北航考研通信类大综合之电磁场(北航内部资料)第7讲静电场标量位

12
点电荷电场
E (rP ) =
qrQP 4πε 0 rQP
3
ˆ = irQP
2
q 4πε 0 r 2QP
2
rQP = rQP = ( xP − xQ ) + ( y P − yQ ) + ( z P − zQ )
2
∇P
1 rQP
ˆ = −irQP
q 4πε 0 rQP
1 rQP
2
E (rP ) = −∇ P
(
)
(
)
q ˆ 2d cos α cosθ ˆ 2 sin α ir (V / m) = + iϑ 3 2 4πε 0 s rs rs
21
电偶极子的电场
∵ rs >> d
∴ cos α ≈ 1
rs sin α ≈ d sin θ 2
电偶极子的电场为
E (r ) =
p
4πε 0 rs
20
电场
1 d ˆ ˆ irs cos α + iϑ sin α 2 + 3 cosθ r q s rs E (r ) = 4πε 0 1 d − i cos α − i sin α − cosθ ˆr ˆϑ r2 r3 s s s
(iˆr 2 cosθ + iˆϑ sin θ )(V / m) 3
s
22
先求标量电位, 先求标量电位,后求电场
q 1 1 Φ (r ) = Φ + (r ) + Φ − (r ) = − (V ) 4πε 0 r+ r−
1 = 1 1 1 + d cosθ ≈ r+ r − d cosθ rs 2rrs s 2 1 1 − d cosθ 1 = 1 ≈ r− r + d cosθ rs 2rrs s 2
参考点的选取可以使空间各点的电位唯一
离开参考点谈某点的电位是没有意义的
对于分布在有限域内的带电系统， 对于分布在有限域内的带电系统， 零电位参考点取在无穷远处
10
位于原点处的点电荷的标量电位
ˆ E (r ) = irs
q 4πε 0 rs
2
(V
1 2 rs
m)
∇
E (r ) = −∇( 4πε 0 rs ) (V m )
6
保守场的梯度
∫ ∇ f ⋅ ds = ∫
c
p1
p0
df = f ( p1 ) − f ( p2 )
如何确定标量电位 保守场可以用一个标量场的梯度来表示. 保守场可以用一个标量场的梯度来表示 ？ 静电场为保守场，用一个标量电位表示： 静电场为保守场，用一个标量电位表示：
E (r ) = −∇Φ ( r )
P
E1 ⋅ ds = 0
Φ1(r ) Σ = Φ 2 (r ) Σ
30
导体内没有电流
两导体表面边界条件： 导体表面边界条件：
ε1 , µ1 , σ 1 , Φ1 , E1
J = σE = 0
Φ = 常数
E =0
等位体
ˆ in
ε 2 , µ 2 , σ 2 , Φ 2 , E2
静电场标量位
电子信息工程学院
1
内容与重点
内容：静电场标量位物理意义； 内容：静电场标量位物理意义； 标量位微分方程及边界条件 重点： 重点：通过对静态场中可以得到解析解 的问题的分析，掌握物理概念。 的问题的分析，掌握物理概念。
2
静态场与静电场
• 静态场: 所有电磁物理量与时间无关
• 静电场: 静止电荷分布所产生的场
∫ V rQP2 dVQ + ∫ S rQP2 daQ + 1 E (rP ) = n ˆ ˆ ir λ ( rQ ) iQi p qi QP 4πε 0 + dsQ + ∑ r 2 2 ∫ C rQP Q P 15 i =1 i
ˆ irQP ρ ( rQ )
(V
m ) Φ (rP ) =
q 4πε 0 rQP
(V )
13
点电荷系的标量电位
叠加原理
P
Q3
Qi
ˆ E (rP ) = ∑ irr P) 4= r Φ ( Q πε
i =1
i P
n
∑
qi 2 0 Qi P 4πε 0 rQ P i i =1 Q
1
qin
Q2
(V )
Qn
Qn −1
E (rP ) = −∇ P ∑
W =∫
W =∫
P
P0 (C )
Fe ⋅ ds = ∫
P
P0 (C )
qE ⋅ ds (J )
P P0 (C )
差即为电场 对单位点电 荷作的功
P
= − q Φ P − Φ P0 = q Φ P0 − Φ P
