第二章 控制系统的数学描述

说明：
1、n为系统的阶数，对应系统中有n个等效独立储能元件； 2、对于因果系统，即系统的响应一定不会发生在激励作用前， 一定有n ≥ m ； 3、在微分方程中，输入总是写在等号的右侧，输出总是写在等 号的左侧，不能互换； 、 u (t 中的自变量 ) 4、 t往往不再写出。 y (t )
性质：线性系统具有可加性。
C0
−t
图2.1.2 RC 电路
=C
t≥0
这种描述不直观，通常画出函数曲 线，可用Matlab来画图。
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拉氏变换
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2.2.2 非齐次微分方程的解
对零状态非齐次微分方程 y ( n ) + a n−1 y ( n −1) + ⋯ + a1 y (1) + a0 y = f (t ) 初始条件 y ( n −1) (0) = y ( n −2 ) (0) = ⋯ = y (1) (0) = y(0) = 0 若f(t)连续，则方程有唯一解，实际 f(t)有时不连续，如阶跃信 号，在时域中无法求解，普遍的求解非齐次微分方程的方 法是借助Laplace变换。 Laplace变换的微分定理：若 F ( s ) = L[ f (t )] ，则有： 对于零状态非齐次微分方程，两边作 Laplace变换有：
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u(t)
g(t)
图2.1.1 系统的示意模型
y(t)
用于描述图2.1.1所示模型最一般的常微分方程的形式是：
⎛ dy d 2 y dny⎞ F⎜ ⎜ u (t ), y, dt , dt 2 ,..........., dt n ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠
改写成： a n (t ) y (Baidu Nhomakorabean ) (t ) + a n −1 (t ) y ( n−1) (t ) + ......... + a1 (t ) y (1) (t ) + a 0 (t ) y (t ) = u (t ) 称为线性常微分方程 。 若系数都为常数，则可改写为：
2.2 常微分方程的解
y ( n ) + a n −1 y ( n−1) + ......... + a1 y (1) + a0 y = f (t )
初始条件：y (0), y (0),...... y (0) 若 f (t ) = 0 ，称为齐次微分方程。 当初始条件不全为零时，称齐次微分方程的解 y h (t )为齐 次解，它是对控制系统的零输入响应的描述。 若 f (t ) ≠ 0 ，称为非齐次微分方程。 当初始条件全为零时，称非齐次微分方程的解 y p (t ) 为特 解，它是对控制系统的零状态响应的描述。 当初始条件不全为零时，称非齐次微分方程的解 y(t ) = y h (t ) + y p (t ) 为全解，它是控制系统零输入响应和零状态响应的和。 性质：线性微分方程的解满足迭加性。
dt
0
上式描述了如图所示RC电路在输入电压 u的激励下，输出电压uo变化的规律。
图2.1.2 RC 电路
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C的量纲为[时间][电流]/[电压]=[时间]/[电阻]，RC的 量纲是[时间]， duC 的量纲是[电压]。
RC
若改写前式得： du 0 + 1 u = u 0 dt T T 间]。
第二章 控制系统的 数学描述
张益男
� 2.1 用常系数线性常微分方程描述单输入、单输 出线性时不变控制系统 � 2.2 常微分方程的解 � 2.3 用传递函数描述线性控制系统 � 2.4 动态结构框图 � 2.5 典型激励信号 � 2.6 基本单元 � 2.7 利用Matlab的Simulink对系统进行仿真
描述只有两个独立储能元件的系统的运动的微分方程是 二阶微分方程，因此，称这样的系统为二阶系统。 例2：RLC串联电路 u为输入，电容上的 u o 为输出； L为线性电感，用 L di = u L 来描述； dt 来描述。 C为线性电容，用 1 idt = u C ∫ C 由电压定律得： u L + u R + uC = u 代入得： d u du
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数学模型的关系
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2.1 用常系数线性常微分方程描述单 输入、单输出线性时不变控制系统
2.1.1 常系数线性常微分方程 � 定义：
控制系统中总有储能元件，如电感、电容等。若要改变系 统的运动状态，就必然会导致系统中储能元件能量的变 化，而能量的变化需要时间。时域中，对这样过程的数学 微分方程 。 描述，常用 描述，常用微分方程 微分方程。 偏微分 若微分方程含有两个和两个以上的自变量，则称为 若微分方程含有两个和两个以上的自变量，则称为偏微分 方程 。若只有一个自变量，则称为 常微分方程 。 方程。若只有一个自变量，则称为 。若只有一个自变量，则称为常微分方程 常微分方程。 • 对控制系统运动规律的描述，自变量只有时间 t，所以描 述控制系统的微分方程通常总是常微分方程。
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2.1.2 一阶系统举例
描述只有一个独立储能元件的系统的运动的微分方程是 一阶微分方程。由此称这样的系统为一阶系统。 例1：RC电路举例 u为输入量， uc（电容电压）为输出量； R为线性电阻，用 Ri = u R 来描述； 1 C为线性电容，用 ∫ idt = uC 来描述。 C 由电压定律得：u R + u C = u du 代入得： RC 0 + u = u
y h (t ) = C1e λ1t + C 2 e λ2t + ⋯ + C n e λnt
{Ci ; i = 1,2,⋯ n} 是由初始条件决定的待定系数。 其中，
下面求Ci，对解依次求一次、二次 …n-1次微分，令 t=0，代入初始条件可得出。
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F t=0时 例3：RC电路中，R = 1Ω, C = 1，在 刻，电容上的电压u C (0) = u C 0 ，输入 u=0，求t=0时刻以后，电容上的电压 的变化规律。
( n −1)
(0 )
可得： 对y(s)做Laplace反变换就得到了零状态非齐次微分方程的解 :
y( s) =
f ( s) s n + a n −1 s n −1 + ...... + a1 s + a 0
y p (t ) = L−1[ y ( s)]
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例4：RC电路中（如例 3），设 R = 1Ω, C = 1F ,在t=0时刻，电 容上的电压 uc(0)=0，输入为1(t)V（为单位阶跃函数）， 求t=0时刻以后电容上的电压 u0的变化。
