小学生数学思维发展

（3）测量思维深刻性的指标 主要包括概括水平和推理水平。例如，概括能力 表现在对数的实际意义的认识，对数的顺序和大 小的理解，进行数的分解和组合的能力。推理能 力主要表现为简单的归纳能力和演绎能力。
（4）测量思维独创性的指标 以自编应用题的数量和难度为指标。
• 实物编题形象编题语词或数字编题 • 模仿编题半独立编题独立编题
实验者把玩具娃娃放到桌子 的不同位置，问儿童：娃娃 看到了什么？
结果发现：4～5岁的儿童选 择的图片与他们个人的观察 角度一样，而并非玩具娃娃 所看到的。7～9岁的儿童随 着以，观察位置的不同得出 不同的观察结果，但是不能 说出三座山之间的关系。 9～10岁的儿童观察三座山 的结果是不一样的。皮亚杰 得到儿童的判断是以自我为 中心的。
（2）从认知水平看, 可依次分为任意性回答、感知 为主水平、表象为主的水平、概念推理为主水平 四种。在这些思维水平中包含着各种认识成分的 交互作用。
（3）儿童在对容积变化的认知错误是混淆面积与 体积概念，分不清楚容积体积与高度，分不清楚 容积变化的数量与空间的相应位置。
• 张增杰等（1985）对5～15岁儿童掌握概率概念的 认知发展作了研究，得到的结果是：
（2）9～11岁左右的阶段，儿童关于整数、小数概 念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌 握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始 形成中。从9岁开始，已部分掌握了小数概念。这 一阶段的儿童对各种数概念系统正在逐步形成， 逐步从二维空间认识图形向三维空间认识图形过 渡。
（3）11～12岁左右的阶段，儿童整数、小数、分 数的概念系统逐步趋向统一。除个别项目外，一 般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。已 逐步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。
（1）7岁以前，基本上没有面积等分概念，8岁后才 出现面积等分概念的萌芽，9～10岁介于萌芽和过 渡阶段。11岁才达到基本掌握。
（2）儿童面积等分概念的认知水平的发展是形与数 的矛盾统一过程。
（3）各年龄儿童认知水平的发展是由直接感知占主 导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的 转化过程。但不论哪种认知成分在某阶段占主导 地位时，常有其它许多种认知成分同时起着作用。
度。 • 思维的独创性：指思维的创造性。
（二）小学生思维品质的研究
1．测量思维品质的客观指标 （1）测量思维敏捷性的指标
以速度和正确度为指标，求出时间与正确率。出 现4种情形：
正确――迅速 正确――不迅速 不正确――迅速 不正确――不迅速 （2）测量思维灵活性的指标 以一题多解的方法数量、一题多变的变化数量为 客观指标。
（4）各年级初试的自编应用题中除表现出一般年龄 特征外，还表现出明显的个别差异。
2. 先模仿，经过半独立性过渡，最后发展到独创编 拟应用题。
表3 各年级被试编拟各类不同独立程度应用题水平
二年级 三年级 四年级 五年级
（1）儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起， 简单概率概念发展加速, 这也许是易于传授概率知 识的时期。
（2）儿童概率概念发展的先后受课题难易的影响。 12岁以上儿童有90%能掌握简单的1/2概率概念， 13岁开始有75%左右能掌握1/3概率概念，而对于 1/6 、2/3概率概念，15岁（7～11岁） • 儿童出现了可逆性和守恒性，因而可以进行群集
运算：
• 组合性：A＜B，B＜CA＜C • 可逆性：A＋B＝CC－A＝B • 结合性：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） • 同一性：任何运算都有一个逆运算与之组合，即
A＋B＝0 • 重复性：质的重复，性质不变
（4）形式运算思维阶段（12岁以后）
年级
完成率
速度标准差
二年级
0.87
1.58
三年级
0.91
2.08
四年级
0.89
2.43
五年级
0.90
2.72
研究2：小学生思维独创性的发展研究
• 独创性指标：独立性、发散性、新颖性。 采用自编题目的方法检测。
1. 实物演示编题、根据图画编题、根据数字材料编 题。然后分析不同年级学生自编应用题的水平， 从而观察不同年级学生的水平差异。
