初中数学：十字相乘法-教师版

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十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如2x px q ++这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．
十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，
即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，
即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．
十字相乘法
知识结构
知识精讲
内容分析
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【例1】 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（
）． A ．ab
B ．a b +
C ．ab -
D ．()a b -+
【难度】★ 【答案】D
【解析】22()()()x a x b x a b x ab x px q ++=+++=-+． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
【例2】 不能用十字相乘法分解的是（
） A ．22x x +-
B ．23103x x -+
C ．22568x xy y --
D ．242x x ++
【难度】★ 【答案】D
【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1，判断出D ． 【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数．
【例3】 分解因式：（1）256x x ++； （2）256x x -+．
【难度】★
【答案】（1）(3)(2)x x ++；（2）(3)(2)x x --． 【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【例4】 分解因式： （1）2712x x -+； （2）2412x x --； （3）2812x x ++；
（4）21112x x --．
【难度】★
【答案】（1）(3)(4)x x --；（2）(6)(2)x x -+；（3）(6)(2)x x ++；（4）(12)(1)x x -+． 【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例题解析
【例5】 m 为下列各数时，将关于x 的多项式242x mx +-分解因式． （1）1m =-；
（2）19m =．
【难度】★
【答案】（1）(6)(7)x x +-；（2）(21)(2)x x +-． 【解析】（1）242(7)(6)x x x x --=-+；
（2）21942(21)(2)x x x x +-=+-．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【例6】 分解因式：
（1）212x x +-； （2）222064xy y x -++．
【难度】★★
【答案】（1）(3)(4)x x -+-；（2）(16)(4)x y x y --． 【解析】（1）原式=2(12)(3)(4)x x x x ---=-+-；
（2）原式=222064(16)(4)x xy y x y x y -+=--．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【例7】 分解因式：
（1）22815a ab b ++； （2）22752500x y xy --．
【难度】★★
【答案】（1）(5)(3)a b a b ++；（2）(100)(25)xy x -+． 【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【例8】 分解因式：
（1）322718a a b ab +-； （2）3223246xy x y x y --．
【难度】★★
【答案】（1）(9)(2)a a b a b +-； （2）2(3)()xy y x y x -+． 【解析】（1）原式22(718)(9)(2)a a ab b a a b a b =+-=+-；
（2）原式222(23)2(3)()xy y xy x xy y x y x =--=-+．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式．
【例9】 分解因式：
（1）432654a a a --；
（2）642244379a a b a b -+．
【难度】★★
【答案】（1）2(34)(21)a a a -+； （2）2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b +-+-． 【解析】（1）原式222(654)(34)(21)a a a a a a =--=-+； （2）原式2422422222(4379)(4)(9)a a a b b a a b a b =-+=--
2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b =+-+-．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解为止．
【例10】 分解因式：()()2
2
141m m m ---．
【难度】★★
【答案】2(1)(2)m m --．
【解析】原式()()2
222141(1)(44)(1)(2)m m m m m m m m =---=--+=--．
【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止．
【例11】 分解因式：()
2222
abcx a b c x abc +++．
【难度】★★
【答案】()()abx c cx ab ++． 【解析】原式()()abx c cx ab =++．
【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．
【例12】 分解因式：
（1）4245x x +-；
（2）42224x x --．
【难度】★★
【答案】（1）2(1)(1)(5)x x x -++；（2）22(6)(4)x x -+． 【解析】（1）原式222(1)(5)(1)(1)(5)x x x x x =-+=-++；
（2）原式22(6)(4)x x =-+．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【例13】 分解因式：
