圆内接正多边形

正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
∴AB= 3R,
B
∴S△ABC=
3R
•
3 2
正方形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角:
F
. 中心角
O.
半径R
C
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的__中__心__．
R

3
3R 2 .
2
4
·O
D
C
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
BE 2 OE 2 OB2 ,
2OE 2 OB2 ,
A
D
·O
OE 2 OB2 . 2
B
E
C
边心距OE 2 OB 2 R,
2
边长BC 2BE 2
A
T
E O
S
D R
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边 形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【类比联想】
正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
R
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵A⌒B=⌒BC，
∴AB=BC，
P
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
B
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
Q
QR=RS=ST=TP=2PA，
C
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
2
2
R

2R,
2
S正方形ABCD AB BC
2R 2 2R2.
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有__①__②__③__④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③__④____. 2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比 为_3__:4__，面积比为_9_:_1_6_，外接圆周长比是__3_:_4__，中 心角度数比是__1_:_1__.
8 圆内接正多边形
三条边相等，三个角也相 等（60°）.
正多边形：
四条边都相等，四个角 也相等（90°）.
__各__边__相__等___，_各__角__也__相__等____的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵A⌒B=⌒BC=⌒C⌒D=D⌒E=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
G
圆的半径为R,它的周长为L=na.
边心距r
R
2（
a
2
） ，
2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
D
C
a
B
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
C
D
E
D
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个 圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
五边形是这个圆的外切正五边形.
A P
T
（2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
B
E
O
Q
S
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙OC的切
D
线，
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
中心角 360 n
中心角 E
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F
.O
AOG BOG 180
R
n
设正多边形的边长为a,边数为n， A
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理, F
E
可得边心距 r 42 22 2 （3 m）.
A
O
D
亭子地基的面积
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m 2 ).
2
2
rR BP C
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内百度文库正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地 基的周长和面积(精确到0.1m2). 【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.