线性规划专题

线性规划专题

【例1】 试求下述线性规划问题的对偶问题

【例2】用对偶单纯形法求解线性规划问题 解：引入松弛变量x1,x2,将问题化为标准型：

()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≤+--≥-++=--+-+++=无限制

43214321432143214321,0,0,32099912285376153432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z ⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧≥≤=+--≤-+-≥-+≥++-++=,0,0495133

932

971

1262085min 32132321321321321y y y y y y y y y y y y y y y y y y W

无限制，⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≤≥+≥++=0,46242min 2

11212121x x x x x x x x x W ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧=≥=+=+--=+----=5

,,2,1046242max 5142132121 j x x x x x x x x x x x W j

二、灵敏度分析

【例3】某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及

A 、

B 两种原材料的消耗，如下表所示。

应如何安排生产，时该工厂获利最多。

设x1,x2分别为计划期内Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量。 这个线性规划问题的模型及求解结果如下。

运输问题

整数规划建模及求解

【例1】某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。

若10个井位的代号为s1,s2, …,s10,相应的钻探费用为c1,c2, …,c10,并且井位选择上要满足下列限制条件： 1. 或选择s1和s7，或选择s8； 2. 选择了s3 或s4 就不能选择s5，或反过来也一样； 3. 在s5，s6，s7，s8中最多只能选两个。 试建立这个问题的整数规划模型。 解：设决策变量

目标函数为

约束条件：

从10个可供选择的井位中确定5个井位探油，则

⎩⎨⎧=否则

井位

选择钻探第01j j s x ∑

==101

min j j

j x c Z ∑

==10

15

j j x

或选择s1和s7，或选择s8可表使为 选择了s3 或s4 就不能选择s5，或反过来也一样，表示为 在s5，s6，s7，s8中最多只能选两个，可表示为

综上所述，该问题的整数规划模型为：

1

,18781=+=+x x x x 1

,15453≤+≤+x x x x 2

8765≤+++x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+++≤+=+≤+=+==∑

∑

==21

,11

,15..min 87655

4875381101101

x x x x x x x x x x x x x t s x c Z j j j j

j

动态规划专题

【例1】机器负荷分配问题：

某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产，设机器在高负荷下生产的产量函数为

g =8u1, 其中u1为投入生产的机器数量，年完好率为a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h =5y ，其中y 为投入生产的机器数量，年完好率为b =0.9。

假定开始生产时完好的机器数量s1=1000台，第5年度结束时完好的机器数量s6=500台，问：每年如何安排机器在高低负荷下的生产，使在5年内生产的产品总产量最

高。

解：设阶段数k 表示年度；

状态变量sk 表示第k 年度初拥有完好机器数； 决策变量uk 表示第k 年度中分配高负荷下生产 的机器数量；

fk (sk ):由资源量sk 出发，从第k 年开始到第5年结束 时所生产的产品的总产量最大值。 则状态转移方程为：

k 段允许决策集合

递推关系式为

()()5

,,2,19.07.01 =-+=-+=+k u s u u s b au s k k k k k k k (){}k k k k k s u u s D ≤≤=0()()()(){}()

()01449.07.058max =∈+-++-+=s f s D u k k k k k k k k k k k k u s u f u s u s f ()500

9.07.0555=-+u s u

u1*=0, f1(s1)=29.333s1-7500

然后顺序反推

∵ s1=1000, ∴ f1(s1)=21833(台)

最优策略为u1*= u2*= u3*= u4*=0, u5*= 4.5s5-2500 s2=0.7 u1*+0.9(s1- u1*)= 0.9 s1=900 (台)

s3=0.7 u2*+0.9(s2- u2*)= 0.9 s2=810 (台) s4=0.7 u3*+0.9(s3- u3*)= 0.9 s3=729 (台)

s5=0.7 u4*+0.9(s4- u4*)= 0.9 s4=656 (台) u5*=4.5×656-2500=452 (台)

前4年应把年初全部完好机器数投入低负荷生产，第5年应把452台完好机器数投入高负荷生产，

这样所得的产量最高，其最高产量为21833台。

【例2】某厂为新一年制定前四个月的生产计划，其每批产品的固定成本为3（千元），每单位产

品生产成本为1（千元），每单位产品每月库存费用为0.5（千元），同时年初和4月底皆无库存，每月产品的需求量分别为2、3、2、4单位，该厂库存容量为3单位，最大生产能力为6单位，试确定费用最小的生产计划。 解：按4个月的顺序分为4个阶段。 sk ：第k 阶段初的库存量； uk ：第k 阶段的生产量； dk ：第k 阶段的需求量。

状态转移方程： 允许条件：

成本：固定成本、变动成本、库存成本。

基本方程：

当k=4时，因要求4月底的库存量为0，即s5=0,有

k k k k d u s s -+=+13

03,,6min 41≤≤⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-+-≤≤-∑=k i k k k i k k k s s d s d u s d ()⎩⎨⎧=〉++=05.005.03,k k k k k u s u s u u s v 当当4

44d u s =+