F(s)
f
(t
)
L f (t) L1 F ( s)
4
二. 常用函数的拉氏变换
F ( S ) f (t )estdt 0
1. f (t) (t)
L[ (t)]
(t )estdt
0
e st dt
0
1 e st
1
s
s 0
2. f (t) eat (a为实数)
27
例2 解：
F(s)
s2 2s 2 (s 2)3
F s K13
(s2)
(
K 12 s2
)2
(
K 11 s2
)3
K 11
s2 (
2s s2
)3
4
(
s
2
)3
S 2
2
K 12
d ds
[
s2 2s 2 ( s 2 )3 (
s
2 )3
]
S 2
( 2s
2)
s 2
2
K 13
1 2
d2 ds 2
)3
s
K2 p2
...
式中
K11 s p1 q F ( s ) s p1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f(t)= ℒ -1[F(s)]= 1 2pj
c+j
F(s) est dt
c-j
式中c为正的有限常数。
2019年10月24日星期
6
四
注意
(1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：
∞
0+
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt = f(t)e-stdt + f(t)e-stdt
①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。
②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。
③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。
④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系；
⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；
2019年10月24日星期
2
四
重点
①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、
运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。
2019年10月24日星期
1
四
基本要求
一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 变换式 F(s) 定义为：
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt
0-
式中s=s+jw为复数，被称为复频率；
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：
e-at)的定义域为[0，]，求其象解函：数。
ℒ [ f1(t)] = ℒ [sin(wt)] 欧拉公式 ℒ
线性性质
1 2j
ℒ
[ejwt]
-ℒ
[e-jwt
]
1 2j
(ejwt-e-jwt
)
引用
ℒ
[eat ]
=
1 s-a
=
1 2j
1
s-jw
-
1
s+jw
=
w s2+w2
ℒ [sin(wt)] = w s2+w2
ℒ [ f2(t)] = ℒ [K(1-e-at)] 线性性质ℒ [K]-ℒ [Ke-at] 引用阶跃函数和指数函数的结论
=
K s
-
K s+a
=
Ka
s(s+a)
2019年10月24日星期 四
ℒ
[K(1-e-at)]=
Ka
s(s+a)
10
2. 微分性质
若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-)
e-
(s-a)t
∞ 0-
ℒ [eat]=1 ຫໍສະໝຸດ -a2019年10月24日星期
8
四
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s)
A1、A2 是两个任意实常数。
则：ℒ [A1 f1(t)+A2 f2(t)] = A1F1(s)+A2F2(s)
网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。
2019年10月24日星期
4
四
§14-1 拉普拉斯变换的定义
1. 引言
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。
证：ℒ [ f ' (t)] =
∞df(t) e-st dt =
∞
e-st df(t)
0- dt
∞∞
0- ∞
F(s)
= e-st f(t) - f(t) de-st = -f(0-)+ s f(t) e-st dt
0- 0-
0-
推论：ℒ [ f (n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f '(0-)- -f (n-1)(0-) 特别，当 f(0-) = f '(0-) = =f (n-1)(0-)= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)，，ℒ [f (n)(t)] = snF(s)
2019年10月24日星期
3
四
难点
①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系
与其它章节的联系
拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。
ℒ
[e(t)]=
1 s
(2)单位冲激函数d(t)
∞
0+
F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0)
0-
0-
(3)指数函数 f(t) = eat (a为实数)
ℒ [d(t)]=1
F(s) =
∞
eat e-st dt =
0-
∞
e-(s-a)t dt =
0-
1 -(s-a)
证： 左 = [A1 f1(t) + A2 f2(t)] e-st dt
0-
∞
∞
= A1 f1(t) e-st dt + A2 f2(t) e-st dt = 右
0-
0-
A1F1(s)
A2F2(s)
2019年10月24日星期
9
四
P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1-
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
2019年10月24日星期
5
四
1. 定义
0-
0-
0+
它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量
的初始值，从而为电路的计算带来方便。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。
象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电
流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。
所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
2019年10月24日星期
7
四
2. 典型函数的拉氏变换 P345例
14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
F(s) =
∞
e(t) e-st dt =
0-
∞
e-st dt = -
0-
1 s
e-st
∞ 0-