• 林崇德（1981）对小学生数概念及运算能力发展 作了研究。首先，确定小学儿童数概括能力为五 个等级：
（1）直观概括水平：指标是依靠实物、教具或配合 手指头来掌握10以内的数概念；
（2）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实 际意义、数的顺序和数的组成。
（3）形象抽象概括的运算水平：掌握了整数、小数 和分数的实际意义、大小、顺序和组成，能够从 大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握 一些几何体的计算公式和定义。
（4）8～15岁儿童要培养交集概念。 （5）10～11岁要重点发展学生空间能力的关键期。
三、小学数学思维品质的发展
（一）思维的品质的涵义
• 思维的敏捷性：思维活动的速度。 • 思维的灵活性：指思维活动的灵活程度。 • 思维的深刻性：指思维活动的抽象程度和逻辑水
平，以及思维活动的广度、深度和难度。 • 思维的批判性：思维活动中独立分析和批判的程
表1 相同试题测定各年级被试正确迅速运算的成绩
年级 正确率 速算时间 速度标准差
二年级 0.925 9分25秒
1.01
三年级 0.946 7分17秒
1.18
四年级 0.934 5分56秒
1.39
五年级 0.952 4分48秒
1.84
P
相邻两个年级之间差异检验P＜0.01
表2 各年级被试在10分钟内完成本年级试题的情况
过渡到以抽象思维为主的形式，但仍然带有很大 的具体性。 （2）小学生的思维由具体形象思维到抽象逻辑思 维的过渡，是思维发展中的飞跃或质变。在这个 过渡中，存在一个转折时期（四年级，约10～11 岁），这个转折时期就是小学生思维发展的关系 年龄。
（3）小学生逐步具备了人类思维的完整结构，但这 个思维结构还有待于进一步完善和发展。
（3）在相继的发展阶段中有一个不连续的成分，各 水平不同的发展阶段的结构一旦确立就有它的特 点，存在着和其他阶段不同的质的差异。
（4）发展的每一新水平是许多因素的一个新融合， 组成一个新结构，在此之前，各因素还没有构成 系统的联系。
2．儿童发展阶段理论 （1）感知运动阶段（0～2岁）
儿童主要是通过感觉动作图式与外界取得平衡处 理主、客体关系。
• 具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步 形成形式运算结构，即进行命题运算思维，与成 人思维接近，达到成熟的思维形式。所谓命题运 算，就是可以在头脑中将形式和内容分开，可以 离开具体的事物，根据假设来进行逻辑推理的思 维。
（二）朱智贤、林崇德的儿童发展理论
他们通过研究得到一些结论： （1）整个小学阶段，小学生逐步从具体形象思维
（2）10～11岁儿童在数概括能力发展中有显著的 变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概 括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式 的一个转折点。
• 刘范等（1983）对8～15岁儿童关于交集概念的 发展进行了研究，结果表明：小学儿童已具有掌 握简单交集概念 。
• 吕静等（1985）研究了儿童面积等分概念的发展。 研究表明：
逐步具备明确的思维目的性，表现出完整的思维 过程，有比较完善的思维材料和结果，思维品质 的发展使个体表现出明显的差异性，思维的监控 和自我调节能力也在日益加强。
（4）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展 存在着不平衡性。
在整个小学阶段，儿童的抽象思维水平在不断提高， 具体形象成分和抽象成分的关系在不断发生变化， 这是它的发展的一般趋势。但是具体到不同的思 维对象、不同学科、不同教材的时候，这个一般 的发展趋势又会表现出不平衡性。
2．研究案例
研究1：小学生思维敏捷性发展研究（林崇德）
• 研究目的：探明小学生思维敏捷性发展水平。 • 研究方法：测量。 • 研究过程：第一步，使用二年级至五年级学生都
学习过的计算题，测量速算的时间，并统计正确 率；第二步，使用各年级学生本学期所学知识范 围内的习题，在10分钟内进行速算测定。 • 研究结果：
3～4岁儿童只注意到了玻 璃杯的高度，认为细长的 杯子中水多。5～6岁儿童 似乎意识到了必须同时考 虑杯子的高度和粗细，但 无法进行比较。处于具体 运算阶段的8岁儿童认为， 水既没有增加也没有减少， 水量是不变的（守恒性）。