（1）()()2
29210x y x y ----； （2）()()2214248a b a b +-++． 【难度】★★
【答案】（1）(210)(21)x y x y ---+；（2）(26)(28)a b a b +-+-． 【解析】直接利用十字相乘法，其中把括号内2x y -与2a b +看作整体即可． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【例14】 分解因式：
（1）()2
2234x x --；
（2）()2
229x x --．
【难度】★★
【答案】（1）(3)(1)(3)(1)x x x x -++-；（2）2(3)(1)(23)x x x x -+-+． 【解析】（1）原式22(32)(32)(3)(1)(3)(1)x x x x x x x x =---+=-++-；
（2）原式22[(2)3][(2)3](23)(23)x x x x x x x x =---+=---+
2(3)(1)(23)x x x x =-+-+．
【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【例15】 分解因式：
（1）()()2
221760x x x x +-++；
（2）()()2
222728x x x x +-+-．
【难度】★★
【答案】（1）2(4)(3)(5)x x x x +-+-；（2）2(4)(2)(1)x x x +-+． 【解析】（1）原式222(12)(5)(4)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-=+-+-；
（2）原式222(28)(21)(4)(2)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【例16】 分解因式：
（1）()()2
222222x x x x ----；
（2）()()2
11a b ab +-+．
【难度】★★
【答案】（1）2(2)(1)(22)x x x x -+--；（2）22(1)(1)a ab b ab +-+-． 【解析】（1）原式222(22)(2)(2)(1)(22)x x x x x x x x =----=-+--；
（2）原式2222()()1[()1][()1](1)(1)ab a b a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-=+-+-．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【例17】 分解因式：()()()()2
2
2222261561121x x x x x x ++++++++．
【难度】★★★
【答案】229(41)(1)x x x +++．
【解析】原式2222[2(61)(1)][(61)2(1)]x x x x x x =++++++++ 22(3123)(363)x x x x =++++ 229(41)(21)x x x x =++++
229(41)(1)x x x =+++．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意合并同类项与因式分解要彻底．
【例18】 已知：关于x 的多项式()22124x m x -++可以在有理数范围内分解因式，求m
的值． 【难度】★★★
【答案】1234567813159111213562222
m m m m m m m m ==-=
=-==-==-，，，，，，，． 【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得2421ab a b m =+=+，，根据ab 是有理
数，可得11
1
24a b =⎧⎨=⎩，112m =；
22124a b =-⎧⎨
=-⎩，213m =-； 33212a b =⎧⎨=⎩，313
2m =；
44212
a b =-⎧⎨
=-⎩，415
2m =-； 55
3
8a b =⎧⎨=⎩，55m =； 66
3
8a b =-⎧⎨
=-⎩，66m =-； 77
46a b =⎧⎨=⎩，7
9
2m =；
88
46a b =-⎧⎨=-⎩，8
11
2m =-． 【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．
【例19】 长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，
8/ 17
求它的面积. 【难度】★★★ 【答案】152cm ．
【解析】由长方形周长为16cm ，∴8x y +=． ∵22220x y x xy y --+-+=，
∴2()()20x y x y --+-+=．
因式分解，得：[()2][()1]0x y x y ----+=， 即(2)(1)0x y x y ---+=．
∴208x y x y --=⎧⎨+=⎩或者108x y x y -+=⎧⎨+=⎩，
解得：2112752392
x x y y ⎧
=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=
⎪⎩或者． ∵x ，y 是整数， ∴35x y ==，．
∴该矩形的面积为152cm ．
【总结】利用因式分解以及根据周长求出边长再求面积，考察学生对题中条件的运用和分析能力．
随堂检测
师生总结
十字相乘法的基本步骤和方法是什么？
【习题1】 如果()22530x a b x b x x ++⋅+=--，则b 为（
）
A ．5
B ．6-
C ．5-
D ．6
【难度】★ 【答案】B
【解析】∵1530a b b +=-=-，，
∴6b =-．
【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
【习题2】 填空题：已知：()()256m m m a m b --=++，a =__________，b =__________．
【难度】★
【答案】61a b ==-，或16a b =-=，．
【解析】256(6)(1)m m m m --=-+，所以61a b ==-，或16a b =-=，． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
【习题3】
m 为下列各数时，将关于x 的多项式236x mx ++分解因式．
（1）20m =； （2）13m =-．
【难度】★
【答案】（1）(18)(2)x x ++；（2）(9)(4)x x --．
【解析】（1）22036(18)(2)x x x x ++=++；（2）21336(9)(4)x x x x -+=--．
【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【习题4】 分解因式： （1）2820x x +-； （2）2524x x --；