(
P0 (C )
q (− ∇Φ ) ⋅ ds = ∫
) (
q (− dΦ )
)
8
静电场电位的物理意义
∇ ⋅ µ0 H (r ) = 0
ˆ in ⋅ ( µ 0 H 1 − µ 0 H 2 ) = 0
ˆ in ⋅ ( J 1 − J 2 ) + ∇ ∑ ⋅ K = 0
4
∇ ⋅ J (r ) = 0
静态场特性分析
1、静态场，电磁场之间不存在耦合，尽管有 、静态场，电磁场之间不存在耦合，
J (r ) = σ E (r )
27
一般边界条件
标量电位的边界条件： 标量电位的边界条件：一般边界条件 将 E = −∇Φ 带入电场的边界条件中
∂Φ1 (r ) ∂Φ 2 (r ) ε 0 ∂n − ε 0 ∂n Σ = η (r )
∂Φ1 ˆ ˆ E1τ = iτ ⋅ E1 = iτ ⋅ (− ∇Φ1 ) = − ∂τ
E (r )
xoy
= [− ∇Φ(r )] xoy
ˆ = −iz
4πε 0 x + y
2
(
p
2
)
3
2
25
原因： 原因：电场是电位的变化率
标量位的微分方程和边界条件
研究标量位微分方程的原因：积分算式无法计算。 研究标量位微分方程的原因：积分算式无法计算。 电场满足的场方程： 电场满足的场方程：
∇ ⋅ε0E = ρ
ˆ pΣ = inηd d → 0,η → ∞
29
电位边界条件
lim
− Φ2 ΦP − ΦP = Φ P →P 1 2 1∑ 1
P2 → P
∑
= − P2 → P
lim
∫
E2 ⋅ ds + − P →P 1 P2
P
lim
∫
P 1
ˆ irQPη ( rQ )
分布在有限域内的带电系统的标量电位
dVQ + ∫ S rQP daQ + ∫ V rQP 1 Φ (rP ) = n (V λ ( rQ ) qi 4πε 0 + rQP dsQ + ∑ rQi P ∫C i =1
该式可用于计算任何分布于有限域内的电荷系统的 标量电位
−q 4πε 0 r
2 −
ˆ = −i−
(V / m)
E (r ) =
q 4πε 0
(
ˆ i+
1 2 r+
ˆ − i−
1 2 r−
)
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矢量分解
两个单位矢量方向不一致
ˆ i+
ˆ iθ sin α
Z
+q
α
ˆ irs cos α
P
ˆ ˆ ˆ i+ = irs cos α + iθ sin α ˆ ˆ ˆ i− = irs cos α − iθ sin α
E1τ = E2τ
28
用电位方向导数表示的边界条件
∂Φ1 ∂Φ 2 = ∂τ ∂τ
ˆ in
1
P 1
P
ΦP − ΦP = 1 2 2 P P p1 1 =− E ⋅ ds = − E2 ⋅ ds − E1 ⋅ ds p2 P2 P
∫
∫
∫
P2
+η
−η
如果电场有限，且不存在偶极层 如果电场有限，且不存在偶极层
∇× E = 0
E = −∇Φ
2
∇ ⋅ ε 0 E = ∇ ⋅ ε 0 (− ∇Φ ) = −ε 0∇ ⋅ (∇Φ ) = −ε 0∇ Φ = ρ
26
泊松方程
ρ (r ) ∇ Φ (r ) = − ε0
2
在电荷分布为零的区域： 在电荷分布为零的区域： 泊松方程
∇ Φ (r ) = 0
2
拉普拉斯方程
i =1
n
qi 4πε 0 rQi P
14
分布在有限域内的带电系统的电场
ρ ( rQ ) η ( rQ )
dVQ + ∫ S rQP daQ + ∫ V rQP V 1 E ( rP ) = −∇ P n (V / m) 4πε 0 + λ ( rQ ) ds + ∑ qi S ∫ C rQP Q rQi P L i =1
q
1 rs
ˆ = −irs
Φ(r ) =
q 4πε 0 rs
(V )
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位于某点处的点电荷的标量电位
ˆ ˆ ˆ rQ = ix xQ + i y yQ + iz zQ
rP
P
ˆ ˆ ˆ rP = ix xP + i y y P + iz z P
