第二章 波浪理论

z
z d
• 自由面运动学边界条件：
• 通常以余弦函数来表示波形，
•
处
• 三 几个特征量 • 1 波浪周期 • 2 波长和波数
• 3 波浪频率 • 4 波速 • 5 色散关系
k 2
L
L gT 2 tanh 2 d
2
L
• 四 水质点速度和加速度分布
•
或
•
z d
时， u gkH cosh k(d d) gkH 1
2 sinh kd
2
2
• 六 动压力
• 一阶动压力
p



t

1 2


2

gz

p0
• 二阶动压力
p2

1 2


2
• 七 波能 • 1 动能
• 2 势能
2-3 stokes 波
• 线性波理论 H / L 0
• 有限振幅波 H / L
• 振幅有限波
•
stokes波理论
)
[


3
B33
5 (B35
B55 )]
L
d L0
来自百度文库

d L
thkd
[1


2C1
4C2 ]
L0

gT 2
2
k cos(kx t) ( 2 4B24) cos 2(kx t) (3B33 6B35) cos 3(kx t) 4B44 cos 4(kx t) 5B55cos 5(kx t)
f3
(
d L
)

3 16
1
8ch6kd sh6kd
• a为依赖于波高H和kd的参数，由下式确定：
H

2a

2
2 L2
a3
d f3( L)
• 2 速度势


cL
2
[ F1chk ( z

d ) sin


1 2
F2ch2k ( z

d ) sin
2

1 3
F3ch3k
(
z

d
)
sin
3]
表示波浪沿z轴方向传播，不合物意。
• 只有
• （2-23）（2-24）式写为：
• 相应的通解为：
• 即 (x, z,t) Y() Z(z) 的通解为： (x, z,t) (A1 cosh kz A2 sinh kz)(A3 cosh k A4 sin k)
• 海底条件： 0
SF
c
Z
x
X
S∞
SB
S∞
SD
一、Laplace方程
v
gV 0
v V
g 0 2 0
• 二、Bernoulli方程 代入
由于 0
得：
即：若求得
通过BMFvver((nFM1o,1F,uM2,l2lF,i3M方) 3)程SB可pnvpd得(srv流nv)场ds 中压力p SB 可得船体所受流体作用力和力矩（载荷）
其它形式无穷远条件
(0, 0, 0) at S
lim (0, 0, 0)
R0
• 4 求解水域波浪问题的定解问题
2 0
0
z


1
v
(V

1

)
g
2
v
( V ) gz 0
(0,0,0)
在流体域内
z d
2
L
16sh4kd
L

gT 2
2
thkd [1
(
2 a
L
)2
14 4ch2 2kd ( 16sh4kd
)]
• 三阶波波长比线性和二阶波波长大 • 三阶波波速比线性和二阶波波速大
• 五阶波 • 相应系数据公式计算或查表（五阶stokes波系数表）
• 波长： • 波面抬高
H
d

(
1 d
d
)
sin
2
质量迁移：一个周期 T
xT

2
2
( H )2C L
ch2k(z0 sh2kd
d
)
T
平均迁移速度
U

xT
/T

2
2
(H L
)2 C
ch2k(z0 d ) sh2kd
• 深水时：
U

2
2
(H L
)2C
ch2k(z0 sh2kd
d)

H2 8
k 2c0e2kz0
• 在水面 z0 0 ，
H cosh k(z0 d ) 2 sinh kd
2
z0 0
时，短轴 H 长轴 H cosh kd H coth kd
2
2 sinh kd 2
3 d ，短轴为：H sinh k(z0 d) H
2 sinh kd
2
长轴为：H cosh k(z0 d) H coth kd H

1
2


kH 8
2
coth
2kd

H 2
cos

kH 8
2
coth
2kd (1
3 2 sinh 2
kd
) cos 2
• 4 波长：二阶stokes波长与线性波波长相同
gT 2
2 d
L tanh
2
L
5 水质点质点运动轨迹
x x0

x0

H 2
ch(z0 d) sin sh kd
z
z
在无穷远处
2-2 线性波理论
• 对于XZ平面内的二维波 海底为平面，水深为d，波浪沿X正向传播
z c
边值问题：
x
d
• 一 自由面条件线性化
摄动展开：假定波高波长比 H/L= 为小参数

n, n1

n , n1
n nn
n n n
• 三 边界条件
流体边界：
自由面 SF
海底
SD
S∞
（物面） SB
无穷远（虚拟）S
1、自由面条件
波面：z (x, y,t)
a 不可穿透条件：
对上式求全微分：
由
导得
SF
c
SB SD
Z X
S∞
• 由Bernoulli方程
在自由面上 p p0 可得：
• 2、海底条件 • 3、物面条件
• 4 远方条件（辐射条件）
•
椭圆余弦波理论
•
流函数波理论
•
摆线波理论
• 孤立波
• 驻波理论
• 破波理论
• 不规则波
微幅 波幅有限
• 1 概述
Stokes二阶波
• 1847年，stokes提出来 H / L 决定波形
• 波面：峰窄谷坦
• 水质点的运动轨迹：不再为封闭的椭圆轨迹线运动，波
传播浪方向有位移， 称为“质量迁移”。其运动近似于 椭圆运动的轨迹，
5阶stokes波算例
• 已知：水深d=16m，波高H=4.91m，周期T=11m，试确定stokes5
阶波波长L和波速c，波面 ，水质点最大水平速度umax 和最大水
a 平加速度 x max 沿垂线的分布。
• 解如下方程：
H
d