（3）21227x x ++；
（4）2812x x -+．
【难度】★
【答案】（1）(10)(2)x x +-；（2）(8)(3)x x -+；（3）(9)(3)x x ++；（4）(6)(2)x x --． 【解析】直接利用十字相乘法即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
【习题5】 将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有（
）．
①21x -；
②2242x x -+； ③232x x ++；
④256x x --； ⑤2224x x --； ⑥256x x --． A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
【难度】★★ 【答案】A
【解析】①原式(1)(1)x x =+-； ②原式22(1)x =-； ③原式(2)(1)x x =++；
④原式(6)(1)x x =-+；
⑤原式(6)(4)x x =-+；⑥原式(8)(7)x x =-+．
故包含因式1x -的多项式只有①和②．
【总结】本题主要考查因式分解的综合运用．
【习题6】 填空：当k =______时，多项式237x x k +-有一个因式为__________．（只需
填写一个合理答案即可） 【难度】★★
【答案】参考答案：-4；(34)(1)x x ++
【解析】根据十字相乘法则，只要满足二次项系数与常数项分解后之和为7即可． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数，本题难度较大，注意二次项系数不等于1．
【习题7】 若6x y -=，17
36
xy =，则代数式32232x y x y xy -+的值为__________． 【难度】★★ 【答案】17
【解析】322322217
2(2)()361736
x y x y xy xy x xy y xy x y -+=-+=-=⋅= 【总结】利用因式分解求代数式的值．
【习题8】 分解因式：2612x x -+-． 【难度】★★
【答案】(34)(23)x x --+．
【解析】原式2(612)(34)(23)x x x x =-+-=--+． 【总结】直接利用十字相乘，注意符号问题．
【习题9】 分解因式：
（1）421336x x ++；
（2）42536x x --．
【难度】★★
【答案】（1）22(4)(9)x x ++；（2）2(3)(3)(4)x x x -++．
【解析】（1）原式22(4)(9)x x =++；
（2）原式222(9)(4)(3)(3)(4)x x x x x =-+=-++．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【习题10】 分解因式： （1）22616x xy y +- ；
（2）22524x xy y +-；
（3）221124x xy y -+． 【难度】★★
【答案】（1）(2)(8)x y x y +-；（2）(8)(3)x y x y +-；（3）(3)(8)x y x y --．
【解析】（1）原式(2)(8)x y x y =+-；（2）原式(8)(3)x y x y =+-；
（3）原式(3)(8)x y x y =--．
【总结】直接利用十字相乘法分解因式，注意多项式中含有两个字母，因此分解的因式中也要含有两个因式．
【习题11】 分解因式：()()2
x a b c x a b c +++++．
【难度】★★
【答案】()()x a b x c +++．
【解析】()()2()()x a b c x a b c x a b x c +++++=+++．
【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．
【习题12】 分解因式：
（1）()()2
26227x y x y +++-；
（2）()()2
1556a b a b +-++；
（3）()()2
22812a a a a +-++．
【难度】★★
【答案】（1）(29)(23)x y x y +++-；（2）(7)(8)a b a b +-+-；
（3）(3)(2)(2)(1)a a a a +-+-．
【解析】（1）原式(29)(23)x y x y =+++-；（2）原式(7)(8)a b a b =+-+-；
（3）原式22(6)(2)(3)(2)(2)(1)a a a a a a a a =+-+-=+-+-．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【习题13】 分解因式： （1）2673x x --；
（2）22935x x --；
（3）2253x x --． 【难度】★★
【答案】（1）(23)(31)x x -+；（2）(25)(7)x x +-；（3）(21)(3)x x +-． 【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解，综合性较强．
【习题14】 分解因式：()()2
2222848a a a a +-++．
【难度】★★
【答案】2(4)(3)(2)(1)a a a a +-+-． 【解析】()()2
2222848a a a a +-++
22222[()14()24]a a a a =+-++ 222(12)(2)a a a a =+-+-
2(4)(3)(2)(1)a a a a =+-+-．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【习题15】 分解因式： （1）()2
22416x x +-；
（2）()()2
2
22321233x x x x ++-++．
【难度】★★
【答案】（1）22(2)(2)x x -+；（2）2(2)(1)(554)x x x x -+++．
【解析】（1）原式2222(44)(44)(2)(2)x x x x x x =+-++=-+； （2）原式2222(321233)(321233)x x x x x x x x =++---+++++ 22(2)(554)x x x x =--++
2(2)(1)(554)x x x x =-+++．
【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意判断哪些是无法十字相乘的二次三项式．
【习题16】 分解因式：()()2
234x x x +++-．
【难度】★★
【答案】(21)(2)x x ++．
【解析】方法一：原式222564252(21)(2)x x x x x x x =+++-=++=++；
方法二：原式()()23(2)(2)(2)(32)(2)(21)x x x x x x x x x =++++-=+++-=++．