数量守恒。5岁儿童认为 第一个图的数量相等，第 二图的数量不相等。6～7 岁儿童能够正确辨认。
（4）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用，有 着不同质的变化。
（5）启发教育在面积等分概念中，有着一定作用， 在7岁后的有效性才显著增加。
• 沈家鲜等(1984)研究了5～17岁儿童容积概念的 发展，他们选取不同地区的720名被试进行实验。 结果表明：
（1）儿童对容积变化的认知随年龄而增长，儿童 的思维水平既与儿童的年龄大小有关，也与儿童 知识经验的多少以及课题的难易程度等因素有关。
（4）初步代数的概括运算水平：能用字母的抽象 代替数字的抽象，例如能初步列方程解应用题开 始掌握算术范围内的交集与并集思想。
（5）代数命题概括运算：能够根据假设进行概括。
研究结果表明：
（1）小学儿童的数概括发展水平，既表现出比较 显著的年龄特征，又存在着个体差异。7～8岁儿 童基本上属于具体形象概括； 8～10岁儿童从具 体形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童 在三年级就完成了这个过渡；大多数10～12岁儿 童进入初步本质抽象的概括水平。
8 7 6 5 4 3 2 1 0
二年级 三年级 四年级 五年级
实物编题 形象编题 数字编题
图1 各年级学生自编应用题的平均数
（1）小学生自编应用题的能力落后于解答应用题的 能力。
（2）实物编题与图画编题的数量之间没有显著性差 异，图画编题与数字编题之间存在显著性差异。
（3）四年级是自编应用题，即思维独创性发展的一 个转折点。
（3）粗略地说，对概率的认识可以按次分为三步， 认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相 对大小，以数量表示概率。
（二）教育启示
（1）9～11岁，注重发展学生的小数、分数概念， 培养学生的空间能力。
（2）8～10岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括 过渡，因此，要重点发展学生的形象抽象能力。
（3）10～11岁儿童在数概括能力发展中有显著的 变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概 括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式 的一个转折点。因此要培养学生的抽象概括能力。
小学生数学思维发展
喻平
南京师范大学
一、小学生思维发展的相关理论
（一）皮亚杰的思维发展阶段论
1．思维发展的基本假设 （1）认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和
再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它 造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。 （2）发展阶段是按照固定的连续性顺序，一个接一 个出现，它出现的时间可因个人和社会的变化而 不同，但发展的先后顺序不变。
二、小学生数学概念的发展
（一）一些研究 • 刘范等（1981）对我国10个地区959名7～12岁
儿童数学概念的发展情况作了系统研究。选择了 认数、数序和系列 、数的组成、运算和应用等四 个方面作为研究的材料，与学校年级大体相对应 地分为6个年龄组，按照统一的方案进行测验。结 果显示：
（1）7～8岁左右阶段，儿童初步形成三位以内整数 概念系统。对于三、四位数范围内的“相邻数”、 “认写”、“比大小”、“图与数”等项目已能 基本掌握，但对“完成系列”和复杂的须借助推 理的“数的组成”及“应用”，还有一定的困难， 空间观念的发展尚很不完善，一般只能从二维空 间去认知图形。数群观念已基本建立，但部分儿 童在很大程度上还要依靠逐个点数来进行计算， 只能运用数概念解答较简单的应用题。
（2）前思维运算阶段（2～7岁）
• 第一，相对具体性。借助于表象进行思维活动， 还不能进行运算思维。
• 第二，不可逆性。表现为关系是单向的、不可逆 的，不能进行可逆运算，还没有守恒结构。
• 第三。自我中心性。儿童以自我的经验为中心， 只参考自己事物。
• 第四，刻板性。一是在思考眼前问题时，其注意 力还不能转移，还不善于分配；二是的概括事物 的性质时，还缺乏等级观念。