解：之前解得：
RC
du 0 + u0 = u dt
du 0 代入得： + u 0 = 0 初始条件： u 0 = u C 0 dt 特征方程为：λ + 1 = 0 特征根为： λ = −1
通解形式为： u 0 (t ) = Ce 代入初始条件为： u 解为： u 0 (t ) = u C 0 e − t
y ( n ) (t ) + a n −1 y ( n −1) (t ) + ......... + a1 y (1) ( t ) + a 0 y ( t ) = bm u ( m ) (t ) + bm −1u ( m −1) (t ) + ...... + b1u (1) (t ) + b0 u ( t )
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分析法建立系统数学模型的几个步骤
� 建立物理模型。任何元件或系统实际上是很复杂的，难以 作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后 的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件 的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理 的物理模型。 � 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模 型时要求） � 列写原始方程。利用适当的物理定律 ——如牛顿定律、基 尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） � 消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模 型，写出最终的微分方程。
a n y ( n ) (t ) + a n −1 y ( n −1) (t ) + ......... + a1 y (1) (t ) + a 0 y (t ) = u (t )
称为常系数线性常微分方程 。
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若控制系统为单输入、单输出线性时不变系统，它的运 动可用以下常系数线性常微分方程描述：
s n y ( s ) + a n −1 s n −1 y ( s ) + ⋯ + a1 sy ( s ) + a 0 y ( s ) = f ( s )
∂ n f (t ) n n −1 n− 2 L[ ] = s f ( s ) − s f ( 0 ) − s f n ∂t
(1)
(0) − ⋯ − f
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(1)
( n −1)
2.2.1 齐次微分方程的解
n阶齐次微分方程有 n个线性独立的解，y h (t )是这n个独 立线性解的和。
λt y ( t ) = e 设 h ，代入方程得：
λn + a n −1λn −1 + .⋯ + a1λ + a 0 = 0 称为系统的特征方程，
为一个n元一次代数方程。 称 λn + a n −1λn −1 + ⋯ + a1 λ + a 0 为系统的特征多项式， 求解特征方程得解： {λi ; i = 1,2, ⋯ n ，称为特征根，解可 } 为实数，也可为复数。 微分方程的解为：
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� 时不变性 若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励f(t-t0)产生的响应 即为y(t-t0)，此性质称为不变性，也称定常性或延迟性。 它说明，当激励 f(t)延迟时间t0时，其响应y(t)也延迟时间 t0，且波形不变。 � 微分性 若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励f'(t)产生的响应即 y’(t),此性质即为微分性。 � 积分性 若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励f(t)的积分产生的 响应即为y(t)的积分。此性质称为积分性。
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� 要研究各种物理量的变化，必须把它们彼此之间互相作用 的关系和各自的变化规律用数学形式描述出来 ——数学模 型。 � 定义： � 数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式，舍弃 了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质。 � 描述控制系统的数学模型的形式不止一种，例如 时域内 （微分方程、状态方程等）、复数域（传递函数）、频域 （频率特性），其它（如方框图、信号流图等） ，但是各 种数学描述方法的共同基础是微分方程。
dt
此式量纲是[电压]/[时
注意：
1、在列写微分方程时，必须明确取哪个物理量为输 入量，哪个物理量为输出量，输出在左，输入在右。 2、在书写微分方程时，必须注意微分方程量纲的正 确性。在微分方程中输入量和输出量的量纲可以不一 样，但微分方程中每一项的量纲应该是一样的。
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2.1.3 二阶系统举例
2
LC
o
dt
2
+ RC
o
dt
+ uo = u
2.1.4 高阶系统举例
描述有n个独立储能元件的系统的运动的微分方 程是n阶微分方程。当时，称n阶微分方程为高 高阶系统 。 阶微分方程，由此称这样的系统为 阶微分方程，由此称这样的系统为高阶系统 高阶系统。
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图2.1.6 RLC 串连电路
若u1(t)激励时，系统输出为y1(t) ；若u2(t)激励时，系统输出为 y2(t) ，则当u(t)=a1u1(t)+a2u2(t)激励时，系统输出y(t)满足：
y (t ) = a1 y1 (t ) + a 2 y 2 (t )
其中a1、a2为常数。
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线性时不变系统的性质
� 齐次性 若激励f(t)产生的响应为 y(t)，则激励Af(t)产生的响应 即为Ay(t)，此性质即为齐次性。其中 A为任意常数。 � 叠加性 若激励 f1(t)与f2(t)产生的响应分别为 y1(t)， y2(t)，则 激励f1(t)+f2(t) 产生的响应即为 y1(t)+y2(t)，此性质称为叠 加性。 � 线性 若激励 f1(t)与f2(t)产生的响应分别为 y1(t)， y2(t)，则 激励A1f1(t)+A2f2(t) 产生的响应即为 A1y1(t)+A2y2(t)，此 性质称为线性。
du 0 + u 0 = 1 ⋅ (t ) 解：零状态非齐次微分方程 dt