高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法

高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法

概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。

题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。

例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4

3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;

(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．

目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?

解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A ，则其对立事件A 为“4次均击

中目标”，则()()4

26511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ （2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

()223

2

3442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=•••••= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+••••=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.

解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结

果出现的可能性都相等.

（I ）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!32

4⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，

另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为

P （A 1）=.943!3424=⋅C （II ）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2

和A 3，则事件A 3的概率为P （A 3）=

27

1334=，事件A 2的概率为 P （A 2）=1－P （A 1）－P （A 3）=.2714271941=-- 解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32

414C C +⋅（先从3个景区任意选

定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!21

4⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外

2个部门在另1个景区，共有2

4C 种不同选法）.所以P （A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）

解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；

（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件

解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++

()()()()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++

0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

0.902=

解法2：()()1P C P C =-()

1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++ ()()()()

1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦ ()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯

10.098=-0.902=

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902

（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D

()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅

()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅

0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯

0.254016=0.254≈

所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254

题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。

例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）

A 、156

B 、170

C 、1336

D 、1420

解析：共有339633

280C C A •=种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为5128056

=，故选A 例5：从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=a 移动的概率为

53，按照向量(2,0)=b 移动的概率为5

2，设可到达点)0,(n 的概率为n P ． （Ⅰ）求概率1P 、2P ；

（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；

（Ⅲ）求n P ．

解 (Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为5

31=P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=a 到达点)0,2(”，此时2)53()(=A P ；

②B=“M 点先按向量(2,0)=b 移动直接到达点)0,2(”，此时5

2)(=B P 。 =2P +)(A P =)(B P 2)53(52+25

19= (Ⅱ) M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：

①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=a 移动到达点)0,2(+n ”，此时1253)(++=n n P A P ； ②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 5

2)(2=+。