O
rQP rQ
Q
rQP = rP − rQ =
ˆ ˆ ˆ = ix ( xP − xQ ) + i y ( y P − yQ ) + iz ( z P − zQ )
Φ P − Φ P0 = − ∫ E ⋅ ds
P0 P
Φ P0 = 0
Φ P = − ∫ E ⋅ ds = ∫
P0 ( 参考点 )
P
P0 (参考点 )
P
E ⋅ ds
将单位点电荷从参考点移至P点 将单位点电荷从参考点移至 点：外力反抗电场力作的功 电场力作的功
9
电位参考点 ∇(Φ + 常数 ) = ∇Φ (r )
d 2 d 2
Z
+q
P
ϑ
ˆ i+,r+
ˆ irs ,rP
ˆ i−,r−
X
−q
d →0, p =qd(c⋅m)
17
一、直接求电场
E (r ) = E+ (r ) + E− (r )(V / m)
ˆ E + (r ) = i+
ˆ E− (r ) = i−
q
2 4πε 0 r+
(V / m)
q
2 4πε 0 r−
根据梯度的性质，标量电位的等值面与电场垂直。 根据梯度的性质，标量电位的等值面与电场垂直。 电场方向指向标量电位场值减少的方向。 电场方向指向标量电位场值减少的方向。
7
标量电位的物理意义
的电场力 Fe = qE (N ) 电场对电荷所作的功 两点的电位
将一个点电荷在电场中从 P0 点移动到 P 点，电荷受到
3
静态场场定律及边界条件
静态场场定律 静态场边界条件
∇ × E (r ) = 0
∇ × H (r ) = J (r )
∇ ⋅ ε 0 E (r ) = ρ (r )
ˆ in × ( E1 − E 2 ) = 0
ˆ in × ( H 1 − H 2 ) = K
ˆ in ⋅ (ε 0 E1 − ε 0 E 2 ) = η
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ρ ( rQ )
η ( rQ )
点电荷系的标量电位举例
电偶极子的电场与电位 重点:比较两种求解方法 、 重点 比较两种求解方法1、 比较两种求解方法 分别求两个点电荷的电场， 分别求两个点电荷的电场， 叠加得到总场； 叠加得到总场； 2、 2、分别求两个点电荷的 电位，叠加得到总电位， 电位，叠加得到总电位， 通过梯度关系求得总场。 通过梯度关系求得总场。
23
电偶极子的电场
p cosθ Φ (r ) = (V ( ) 2 4πε 0 rs
电偶极子的电场为
E (r ) = −∇Φ(r ) = p 4πε r
3 0 s
(iˆ 2 cosθ + iˆ sin θ )(V / m)
rs
ϑ
24
注意
使用电位求解电场，必须知道全部空间的电位分布， 使用电位求解电场，必须知道全部空间的电位分布， 否则会丢解。例如：在偶极子的对称面上， 否则会丢解。例如：在偶极子的对称面上， (r ) = 0 φ 但如此得到电场为零就错了。事实上， 但如此得到电场为零就错了。事实上，在对称面上的 电场分布为
2、静电场与静磁场是对偶的
以静电场分析为例， 以静电场分析为例，学习分析方法
5
静电场的标量位
对保守场
PHale Waihona Puke Baidu1
∫ A ⋅ ds = function( P , P )
0 1
P0
∇× A = 0
单值标量场梯度的线积分
∫ ∇f ⋅ds
C
只与曲线的起止点
有关，与曲线C的形状无关。 有关，与曲线C的形状无关。
2
使用级数展开
1 = 1 2 2 r+ rs
d 1 = 1 1 1 1 − cos θ ≈ 2 2 2 2 rs r r− rs s d cos θ 1 + 2r

1 − d cosθ 2rs
1 1 + d cosθ ≈ 2 rs rs
rP >> d
r+ = rP − d cosθ = rS − d cosθ 2 2 r− = rP + d cosθ = rS + d cosθ 2 2
d 2 d 2
ϑ
ˆ i+ , r+
ˆ irs , rP
ˆ i− , r−
X
−q
d cos ϑ 2
19
泰勒级数展开
在电场中使用
1 2 r+
1
1 2 r−