八年级下数学培优班寒假讲义

第十六章 分式
一、本单元 知识结构图：
1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
B
A
叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的
值不变。

（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10
≠=a a ；当n 为正整数时，
n n a
a 1
=
- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；
（4）同底数的幂的除法n m n m a a a -=÷( ≠0)；
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)(()；(b ≠0
)
bc
ad
c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=
⋅;C
B C A B A ÷÷=
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水．
8.科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法．
用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
二、例题与习题：
1．解方程： （1）233x x =- （2）1
2
22x x x +=--
（3）
263111x x -=-- （4）012
1
42
=---x x
7．2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。

维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达
抢修点。

已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。

8．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
10．某人往返于A、B两地，去时先步行2千米，再乘汽车行10千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米，步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？
11．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
第十七章 反比例函数
一、本章知识结构图：
1.定义：形如y ＝
x
k
（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k 1-=kx y x
k y 1
=
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。

对称中心是：原点
3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；
当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

二、例题与习题：
1．下面的函数是反比例函数的是 （ ）
A ． 13+=x y
B ．x x y 22+=
C ． 2x y =
D ．x
y 2
=
5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ．
6．点(231)P m -，在反比例函数1
y x =的图象上，则m = ．
7.点（3，－4）在反比例函数k y x =的图象上， 则下列各点中，在此图象上的是（ ）
A.（3,4）
B. （－2，－6）
C.（－2，6）
D.（－3，－4）
11．在平面直角坐标系中，将点(53)P ，
向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数k
y x
=
的图象上，则此函数的图象分布在第 象限． 12.对于反比例函数x
k y 2
=(0≠k )，下列说法不正确．．．的是（ ） 实际应用
现实世界中的反比例关系
建立数学模型
反比例函数
反比例函数的图象和性质
( 第 15 题 ）
1016
2
p /Pa
A O
A. 它的图象分布在第一、三象限
B. 点（k ，k ）在它的图象上
C. 它的图象是中心对称图形
D. 每个象限内，y 随x 的增大而增大
14．已知反比例函数y ＝
x
2
k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2
16.若反比例函数1
k y x
-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是
（ ）
A.-1
B.3
C.0
D.-3
18．设反比例函数)0(≠-=k x
k
y 中，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则一次函数
k kx y -=的图象不经过( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
20．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1
y x
=的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为
（ ）
A ．b c >
B ．b c <
C ．b c =
D ．无法判断
21．已知点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-6，y 3）分别为函数x
k
y =（k<0）的图象上的三个点．则y 1 、y 2 、y 3的大小关系为 （用“<”连接）．
22.在反比例函数12m
y x
-=的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，有12y y <，
则m 的取值范围是（ ）
A 、0m <
B 、0m >
C 、12m <
D 、1
2m >
24． 已知直线mx y =与双曲线x
k
y =的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；k =____；
它们的另一个交点坐标是______．
28.函数1k
y x
-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ）
A ．1k >
B ．1k <
C ．1k >-
D ．1k <-
31．已知反比例函数2
y x
=，下列结论中，不．正确．．的是（ ） A ．图象必经过点(12)，
B ．y 随x 的增大而减少
C ．图象在第一、三象限内
D ．若1x >，则2y <
33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是_____________．
34．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数x
k
y =过点A ，则K 的值是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
第34题图
-1
2
-1
2 x
y A
B
O 第33题图
36．如图，若点A 在反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上， AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．
37．在反比例函数4
y x
=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
42.已知反比例函数10
2
)2(--=m
x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，
求反比例函数的解析式.
45.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象相交于A （-6，-2）、B （4，3）两点.
（1）求出两函数解析式； （2）画出这两个函数的图象；
（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？
第36题
46．如图，直线y ＝x ＋1与双曲线x
2y =交于A 、B 两点，
其中A 点在第一象限．C 为x 轴正半轴上一点，且S △ABC ＝3．
(1)求A 、B 、C 三点的坐标； (2)在坐标平面内．．．．．
，是否存在点P ， 使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请直接．．
写出点P
47．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为t
a
y =
（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那
么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
51．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5=OB ．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，
求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
第十八章 勾股定理
A O C
x
y B
O y A C D
B
一、本章知识结构图：
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
二、例题与习题：
1. 在△ABC 中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是（ ）. A.222AC AB BC += B. 222BC AC AB += C. 222AC BC AB -= D.222AB BC AC -=.
3．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ） （A ）如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形
（B ）如果c 2= b 2—a 2
，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90° （C ）如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形 （D ）如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形
4. 适合下列条件的三角形ABC 中，直角三角形的个数为（ ）.
①;5
1
,41,31===c b a ②a=b,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°;
④a=7,b=24,c=25; ⑤a=2.5,b=2,c=3.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
6．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
7．图7-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图7-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 12.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）.
实际问题
（判定直角三角形）
实际问题 （直角三角形边长计算） 勾股定理
勾股定理的逆定理
A
B
C
图7-1 图7-2
第6题图
A.
cm 1380 B.13cm C.6cm D.cm 1360
8．如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为
a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，
则c = （用含有a b ，的代数式表示）．
13.边长为a 的正三角形的面积等于____________.
14．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ABC △的周长是_________，面积是___________．
16．如图，矩形纸片ABCD 中，AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为________．
18．如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．
21．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。

