高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 4.1 三角函数的基本概念课件 理
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第四章 三 角 函 数
第1课时 三角函数的基本概念
wk.baidu.com
2016 考纲下载
1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义． 4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意 义．
请注意 本节内容高考一般不直接考查，但它是后续各节的基础， 是学习三角函数必须掌握的基本功．
(2)因为 M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在 四个象限的平分线上的角的集合；
而集合 N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴 或四个象限的平分线上的角的集合，从而 M N.
【答案】 (1)－675°或－315° (2)M N
例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限 角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象 限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找 出与它们有相同终边的所有角．
【解析】 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角 的表示方法．
(1)α1＝－350°＝－315800π＝－3518π＝－2π＋π18， α2＝860°＝816800π＝493π＝4π＋79π. ∴α1在第一象限，α2在第二象限．
思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°
角终边相同的角β；
(2)设集合M＝{x|x＝
k 2
×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝
k 4
×180°＋45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？
【解析】 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 得－765°≤k×360°≤－45°， 解得－736650≤k≤－34650，从而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．与2 016°终边相同的角是( )
A．36°
B．144°
C．－36°
D．－144°
答案 D
3．若sinα<0且tanα>0，则α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
答案 C 解析 由选择项知角α的终边不落在坐标轴上，由sinα<0知α 为第三或第四象限角；由tanα>0知α为第三或第一象限角，故α为 第三象限角．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
(1)小于90°的角是锐角．
π (2)若将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是 3 .
(3)角α＝kπ＋π3 (k∈Z)是第一象限角．
π
π
(4)若sinα＝sin 7 ，则α＝ 7 .
(5)－300°角与60°角的终边相同． (6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则 A＝B.
【解析】 ①∵α是第三象限角， ∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2 ，k∈Z.
π ∴－2kπ－ 2 ＜π－α＜－2kπ，k∈Z. ∴π－α是第四象限角．
②∵kπ＋π2 <α2<kπ＋3π4 ，k∈Z. ∴α2是第二或第四象限角． ③∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z， ∴2α是第一或第二象限角或 y 轴非负半轴上的角．
(2)∵35π＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)， 由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°. ∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°之间与β1有相同的终 边的角是－612°和－252°，同理β2＝－420°，且在－720°～ 0°间与β2有相同终边的角是－60°.
【答案】
π (1)α1＝－2π＋18
α2＝4π＋79π
(2)β1＝108°，终边相同的角－612°，－252°；
β2＝－420°，终边相同的角－60°
探究 1 迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象 限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大 的角所在的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z) 的形式，然后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 π的偶数倍，而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范围内的 某种特殊的角，通常可像本例一样化为解不等式去求出对应的 k 值．
课前自助餐
角的概念 (1)象限角：角α的终边落在第几象限就称α为第几象限的 角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α<k·360°＋ 90°，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋ 180°，k∈Z}，Ⅲ象限：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋ 270°，k∈Z}，Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α<k·360°， k∈Z}．
4．(课本习题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为
() A．10π
B．9π
C．190π
D．190π
答案 D
5．(2016·沧州七校联考)已知角α的终边过点(－1， 3 )，则 tanα＝________．
答案 － 3
授人以渔
题型一 角的有关概念
例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝ －73π.
任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐 标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝yr ，cosα＝xr ， tanα＝yx．
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα
cosα
Ⅰ
＋
＋
Ⅱ
＋
－
Ⅲ
－
－
Ⅳ
－
＋
tanα ＋ － ＋ －
三角函数线 如图所示，正弦线为MP；余弦线为OM；正切线为AT．
弧度制 (1)什么叫1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的圆心 角叫1°的角． (2)什么叫1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1弧度的角． (3)1°＝1π80弧度；1弧度＝1π80度． (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧 长l＝|α|·r，面积S＝12|α|r2＝12lr．
第1课时 三角函数的基本概念
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1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义． 4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意 义．
请注意 本节内容高考一般不直接考查，但它是后续各节的基础， 是学习三角函数必须掌握的基本功．
(2)因为 M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在 四个象限的平分线上的角的集合；
而集合 N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴 或四个象限的平分线上的角的集合，从而 M N.
