圆的切线和切点弦方程的公式求法

圆的切线和切点弦方程的公式求法

1圆的切线的求法

圆的切线方程的求法，除一般解法外，本文探索一种公式法求切线，使求切线的方法更加完美。

定理：已知点p (m n),圆C:( x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2。当

p( m，n )，在圆 C 上时，过p 的切线方程为：( m-a)( x-a ) +( n-b ) ( y-b )= r2

当p (m n)在圆C外时，若丨m -a |^r时，过点p的两条切线的斜率为：

若|m-a | = r时，过点p的一条切线的斜率不存在，切线方程为x=m，

另一条切线的斜率为：

证明：1)当p (m n)在圆C上时，易得过p的圆的切线方程为：( m-a)( x-a ) +( n-b )( y-b ) = r2 。2)当p( m，n) 在圆C外时，(m-a) 2+ (n-b ) 2>r2。设过P与C相切的直线的斜率为K,则有：y-n=k (x-m)即：kx-y-mk+n=0

由于圆心到直线kx-y-mk+n=0 的距离等于圆的半径，得

即：

两边平方，整理得[ ( a-m) 2-r2]k2+2 ( n-b )( a-m) k+ (n-b ) 2-r2=0 (*) 若|m-a|zr 时，△ =4r2[ ( m-a) 2+ (n-b )

2-r2] ，所以

特别地，当a=b=O时

若|m-a | =r时，一条切线的斜率不存，切线方程为x=m,

另一条切线的斜率由方程(*)式得。特别地，当a=b=0时，例1从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向该圆引切线，求切线方程。

解T a=b=1, r=1 , m=2 n=3,且|m-a | =r 二圆的一条切线为

x=2，

另一条切线的斜率由公式得K==

所以，另一条切线为y-3= (x-2 )即3x-4y+6=0

例2 ：已知圆C： (x-a)2+(y+3) 2=9及圆外一点P(2，

2),求过点P的圆的切线方程。

解.a=2, b=-3 , r=3 , m=2 n=2 且m - a 工r

二由公式得k=±

二圆的切线方程为y- 2=±( x-2 ) 即4x-3y-2=0 或

4x+3y-2=0

2切点弦方程的求法

问题：从圆外一点作圆C：(x-a) 2+(y-b) 2=r2 的切线

PA PB A B为切点，求直线AB的方程。

解：设切点坐标为 A (x1, y1) , B (x2, y2)，则过A、B 点的切线方程为：

(x1-a)(x-a)+(y1-b )(y-b)=r2 (1)

(x2-a)(x-a)+(y2-b )(y-b)=r2 (2)

由p (m, n)即在PA上，又在PB上，故有:

( x1-a ( m-a +( y1-b ( n-b =r2 3

( x2-a ( m-a +( y2-b ( n-b =r2 4

(3) ( 4)表明，A、B点的坐标适合方程( x-a ( m-a

+( y-b ( n-b =r2

故直线AB 的方程为：(m-a)( x-a ) +(n-b ) ( y-b ) =r2 利用上述结论，可求切点弦的方程。

例3从圆(x-1 ) 2+ (y-1 ) 2=1外一点P (2, 3)，向该圆引切线，求过切点的直线方程。

解：由于a=1，b=1，m=2 n=3,根据切点弦方程(*)式可

得( x-1 )( 2-1 )+( y-1 )( 3-1 )=1 即：x+2y-4=0

3圆的切线方程与切点弦方程的关系

根据1、2 可得下面的结论：

已知圆(x-a ) 2+ (y-b) 2=r2及点P (m n)，当P在圆

上时，过P的切线方程为：(m-a ) (x-a ) + (n-b ) (y-b ) = r2 当P在圆外时，过P作圆的两条切线，过切点的直线方程为：m-a ( x-a +( n-b ( y-b = r2