【总结】本题有两种方法，一是先拆开再利用十字相乘法，二是先利用公式再提取公因式．
【习题17】 分解因式：()()()()2
2
12112x y x y x y x y +++-+-． 【难度】★★★
【答案】()()553x y x y ++．
【解析】原式()()()()324x y x y x y x y =++-⋅++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()553x y x y =++． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意最后合并同类项．
【习题18】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-． 【难度】★★★
【答案】2(2)(1)(2)x x x x +-+-．
【解析】原式()2
223()10x x x x =+++-22(2)(5)x x x x =+-++2(2)(1)(2)x x x x =+-+-．
【总结】本题主要考查了“换元法”的思想，将2x x +看作一个整体，再利用十字相乘法进行因式分解．
【习题19】 已知：关于x 的多项式236x mx ++可以在有理数范围内分解因式，求m 的值． 【难度】★★★
【答案】123456783737131315152020m m m m m m m m ==-==-==-==-，，，，，，，． 【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得36ab a b m =+=，，根据ab 是有理数， 可得11
1
36a b =⎧⎨=⎩，137m =；
22
1
36a b =-⎧⎨
=-⎩，237m =-；
33
2
18a b =⎧⎨=⎩，320m =；
44
2
18a b =-⎧⎨
=-⎩，420m =-； 55
3
12a b =⎧⎨=⎩，515m =；
66
3
12a b =-⎧⎨
=-⎩，636m =-； 77
4
9a b =⎧⎨=⎩，713m =；
88
4
9a b =-⎧⎨
=-⎩，813m =-． 【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．
课后作业
【作业1】 多项式23x x a -+可分解为()()5x x b --，则a ，b 的值分别为（
）．
A ．10和2-
B ．10-和2
C ．10和2
D ．10-和2-
【难度】★ 【答案】D
【解析】由223(5)5x x a x b x b -+=-++，可得：553a b b =+=，，所以2b =-，10a =-． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
【作业2】 分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是（ ）．
A ．()()2
21320x y x y +-++ B ．()()2
221320x y x y +-++
C ．()()221320x y x y ++++
D ．()()2
2920x y x y +-++
【难度】★ 【答案】A
【解析】()()()()()()2
422542521320x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题主要考查因式分解与多项式乘法间的关系．
【作业3】 分解因式： （1）21348x x +-；
（2）21772x x ++．
【难度】★
【答案】（1）(16)(3)x x +-；（2）(9)(8)x x ++．
【解析】直接十字相乘即可． 【总结】直接利用十字相乘．
【作业4】 分解因式： （1）2672x x -+；
（2）2121115x x -- ．
【难度】★★
【答案】（1）(32)(21)x x --； （2）(35)(43)x x -+．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解．
【作业5】 分解因式： （1）221112x xy y --；
（2）2245a ab b --．
【难度】★★
【答案】（1）(12)()x y x y -+； （2）(5)()a b a b -+．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．
【作业6】 分解因式： （1）2282615x xy y +-； （2）22232x xy y -++．
【难度】★★
【答案】（1）(415)(2)x y x y +-；（2）(2)(2)x y x y -+-．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．
【作业7】 分解因式：42816x x -+． 【难度】★★
【答案】22(2)(2)x x -+．
【解析】422222816(4)(2)(2)x x x x x -+=-=-+、 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
【作业8】 已知221547280x xy y -+=，求x
y
的值． 【难度】★★★
【答案】74
35
；．
【解析】∵22154728(37)(54)x xy y x y x y -+=--， ∴(37)(54)0x y x y --=．
∴37x y =或者54x y =．
∴
73x y =或者45
x y =． 【总结】利用因式分解求解方程，注意多解情况以及解是否满足题意．
【作业9】 分解因式：633619216x x y y --． 【难度】★★★
【答案】3333(27)(8)x y x y -+（上海教材立方公式不考查）
或2222(3)(39)(2)(24)x y x xy y x y x xy y -+++++
【解析】原式33332222(27)(8)(3)(39)(2)(24)x y x y x y x xy y x y x xy y =-+=-+++++． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底，有能力的学生可以鼓励其用立方公式．
【作业10】 分解因式：()()2
222483482x x x x x x ++++++．
【难度】★★★
【答案】()()()
24258x x x x ++++．
【解析】原式()()
2
248248x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++++++⎣⎦⎣⎦
()()226858x x x x =++++
()()()24258x x x x =++++．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．。