(
1 d
)
[

3B33


5
( B35
B55 )]
L
第二章 波浪理论
z
z
c
H
x
L d
H
t
T d
空间描述
时间描述
• 波浪的描述 H, L, d或H, T, d • 波浪理论：用流体力学基本规律揭示水波 运动
的内在本质
2-1 势函数及其遵循的规律
• 理想流体：无粘、无旋
无旋
uv V 0
不可压缩流体： 连续性方程：
动量方程：
0
v gV 0
d L0

d L
thkd[1


2C1


4C2
]
• 得波长L=130.35m，系数 0.1099
•
波速c= L /T 11.85m / s ，波数 相对水深： d L 0.1228
k 2 L 0.0482
根据相对水深查stokes5阶波系数表或据系数公式计算各系数
B22 2.3752 B33 5.2092 B44 12.2820 B24 2.6003 B35 1.1124 B55 31.4216 A11 1.1765 A22 0.71886 A35 0.80561 A13 4.6672 A24 3.9318 A44 0.034297 A15 9.8128 A33 0.29856 A55 0.060405
u 11.85[0.12294 cosh ks cos(kx t) 0.01622 cosh 2ks cos 2(kx t) 0.00114 cosh 3ks cos 3(kx t) 0.00004 cosh 4ks cos 4(kx t)
• kx-wt=0时，
k cos(kx t) ( 2 4B24) cos 2(kx t) (3B33 6B35) cos 3(kx t) 4B44 cos 4(kx t) 5B55cos 5(kx t)
• t=0时波面抬高
1 [0.1099 cos(2 x ) 0.02831(4 x )]
thkd
0.142thkd 1 thkd 7
此时波峰顶角为120度。 实际观测深水极限波陡
( H0 L0
)max

1 10
Stokes三阶波
• 1 波面方程
a cos a2
L
f2
(
d L
)
cos
2


2a3 L2
f3
(
d L
)
cos
3
f2
(
d L
)

(2

ch2kd )chkd 2sh3kd
2 cosh kd
2 cosh kd
• d
w gkH sinh k(d d ) 0
2 cosh kd
时，z较大时，w 0
• 五 水质点位移
• 水质点的运动轨迹是一椭圆 水平方向为长轴，垂直方向为短轴
1 z0 d 时， sinh k(z0 d) 0
水质点水平振动,长轴为
F1

2 a
L
1 shkd
( 2 a )2
L
(1 5ch2kd )ch2kd 8sh5kd
F2

3 4
( 2 a )2
L
1 sh4kd
F3

3 64
(2 a
L
)3
(11 2ch2kd ) sh7kd
• 3 波速和波长
c2 gL thkd[1 ( a )2 (14 4ch2 2kd )]
H 2
2
H L
1 sh kd
[3 4
ch2k(z0 sh2kd
d)

1]sin 2 2

2 2
(
H L
)2
C
ch2k(z0 sh2kd
d
)
t
z z0
H z0 2
s h(z0 d ) cos sh kd
H 2
3
8
H L
sh2k (z0 sh4 kd
0.0482
L
L
0.0069(6 x ) 0.0018(8 x ) 0.0005(10 x )
L
L
L
• X/L每隔0.05取值，波形
u c[( A11 3 A13 5 A15) cosh ks cos(kx t)
x
2(2 A22 4 A24) cosh 2ks cos 2(kx t) 3(3 A33 5 A35) cosh 3ks cos 3(kx t) 44 A44 cosh 4ks cos 4(kx t) 55 A55cosh 5ks cos 5(kx t)
U

H2 4
k 2c0
表明：迁移速度在自由水面处最大，平均迁移速度随深 度按指数规律减小。
• 6 破波极限 波陡 H / L增加，波峰越尖锐， 波陡增至某一极限时，波峰附近出现波面破碎，出现浪花。 波峰附近水质点最大水平速度和波速相等时出现破碎。 米西给出极限波陡：
(H L
)max

(
H0 L0
)max
代入自由面运动学和动力学边界条件得 n=1时：

波面方程：
• 二、线性边值问题的分离变量法 定解问题:
z c
x
d
求解 (x, z,t) 引入周期性关系式 令
(x, z,t) Y () Z(z)
• 则Laplace方程必须变为：
• m为任意常数，令
当
时，（2-24）式为：
其通解为： Z (z) A1eikz A2eikz


kH 8
2
coth
2kd (1
3 2 sinh 2
kd
) cos
2
• 二阶stokes波由线性波和二阶波组成,另有一水面下沉量
• 3 一阶动压力 • 二阶动压力
p



t

1 2


2

gz

p0
p1

g
H 2
cosh k(z d ) cosh kd
• 动压力
p p1 p2
u umax 11.85[0.12294cosh ks 0.01622cosh 2ks 0.00114cosh 3ks 0.00004cosh 4ks
• S取不同的值，得u随s的分布
•
同理，ax

u t
随s的分布
• 1 概述
2-4 椭余波
• 波形不仅与 H / L 有关，还与水深H / d 有关 • 水深减小，海底对波形的影响增加。 • 浅水波理论：
• 波形 • 水质点运动轨迹
• 2 二阶stokes波分析 • 2 定解问题（参考竺艳蓉《海洋工程波浪力学》）
• 假定 • Z=0
2


kH 8
2
coth
2kd

kH 8
2
coth
2kd (1
3 2 sinh 2
kd
) cos
2

1
2


kH 8
2
coth
2kd

H 2
cos