26．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．
（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？ 并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）
28.一块四边形的草地ABCD ,其中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =20m,CD =10m,求这块草地的面积.
B 1B 2A 1
A
O B 第21题图
C ’
A F D
B
C
第16题图
E
第18题图 A D Ｂ 北
C
东
45° 60°
第26题图
第28题
a D C B A M c N E F b
G H （第8题）
30.在ΔABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,求ΔABC 的周长。

31．在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，
km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．
观察计算
（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图31-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳
（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中
的方法指导，就a （当1a >时） 的所有取值情况进行分析，
图31-1 图31-2
图31-3
可以对它们的平方进行比较：2m n 2-=22()m n ∴-当22
m n -当22
m n -2
2
A
C
B
D
要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？
第十九章 四边形
一、本章知识结构图：
平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。

平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

AC=BD
矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.四条边相等的四边形是菱形。

S 菱形=1/2×ab（a 、b 为两条对角线） 正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。

正方形既是矩形，又是
菱形。

正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。

2.有一个角是直角的菱形是正方形。

梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

解梯形问题常用的辅助线：如图
线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。

三角形的重心：三条中线的交点 重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

宽和长的比是
2
1
-5（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

二、例题与习题：
3．下列命题中，真命题是（ ）
A ．两条对角线垂直的四边形是菱形
B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C ．两条对角线相等的四边形是矩形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A ．当A
B B
C =时，它是菱形
B ．当A
C B
D ⊥时，它是菱形 C ．当90ABC ∠=时，它是矩形
D ．当AC BD =时，它是正方形
5．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ， 若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形， 则这个条件是 （只填一个条件即可）． 6． 已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，
若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．
8．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1234S S S S ，，，，若MN AB DC ∥∥，EF DA CB ∥∥，则有（ ） A ．14S S =
B ．1423S S S S +=+
C ．1423S S S S =
D ．都不对
（第4题图）
D C
B
A A
D
C
B
O
第5题图
第10题图
红
紫
白
黄
D M
A
F
E
C
N
B
第8题图
10．如图，菱形ABCD 中，已知20ABD ∠=，则C ∠的大小是 ． 11. 已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝,则菱形的面积为 ㎝2. 15．已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是 cm. 18.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______2.cm
21． 如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=___ ___ ．
22．在长为a m ，宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 __________m 2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为 m 2．
23．如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．
27．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x ，y 表示矩形的长和宽(x ＞y )，则下列关系式中不正确的是（ ） (A) x +y =12 ． (B) x －y =2． (C) xy =35． (D) x 2＋y 2=144．
30．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
E 为BC 上一点，DE ∥AB ，AD 的长为1，
BC 的长为2，则CE 的长为___________．
31.等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AD =cm ，9BC =cm ，60C ∠=，则梯形的腰长是 cm ．
32．若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．
33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AC ⊥BD ，AD ＝6,BC ＝8,则梯形的高为 。