【答案】 (1)－675°或－315° (2)M N
例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限 角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象 限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找 出与它们有相同终边的所有角．
【解析】 本题主要考查角度与弧度的互化及终边相同角 的表示方法．
(1)α1＝－350°＝－315800π＝－3518π＝－2π＋π18， α2＝860°＝816800π＝493π＝4π＋79π. ∴α1在第一象限，α2在第二象限．
思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°
角终边相同的角β；
(2)设集合M＝{x|x＝
k 2
×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝
k 4
×180°＋45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？
【解析】 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 得－765°≤k×360°≤－45°， 解得－736650≤k≤－34650，从而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．与2 016°终边相同的角是( )
A．36°
B．144°
C．－36°
D．－144°
答案 D
3．若sinα<0且tanα>0，则α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
答案 C 解析 由选择项知角α的终边不落在坐标轴上，由sinα<0知α 为第三或第四象限角；由tanα>0知α为第三或第一象限角，故α为 第三象限角．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
(1)小于90°的角是锐角．
π (2)若将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是 3 .
(3)角α＝kπ＋π3 (k∈Z)是第一象限角．
π
π
(4)若sinα＝sin 7 ，则α＝ 7 .
(5)－300°角与60°角的终边相同． (6)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则 A＝B.
【解析】 ①∵α是第三象限角， ∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2 ，k∈Z.
π ∴－2kπ－ 2 ＜π－α＜－2kπ，k∈Z. ∴π－α是第四象限角．
②∵kπ＋π2 <α2<kπ＋3π4 ，k∈Z. ∴α2是第二或第四象限角． ③∵4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z， ∴2α是第一或第二象限角或 y 轴非负半轴上的角．
(2)∵35π＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)， 由－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°. ∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°之间与β1有相同的终 边的角是－612°和－252°，同理β2＝－420°，且在－720°～ 0°间与β2有相同终边的角是－60°.
【答案】
π (1)α1＝－2π＋18
α2＝4π＋79π
(2)β1＝108°，终边相同的角－612°，－252°；
β2＝－420°，终边相同的角－60°
探究 1 迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象 限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大 的角所在的象限，一般是先将角化成 2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z) 的形式，然后再根据 α 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 π的偶数倍，而不是π的整数倍，若要求出在某一指定范围内的 某种特殊的角，通常可像本例一样化为解不等式去求出对应的 k 值．
课前自助餐
角的概念 (1)象限角：角α的终边落在第几象限就称α为第几象限的 角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限． (2)终边相同的角：两角的终边重合． (3)与α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(4)各象限角的集合为Ⅰ象限：{α|k·360°<α<k·360°＋ 90°，k∈Z}，Ⅱ象限：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋ 180°，k∈Z}，Ⅲ象限：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋ 270°，k∈Z}，Ⅳ象限：{α|k·360°－90°<α<k·360°， k∈Z}．
4．(课本习题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为
() A．10π
B．9π
C．190π
D．190π
答案 D
5．(2016·沧州七校联考)已知角α的终边过点(－1， 3 )，则 tanα＝________．
答案 － 3
授人以渔
题型一 角的有关概念
例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝ －73π.
任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐 标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝yr ，cosα＝xr ， tanα＝yx．
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα
cosα
Ⅰ
＋
＋
Ⅱ
＋
－
Ⅲ
－
－
Ⅳ
－
＋
tanα ＋ － ＋ －
三角函数线 如图所示，正弦线为MP；余弦线为OM；正切线为AT．
弧度制 (1)什么叫1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的圆心 角叫1°的角． (2)什么叫1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1弧度的角． (3)1°＝1π80弧度；1弧度＝1π80度． (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧 长l＝|α|·r，面积S＝12|α|r2＝12lr．