第27题图 y x 第21题图 A B
C D E
第23题图
第18题图 第22题图 第24题图
图 8
E D A B C 第30题图
C
D
A
B
第34题图
34．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，BC BD =，100A =∠，则C =∠（ ） A ．80
B ．70
C ．75
D ．60
40.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，AB=10cm ，D 为AB 的中点，则CD= cm .
41．如图，DE 是ABC △的中位线，2DE =cm ，12AB AC +=cm ，则BC = cm ，梯形DBCE 的周长为 cm ．
48．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A ．六边形
B ．八边形
C ．十二边形
D ．十六边形
54．如图，点O （0，0)，B(0，1)是正方形OBB 1C 的两个顶点，以对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，再以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 1，……，依次下去．则 点B 6的坐标是________________．
55．平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （32-，0），C （0，2-），
D （32，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（ ） A ．矩形 B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
62．如图，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥． （1）求证：BDE CDF △≌△． （2）请连结BF CE ，，试判断
四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．
A E
C B
D
第41题图
第48题图 A
B
C
D
第40题图 第54题
63．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB ；
(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
68.已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.求证
:AE 平分∠BAD.
72.如图，在□ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积.
F E D C B A （第23题）
第68题图 第72题图
76．如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．
（1）求四边形CEFB 的面积；
（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；
（3）若 15=∠BEC ，求AC 的长．
82．有一底角为60的直角梯形，上底长为10cm ，与底垂直的腰长为10cm ，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm ，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
84在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点． 求证：CE ⊥BE ．
85．如图，在平面直角坐标系中，直线b x 2
1y +-=(b ＞0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以
OA 、OB 为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以M(4，0)，N(8，0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与△PMN 重叠部分的面积为S ．
(1)求点P 的坐标； (2)当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式．
第76题图
A C
B D E 第84题图
A B C M N
D P
O
y
x (第85题图)
90．已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 都是CD 上的点，且DE EC =，EF FC =．
求证：2BAF EAD ∠=∠．
第二十章 数据的分析
一、本章知识结构图：
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。

4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。

5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

二、例题与习题：
A B C D E
F 第90题图
2．一组数据1，2，4，x ，6的众数是2，则x 的值是（ ） A ．1 B ．4 C ．2 D ．6
5．在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。

其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。

这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ．20万、15万
B ．10万、20万
C ．10万、15万
D ．20万、10万
6．七（1）班四个绿化小组植树的棵树如下：10，10，x ，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_______棵.
10．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A B ，两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2的比例计算两人的总成绩，那么 （填A 或B ）将被录用．
11．四川省汶川发生大地震后，全国人民“众志成城，抗震救灾”，积极开展捐款捐物献爱心
活动．下表是我市某中学初一·八班50名同学捐款情况统计表：
A ．15
B ．20
C ．30
D ．100
14．汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我们的爱” 赈灾捐款活动．八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：
（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程． （2）该班捐款金额的众数、中位数分别是多少？
15
②这20位同学实验操作得分的平均分是多少？
③将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图． 扇形①的圆心角度数是多少？
第15题图
16．八年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A B C D E ，，，，五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．
学生帮父母做家务活动时间频数分布表
等级 帮助父母做家务时间 （小时）
频数
A 2.53t <≤ 2
B 2 2.5t <≤ 10
C 1.52t <≤ a
D 1 1.5t <≤
b
E
0.51t <≤ 3
（1）求a b ，的值；
（2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间；
（3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．
18.一交通管理人员星期天在市中心的某十字路口，对闯红灯的人次进行统计，根据上午7∶00 ~ 12∶00中各时间段（以1小时为一个时间段）闯红灯的人次，制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别为（ ）
（A ）15，15 （B ）10，15 （C ）15，20 （D ）10，20
22．振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42
B A
E D
C 40% （第22题）
学生帮父母做家务活动评价等级分布扇形统计图
第18题图 /元
人数 第22题图。